Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Hướng khắc phục

nâng cao.
 - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả 
mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
II. Nghiên cứu thực tế 
 1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
 1.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
Ø Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ minh họa 1:
Xét tính đơn điệu của hàm số: 
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: 
Ta có: 
-1
Bảng biến thiên:
x
y '
+
1
+
y
1
Suy ra: Hàm số đồng biến trên 
Phân tích: 
 Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán ! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1, x2 thuộc D, 
x1 < x2 f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 2 và 
x2 = 0 thì x1 - 1 = f(x2) ???
Lời giải đúng là:
Tập xác định: 
Ta có: 
-1
Bảng biến thiên:
x
y '
+
1
+
y
1
Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng và .
Ø Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ minh họa 2:
Xét tính đơn điệu của hàm số: 
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: 
Ta có: 
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
-2
2
y '
-3
	-
 0
+ 0
-
y
-1
1
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? Thực ra ở đây - không phải là điểm tới hạn của hàm số.
Lời giải đúng là:
Tập xác định: . Ta có: 
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
-2
2
y '
+ 0
 - 
y
-3
1
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
 1.2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
Ø Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng.
Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản)
Chứng minh rằng: tanx > x, với 
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với . 
Ta có: f '(x) = , suy ra hàm số f(x) đồng biến trên khoảng . 
Từ x > 0 f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với .
Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng thì vì sao từ x > 0 f(x) > f(0) ??? 
Sai lầm ở đây là .
Nhớ rằng: nếu f(x) đồng biến trên đoạn (tức là f(x) liên tục trên và f '(x)> 0 với ) thì với 
Lời giải đúng là:
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với . 
Ta có: f '(x) = , dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng . 
Từ x > 0 f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với . 
Ø Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ minh họa 4: 
Chứng minh rằng nếu với , x > - 1 thì .
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số f(x) = x, g(x) = ex là các hàm đồng biến trên . Suy ra hàm số h(x) = x.ex là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên . Suy ra, từ x > - 1 f(x) > f(-1) hay . 
Phân tích: 
 Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!). 
Lời giải đúng là:
Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) ,, dấu "=" xảy ra chỉ tại x= -1. Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng . Từ x > - 1 f(x) > f(-1) hay . 
 1.3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
Ø Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm.
Ví dụ minh họa 5: Tính đạo hàm của hàm số y = (2x+1)x.
Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có y' = .
Phân tích: 
Lời giải trên đã vận dụng công thức . Vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ là một hằng số. 
Lời giải đúng là:
Điều kiện: (khi đó y > 0)
Từ y = (2x+1)x 
Ø Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức , , nhưng quên rằng nếu như không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.
Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 1.
Một số học sinh trình bày như sau:
Với x = - 1 ta có 
Ta có y = suy ra y ' = 
y '(-1) = .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay .
Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết là không đúng (!). 
Lời giải đúng là:
Với x = - 1 ta có 
Ta có y3 = x2 (y3)'= (x2)' 3.y2 y ' = 2x y ' = y '(-1) = - 
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay .
 1.4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
Ø Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 Ÿ hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)
 Ÿ hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + x- 1 đồng biến trên .
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = .
y ' = 3x2 - 2mx + 1. Hàm số đồng biến trên 
 .
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến trên , nhưng y ' = 3x2 , dấu "=" xảy ra chỉ tại x= 0 (!). Nhớ rằng: nếu hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). 
Lời giải đúng là:
Hàm số đồng biến trên 
 .
Ø Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 Ÿ là điểm cực tiểu
 Ÿ là điểm cực đại
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số y = f(x) = mx4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2.
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: hệ vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Phân tích: 
Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = 0 x = 0.
Bảng biến thiên:
x
0
y '
0
0
 +
 -
y
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0 (!)
Vậy lời giải trên sai ở đâu ???
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn có thể f ''(x0) = 0. Lí do là điều kiện f ''(x0) 0), khi đó:
 là điểm cực đại của hàm số.
Lời giải đúng là:
 Cách 1: 
Ta có y ' = 4mx3. Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y '(x) > 0,, với h > 0. Tức là: m < 0.
Thử lại, ta thấy với m < 0 là điều kiện cần tìm.
‚ Cách 2: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
 v m = 0: Ta có y = f(x) = 0 là hàm hằng nên hàm số không có cực trị.
 v m > 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
 v m < 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực đại của hàm số.
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0.
Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx.
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: 
hệ vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Phân tích: 
Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + 1 
y ' = 4x3 , y ' = 0 x = 0.
Bảng biến thiên:
x
0
y '
0
 -
 +
y
1
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (!)
Lời giải đúng là:
 Cách 1: 
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì (với h > 0)
(1) (1')
(2) (2')
Từ (1') và (2') suy ra m = 0
Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.
‚ Cách 2: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
 v m = 0: Ta có y = x4 + 1 có y ' = 4x3 , y ' = 0 x = 0.
Bảng biến thiên:
x
0
y '
0
 -
 +
y
1
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
 v m > 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m) , y ' = 0 x = 0 hoặc x = - . Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm số không có cực trị tại x = 0.
 v m < 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m), y ' = 0 x = 0 hoặc x = - . Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm số không có cực trị tại x = 0.
Kết luận: với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.
 1.5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Ø Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
Ví dụ minh họa 10: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = .
Một số học sinh trình bày như sau:
Đặt t = = t2 - 2.
Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 
Vậy , khi t = - 1.
Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(t), .
Có thể thấy ngay khi t = - 1 thì không tồn tại giá trị của x để = - 1 (!)
Nhớ rằng, số 
Lời giải đúng là: Đặt t = , với . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi = 1
Khi đó: = t2 - 2. Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3. 
Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với ):
t
-2
-1
2
g '(t)
-
0
 - +
+
g(t)
 -3
5
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: = = - 3
Đạt được khi t = - 2 
 1.6. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ minh họa 11: 
y
x
Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;4)
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = - 3x2 + 6x.
Ta có điểm A(-1;4) đồ thị (C). 
suy ra phương trình tiếp tuyến là:
2
-1
y = f '(-1).(x+1)+4 
.
Phân tích: 
Phương trình tiếp