Sáng kiến kinh nghiệm - Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán cực trị đại số dạng phân thức

 m
	M - | f(x)|2k M
2. 	a)	|x| 0
	b)	 | x + y | | x| + | y | dấu “=” xảy ra x, y cùng dấu
c)	 | x + y | | x| - | y | dấu “=” xảy ra x, y cùng dấu
3. Sử dụng các bất đẳng thức
a. Bất đẳng thức Cô si dưới các dạng sau:
+ (a + b)2 4ab; dấu “=” xảy ra a = b
+ + 2 (a, b > 0); dấu “=” xảy ra a = b
+ a + b 2 (a 0; b 0); dấu “=” xảy ra a= b
Các hệ quả của bất đẳng thức Côsi.
+ a > 0; b 0; a + b = k (không đổi) thì tích a.b lớn nhất khi và chỉ khi a=b
+ a 0; b 0; a.b = k (không đổi) thì tổng a + b nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b.
+ Bất đẳng thức Cô si tổng quát.
 a1 + a2 + . + an n với a1 0; i = 1.n
 Dấu “=” xảy ra a1=a2 = . = an.
b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
(ax + by)2 (a2 + b2) (x2 + y2) dấu “=” xảy ra = (a, b, x, y 0)
Nếu 	x = 0 xem như a = 0
	y = 0 xem như b = 0
Tổng quát:
Cho 2 bộ số a1, a2, . an và b1, b2, . bn
=> (a1b1 + a2b2 + + anbn)2(a12 + a22 + . + an2) (b12 + b22 + . + bn2)
Dấu “=” xảy ra khi = = . = 
c. Các bất đẳng thức khác.
B. Một số phương pháp giải toán cực trị
Phương pháp 1:
Phương pháp giải toán cực trị đại số bằng các dùng các phép biến đổi đồng nhất đưa biểu thức đại số đã cho về dạng có thể xét được cực trị của nó bằng định nghĩa.
Để tìm Max f(x, y ) trên miền (D) ta phải chứng minh
a. f (x, y  ) M 
b. Chỉ ra (x0, y0 ) D sao cho f (x0; y0 ) = M
Để tìm Min f(x) trên miền (D) ta phải chứng minh:
a. f(x) m
b. Chỉ ra (x0, y0 ) (D) sao cho f (x0; y0 ) = m
Phương pháp 2: 
Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Trong nhiều bài toán việc đặt ẩn phụ có thể đưa biểu thức phức tạp dạng xét về dạng đơn giản từ đó có thể dễ dàng xét được cực trị.
Phương pháp 3:
 Giải toán cực trị bằng cách sử dụng bất đẳng thức Côsi và Bunhiacopxki hoặc các bất đẳng thức quen thuộc khác.
Phương pháp 4:
Giải toán cực trị bằng phương pháp miền giá trị.
Giả sử phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D. Gọi y là một giá trị nào đó của f(x) với xD, có nghĩa là phương trình f(x) = y0 phải có nghiệm.
Sau khi giải điều kiện để phương trình có nghiệm (x là biến, y là tham số) thường đưa đến bất đẳng thức sau:
m y0 M 
Từ đó =>	Min f(x) = m với x D
	Max f(x) = M với x D
Phương pháp 5:
Giải toán cực trị bằng phương pháp đồ thị.
Căn cứ vào việc khảo sát đồ thị hàm số bậc 2y = ax2 + bx + c ta có thể tìm được cực trị của nó trên tập xác định [] nào đó. Vì vậy đối với các hàm số bậc 2 hoặc các hàm số có dạng bậc 2 sau khi đặt ẩn số phụ, có thể dùng phương pháp tìm cực trị có hiệu quả đó là dùng đồ thị.
Phương pháp 6:
Phương pháp xét biểu thức phụ.	
Để tìm cực trị của một biểu thức có khi người ta xét cực trị của một biểu thức khác có thể so sánh được với nó nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị lớn hơn.
Ví dụ: Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0 có thể xét biểu thức 
Các biểu thức phụ thường xét có thể là: -A, A2, |A| hoặc A + k (k là hằng số)
C. Một số dạng bài toán tìm cực trị dạng phân thức.
Dạng 1: Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.	
 A = 
 Giải
Ta có: x2 – 6x + 17 = (x - 3)2 + 8 8 nên tử và mẫu của A là các số dương do đó A lớn nhất nhỏ nhất 
 x2 – 6x + 17 nhỏ nhất (x - 3)2 + 8 nhỏ nhất.
Mà (x - 3)2 0 => (x - 3)2 + 8 8 => Min (x2 - 6x + 17) = 8 x = 3
Vậy MaxA = x = 3
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 B = 
 Giải
Ta có: B = - 2.; để đưa bài toán về dạng đơn giản như ví dụ 1.
Trước hết tìm cực trị của B’ = = 
Ta có: (3x - 1)2 + 4 4 
 Vì cả hai vế của bất đẳng thức trên đều dương => hay B’ 
Dấu “ = ” xảy ra 3x – 1 = 0 x = 
Từ đó => - 2. - 2. hay B - 
Vậy giá trị nhỏ nhất của B = - x = 
Chú ý: lập luận điều kiện để nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức và khi nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm. 
Qua hai ví dụ trên học sinh đã bước đầu có kỹ năng và hình thành kỹ năng khi tìm cực trị của biểu thức dạng M = (k, a, b, c là hằng số, a 0)
Bài tập áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất nếu có) của các biểu thức sau:
a. M = (Min M = - 3 x = 2)
b. N = 	(Min N = - x = )
c. E = (Max E = x = )
d. D = 	(Min D = - x = 1)
Dạng 2: Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 D = 
Nhận xét: + Tử là tam thức bậc hai.
 + Mẫu là bình phương của một nhị thức.
Cách biến đổi:
 + Tách D thành tổng của biểu thức không âm với hằng số (phương pháp 1)
 + Tách D thành các tổng phân thức có dạng:
D = k1. + k2. + k3. (Với k1, k2, k3 là hằng số)
Để từ đó đưa về dạng tam thức bậc hai (Phương pháp 2)
 Giải
 Cách 1: Ta có D = = 1 - + 
Đặt y = => D = 1 – y + y2 = + 
Vậy Min D = y = = x = 1
 Cách 2: D = = = 
= = + 
Vậy Min D = x = 1
 Cách 3: Gọi d là một giái trị của biểu thức D. Biểu thức D nhận giá trị d khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau có nghiệm.
D = 
 d (x2 + 2x + 1) = x2 + x + 1 
 (d - 1)x2 + (2d - 1)x + d – 1 = 0 (d 1)
Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là 0
Tức là: (2d - 1)2 – 4 (d - 1) (d - 1) 0
 4d2 – 4d + 1 – 4 (d - 1)2 0 4d – 3 0 
 d 
Vậy Min D = x = 1
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
 B = 	(Max B = 4 x = 0)
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = ( Min C= x=1)
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của D = 	 (Max D = x=1)
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của E = (Min E = x=4 )
Bài 5: (nâng cao): Cho biểu thức F = 
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của F.
b. Tìm giá trị lớn nhất của F.
Hướng dẫn:
a. Tìm Min F: Ta có: F = = 
= = 1 - + 
 Đặt y = => F = 2y2 – 2y + 1 = 2(y2 – y + ) + = 2(y - )2 + 
Vậy Min F = y = = x2 + 1 = 2 x =1
Chú ý: ở đây có thể giải theo cách khác là tách F thành tổng của biểu thức không âm cộng với hằng số F = k + f(x) 	(với f(x) 0)
b. Tìm Max F.
 Cách 1: F = = 1 - 1
Vậy Max F = 1 x = 0
 Cách 2: Xét = 1 + 1 => Max F = 1 x = 0
Dạng 3: Các phân thức dạng khác.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 A = 
 Giải
 Cách : Ta có: A = = = 2 - 2
Vậy Max A = 2 x = 1
Mặt khác: A = = 
	= + dấu “=” xảy ra x = - 1
Vậy Min A = x = - 1
 Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị
Vì x2 + 1 0 => A.(x2 – x + 1) = x2 + 1
 x2 (A - 1) – Ax + (A - 1) = 0 	(1)
+ Nếu A = 1 thì x = 0
+ Nếu A 1 thì = A2 – 4 (A - 1)2 = - 3A2 + 8A – 4 	(1)
Điều kiện để (1) có nghĩa 0 A 2
Vậy Max A = 2 x = 1 và Min A = x = - 1
Bài tập áp dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phân thức sau.
 a, A = 
Hướng dẫn: Vì A > 0 x nên A lớn nhất nhỏ nhất.
	 và A nhỏ nhất lớn nhất.
 = = = 1 + 
 Ta có: 2x2 0 dấu “=” xảy ra x = 0
x4 + 1 > 0 => 0 => 1 + 0 = 1
Min () = 1 x = 0 => Max A = 1 x = 0
 Mặt khác: (x2 - 1)2 0 x4 – 2x2 + 1 0 2x2 1 + x4.
Dấu “=” xảy ra x4 + 1 = 0 x = 1
Vì x4 + 1 > 0 => 1 => 1 + 1 = 2
Max () = 2 x = 1 => Min A = x = 1
 b, B = 
Hướng dẫn:
Ta có: B==== - 1 1
Min B = - 1 x = 6
 Mặt khác: B = = = 4 - 4
Vậy Max A = - 4 x = - 
 c, C = 
Hướng dẫn: 
 Ta có: C = = = - 1 1
Min C = - 1 x = - 1
 Mặt khác: C === 4 - 4
Max C = 4 x = 
 d, D = 
Hướng dẫn:
 Ta có: D = = = 1 - 1
Max D = 1 x = 1
 Mặt khác: D = = = = 
 = + - 
 Vậy min D = - x = - 2
Chú ý: - Các bài tập 2, 3, 4 đều có thể dùng phương pháp miền giá trị nhưng ở đây ta dùng phương pháp tách để đưa về các bất đẳng thức, từ đó rèn cho các em có khả năng quan sát, dự toán, kỹ năng biến đổi biểu thức để từ đó các em có thể làm được các bài tập có yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của phân thức có tử và mẫu là các đa thức bậc cao.
Song cách tách như trên cũng rất linh hoạt, phải biết thêm bớt một cách hợp lý, cũng có khi phải nhân cả tử và mẫu của phân thức với cùng một số.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 B = 
Ở đây ta không vội tách biểu thức sẽ khó khăn, mà phân tích tử và mẫu thành nhân tử hoặc chia đa thức tử cho mẫu thì biểu thức được rút gọn về dạng đơn giản.
B = x2 + 3x + 3 = vậy min B = x = - 
Như vậy từ đây cho học sinh nhận thấy khi gặp một phân thức bất kỳ phải xem xét phân thức đã tối giản chưa, nếu chưa tối giản thì nên biến đổi rút gọn.
Bài tập áp dụng:	Tìm giá trị nhỏ nhất của C = 
Hướng dẫn:
Chia đa thức đưa về dạng C = x4 – 8x2 + 64 = (x2 - 4)2 + 48 48
=> Min C = 48 x = 2
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = với x, y N 
Với bài này ta có thể dùng phương pháp chia khoảng rồi tìm cực trị trên từng khoảng sau đó so sánh các cực trị trong toàn bộ tập xác định của biểu thức để có kết luận.
 Giải
a. TXĐ: x, y N; x + y 5
Xét x + y 4
- Nếu y = 0 thì A = 0
- Nếu 1 y 3 thì A = 3
- Nếu y = 4 thì x = 0 và A = 4
b. Xét x + y 6 thì A = 0
So sánh các giá trị trên của A ta thấy Max A = 4 x = 0; y = 4.
Bài tập áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất của A = + với x, y N
Hướng dẫn:
a. Với x + y < 8, xét 3 trường hợp.
- Nếu y = 0 thì A = 1
- Nếu 1 y 6 thì A < 7
- Nếu y = 7 thì x = 0; A = 7
b. x + y > 8 ta có 0; 1 => A 1
So sánh các giá trị trên ta có: Max A = 7 x = 0; y = 7
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: A = + với 0 < x < 1
 Nhận xét: tử thức là bậc nhất, mẫu thức là tam thức bậc hai, ta có thể giải:
Cách 1: Viết A = hằng số k + biểu thức không âm.
Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị
Nếu tiếp tục nhận xét sẽ thấy với 0 < x < 1 thì và là các số dương nên có thể nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Côsi sao cho xuất hiện bất đẳng thức, có vế phải là hằng số. Muốn vậy phải viết lại biểu thức một cách thích hợp.
Cách 3: A = + = + + 3 = + + 3
Vì x (0, 1) nên 1 – x > 0; x > 0 nên > 0; > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có:
A 2 + 3 = 2+ 3
Dấu “=” xảy ra khi = x = 
Vậy Min A = 2+ 3 x = 
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm Min của B = + với x > 2
 Hướng dẫn: Viết B = + + từ đó áp dụng cho bất đẳng thức Côsi 
Bài 2. Tìm Max của E = + 
 Hướng dẫn: Điều kiện x 1; y 2. Sử dụng bất đẳng thức Côsi dưới dạng: Ta viết: = = 
 = = 
=> E = + + = + = 
Vậy Max E = 
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A= + + + + +++
Trong đó: z, y, z, t là các số thay đổi luôn dương.
 Giải
Ta có:
3A=+ ++ + ++ 
+ 
 3A 8 + . 6. 2 = 40 
 Vậy min A = x = y = z = t
Bài tập áp dụng:
Tìm Min f(x, y, z) tr