Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán sử dụng tính chất chia hết

o viên giảng dạy. Với thời gian phân phối cho chương trình thì không thể khắc sâu và hướng dẫn học sinh tỉ mỉ được nếu không lựa chọn hệ thống bài tập và có kế hoạch cụ thể. Bản thân tôi trong quá trình giảng dạy đã áp dụng một số bài tập về phép chia hết và thấy có hiệu quả thiết thực vì vậy tôi chọn đề tài “ Một số bài toán sử dụng tính chất chia hết”.
	Với thời gian nghiên cứu còn hạn chế và kiểm nghiệm chưa nhiều nên chắc đề tài còn nhiều thiếu sót rất mong các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp góp ý, trao đối để bản thân tôi rút kinh nghiệm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
Tôi xin cảm ơn!
 2. Mục đích nghiên cứu 
Bản thân tôi trong năm học vừa qua được nhà trường phân công dạy Toán lớp 6. Qua giảng dạy tôi thấy phép chia hết là một đề tài thật lý thú, phong phú và đa dạng không thể thiếu được ở môn số học lớp 6.
3. Đối tượng nghiên cứu 
Học sinh khối lớp 6 THCS Yên Nhân.
4. Phương pháp nghiên cứu 
 Từ giảng dạy thực tế ở lớp 6, tổng kết đúc rút kinh nghiệm nhằm phát huy tính tích cực tự giác học tập của học sinh.
 5. Phạm vi nghiên cứu 
 Nghiên cứu ảnh hưởng của việc vận dụng “ Một số bài toán sử dụng tính chất chia hết” cho học sinh lớp 6 trường THCS Yên Nhân.
Phần II : Nội dung
I. Kiến thức cần nhớ về chia hết 
 Trước tiên là học sinh phải nắm vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết như các tính chất về quan hệ chia hết.
Định nghĩa :
Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x=a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x
 	2. Các dấu hiệu chia hết :
Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là một số chẵn.
Dấu hiệu chia hết cho 3 ( hoặc 9 )
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3(hoặc 9).
Chú ý : Một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại. 
Một số chia hết cho 9 luôn chia hết cho 3.Nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng.
Dấu hiệu chia hết cho 5 
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.
Dấu hiệu chia hết cho 4 ( hoặc 25 ) 
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25 ) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 ( hoặc 25).
Dấu hiệu chia hết cho 8( hoặc 125 )
Một số chia hết cho 8( hoặc 125 ) khi và chỉ khi ba số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125).
Dấu hiệu chia hết cho 11 
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
3. Tính chất của quan hệ chia hết 
+ 0 chia hết cho b với mọi b là số tự nhiên khác 0 :
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho (b.c).
+ Nếu a.b chia hết cho c và(b, c) = 1 thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên .
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho m thì (ab) chia hết cho m .
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (ab) không chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n).
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với n là số tự nhiên .
+ Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n là số tự nhiên.
 II. Nội dung tiến hành
 Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đưa ra một vài bài toán và phương pháp thường dùng để giải các bài toán chia hết :
 Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa phép chia hết .
Để chứng minh a chia hết cho b (b0) ta biểu diễn số a dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b(hoặc chia hết b).
 Ví dụ 1:Chứng minh rằng (3n)100 chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n.
Giải :
Ta có (3n)100 = 3100.n100 =34.396. n100 = 81 . 396. n100.
Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.396. n100 chia hết cho 81.
(3n)100 chia hết cho 81 .
 Phương pháp 2 Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết .
* Dùng tính chất chia hết của một tổng hiệu :
 - Để chứng minh a chia hết cho b (b0) ta biểu diển số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh cho tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b.
 - Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b.
 Ví dụ 2: Khi chia một số cho 255 ta được số dư là 170. Hỏi số đó có chia hết cho 85 không? Vì sao?
Giải :
Gọi số đó là a (a là số tự nhiên )
Vì a chia cho 255 có số dư là 170 nên a = 255.k +170 (k là số tự nhiên)
Ta có : 255 chia hết cho 85 nên 255k chia hết cho 85.
 170 chia hết cho 85.
	(255.k + 170) chia hết cho 85 (Tính chất chia hết của một tổng ).
Do vậy a chia hết cho 85.
 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Giải :
	Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là a, a + 1, a + 2.
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a +1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2)
	= (3a + 3) chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một tổng).
Từ bài tập này giáo viên có thể đưa học sinh vào tình huống : Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không ?
Qua đó gợi chí tò mò, đưa học sinh vào tình huống có vấn đề cần phải giải quyết. Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh, để trả lời câu hỏi này, các em cần làm bài tập sau :
 Ví dụ 4 : Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?
Giải :
 	Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là a, a + 1, a + 2, a + 3.
Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp đó là :
 	a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = 4a + 6.
Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên (4a + 6) không chia hết cho 4 .
	Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Giáo viên chốt lại : Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n.
* Dùng tính chất chia hết của một tích :
Để chứng minh a chia hết cho b (b0) ta có thể chứng minh bàng một trong các cách sau :
+ Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1. Sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n.
+ Biểu diễn a = a1.a2 , b = b1.b2 , rồi chứng minh a1 chia hết cho b1 ; a2 chia hết cho b2 .
 Ví dụ 5: Chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với mọi a, b là số tự nhiên 
Giải :
Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với mọi a.
Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với mọi b.
Nên : (1980a + 1995b) chia hết cho 3.
Chứng minh tương tự ta có : (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b. 	
Mà (3, 5) = 1.
(1980a + 1995b) chia hết cho 15.
 Ví dụ 6: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải :
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2.
Tích của hai số chẵn liên tiếp là 2n .(2n + 2) = 4n . (n + 1).
Vì n, n+1 không cùng tính chẵn lẻ nên n .(n + 1) chia hết cho 2.
Mà 4 chia hết 4 nên 4n .(n + 1) chia hết cho (4, 2)
4n .(n + 1) chia hết cho 8.
2n .(2n + 2) chia hết cho 8.
 Phương pháp 3: Dùng định lý về chia có dư.
Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p.
 Ví dụ: Chứng minh rằng :
Tính của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 .
Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.
Giải :
a. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n + 1, n + 2.
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2).
Một số tự nhiên khi chia hết cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2 .
- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3n.(n+1).(n+2) 3.
- Nếu r = 1 thì n = 3k +1 (k là số tự nhiên).
	n + 2 = 3k +1 + 2=(3k +3) 3.
	n.(n+1). (n+2) 3.
- Nếu r = 2 thì n = 3k +2 (k là số tự nhiên) 
	n + 1 = 3k +2 +1 = (3k +3) 3.
	n. (n+1). (n+2) 3.
Tóm lại : n. (n+1). (n+2) chia hết cho 3 vối mọi n là số tự nhiên .
Chứng minh tương tự ta có n.(n+1).(n+2).(n+3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát .
Giáo viên khắc sâu cho học sinh : Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
 * Khi học sinh nắm vững các phương pháp thường dùng để chứng minh chia hết, giáo viên có thể ra một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, được đào sâu các kiến thức về phép chia hết .
Bài 1: Tìm tất cả các số x, y để có số 34x5y chia hết cho 36 .
Giải :
Vì (4, 9) = 1 nên 34x5y 3634x5y 9 và 34x5y 4.
Ta có : 34x5y 45y 4 y = {2; 6}.
34x5y 9 (3 + 4 + x + 5 + y) 9.
(12+ x + y) 9.
Vì x, y là các chữ số nên x + y thuộc {6; 15}
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 (>9 ) ( loại)
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9 .
Vậy các số phải tìm là : 34452; 34056; 34956.
 Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó đều chia hết cho 211.
Giải :
Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là : a0b; ab0; ba0; b0a.
Tổng của tất cả các số đó là :
a0b + ab0 + ba0 + b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a	
	 = 211a + 211b = 211(a + b) 211
 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để (3n + 10) chia hết cho (n + 2)
Giải :
Ta có3n + 10 = 3. (n + 2) + 4.
Mà 3.(n + 2) chia hết cho (n + 2).
Do đó (3n + 10) chia hết cho (n + 2) 4 chia hết cho (n + 2) (n + 2) là ước của 4.
	(n + 2) {1; 2; 4}
 	n{0; 2}.
 	Vậy với n {0; 2} thì (3n + 10) chia hết cho (n + 2).
 Bài 4 : Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên .
Giải :
Để là số tự nhiên thì (n + 15) (n + 3).
	[(n + 15) – (n + 3)]chia hết cho (n + 3).
 12 (n + 3)
 	(n + 3) là Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
 n {0;1; 3; 9}.
Vậy với n {0;1; 3; 9}thì là số tự nhiên .
 Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia hết cho 5; 7; 9.
Giải :
Giả sử ba số viết thêm là abc .
Ta có : 579abc5; 7; 9579abc5.7.9 =315.
Mặt khác : 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc) 315.
Mà 315 . 1838 chia hết cho 315 (30 + abc) 315.
Do 3030 + abc1029 nên (30 + abc) {315; 630; 945