Sáng kiến kinh nghiệm - Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

ả ba phương pháp kể trên để có thể phân tích đa thước thành nhân tử.
Ví dụ1: 	Phân tích thành nhân tử.
M1 	= 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
	= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2)	(Nhóm các hạng tử)
	= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
	= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 2:	Phân tích thành nhân tử.
M2 	= a2 - b2 - 2a + 2b
	= (a2 - b2) - (3a - 2b) 	(Nhóm các hạng tử)
	= (a - b) (a + b) - 2(a - b)	(Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
	= (a -b) (a + b - 2)	(Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý các bươcsau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức.
+ Xem xét đa thứccó dạng bằng đẳng thức nào không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
M3 = 5a2 + 3(1 + b)2 - 5b2
 Ta thấy M3 không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung. Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên. 
M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2. Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất làm xuất hiện hằng đẳng thức M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2. Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a + b). Vậy M3 = 5(a + b) (a + b). Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
M3 = (a + b) (6a - 4b). Như vậy M3 đã được phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (6a - 4b).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy.
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - Z2 + 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không? 
+ Nhóm hạng tử: M4 = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)]
+ Dùng hằng đẳng thức: M4 = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xét hai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào.
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: M4 đã được phân tích các đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát xem, kiển tra, linh hoạt sử dụng các bước phối hợp giữa các phương pháp như đã hướng dẫn trên từ đó sẽ phân tích theo các phương pháp thông thường.
2.2. Một số phương pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phân tích thành nhân tử thông thường và kết hợp các phương pháp sau để làm các bài toán khó.
+ Phương pháp tách hạng tử.
+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Phương pháp dùng hệ số bất định.
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Cụ thể một số phương pháp thông dụng nhất.
2.2.1: Phương pháp tách hạng tử.
Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
N = a2 - 6a + 8.
Cách 1: a2 - 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)
= (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung)
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại.
Cách 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)
= (a2 - 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng tử)
= (a - 3)2 - 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)
= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC)
Cách 4: 
N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4x + ( - 2x)
= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm)
= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC) 
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử) 
Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách sau là thông dụng nhất;
Phương pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới được đưa về hiệu hai bình phương (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách 3).
Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm hạng tử và đặc biệt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1)
Ví dụ 6: Trong tam thức bậc hai: ax2 + bx + c 
Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1. b2 = a.c
Trong thực hành ta làm như sau;
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử bậc nhất) (như cách 4)
2.2.2) Phương pháp thêm bớt hạng tử.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử
P1	 = x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 	(thêm 4x2, bớt 4x2)
	= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 	(nhóm hạng tử)
	= (x2 + 2)2 - (2x)2 	(dùng hằng đẳng thức)
	= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 	(thêm 16a2, bớt 16a2)
	= (a2 + 8)2 - (4a)2
	= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)
Như vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào để xuất hiện bình phương của 1 tổng và làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình phương thì mới phân tích triệt để được.
ở ví dụ P1 đã có bình phương hạng tử (1) và bình phương hạng tử (2). Vậy muốn là hằng đẳng thức thì còn thiếu 2 lần tích của 2 hạng tử. Do đó ta thêm 2.x2.2 = 4x2 thì đồng thời phải bớt 4x2.
2.2.3) Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 	(nhóm, đặt nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x) đặt y (đổi biến):
D1 = y2 + 4y - 12
Khi đó ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt
D = (y2 - 2y) + (6y - 12) 	(Tách 4y = 6y - 2y sau đó nhân)
D = y (y - 2) (y + 6) 	(đặt nhân tử chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương pháp đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp được như :
x2 + x + 6 = (x + )2 + 5. Do vậy không phân tích tiếp được nữa
Còn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2)
2.2.4) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d(1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du có: m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chiađa thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp được dựa vào các phương pháp nêu ở trên.
Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1.
ị chứa nhân tử chung (x- 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1 
ị chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét được hệ số ta xét các ước của hệ số tự do
(hệ số không đổi) (Ư(d)) ước nào làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ước đó là nghiệm của đa thức.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 ị x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E2 = x3 - 3x + 2
Tá thấy tổng và hiệu các hệ số của E2 ạ 0 do đó loại x = ± 1
Xét các Ư(2) = ± 2 có x = -2 là nghiệm của E2
ị E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) 	(Chia E2 cho(x - 2))
E2 = (x + 2) (x -1)2
Các ví dụ trên đây là một số phương pháp để phối kết hợp với các phương pháp thông thường giúp học sinh phân tích được các bài toán khó thành nhân tử giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng như giải phương trình.
3) Một sốbài tập áp dụng.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1.a) x2 - 4x + 3 bằng 4 cách (phương pháp tách).
Gợi ý 4 cách làm.
Tách - 4x = - 3x + (-x)
Tách 3 = 4 - 1.
Tách 3 = 12 - 9
Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hau nhân tử chung.
1b.	81a4 + 4 	(thêm bớt hạng tử)
Gợi ý:	Thêm 2 lần tính đ Hằng đẳng thức cụ thể 36x2
1c:	(x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14(phương pháp đổi biến).
Gợi ý: đặt (x2 + ) = y
1d:	x3 - 2x2 - x + 2	(phương pháp tìm nghiệm).
Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0
Ngoài ra có thể sử dụng các phương pháp khác để phân tích các bài tập trên thành nhân tử.
Bài tập 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
M = với a = 102
Gợi ý: 
+ Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ 4 bằng phương pháp nhóm hằng đẳng thức đưa tử thành nhân tử.
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử.
+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức.
+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
3.a) 	y2 - 5y + 4 = 0.
Gợi ý: Đưa vế trái thành các nhân tử ị phương trình trởvềphương trình tích.
3b: y3 - 2y2 - 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình đã cho thành phương trình ị giải phương trình tích.
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
4a) 	A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24.
Với a là một số tự nhiên.
Gợi ý: 
+ Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phương pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên liên tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A M 3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên mộct trong hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽchia hết cho 4. Vậy A M 8
+ Nhưng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24.
4b: 	B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24.
Với n là số nguyên dương tuỳ ý.
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12
Gợi ý:
+ Trước hết sử dụng