Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khá, giỏi sáng tạo các bài toán mới từ bài toán gốc

gócNN'T
=> Tứ giác KNN'T nội tiếp
=>gócNKN' = gócNTN' (4)
Lại có: gócNKN'+ gócN'Kx = 900 (5)
 gócNTN' + góc OTN = 900 (6)
Từ (4) ; (5) ; (6) => gócN'Kx = gócOTN (7)
Từ (2); (3) ;(7) =>gócOEN = gócOF'N' (8)
Sử dụng kết quả bài toán 1.1 và 1.2 ta có các
OEF và OE'F'
là các tam giác cân tại O kết hợp với (8) ta có
gócEOFù = gócE'OF' => gócFOF' = gócEOE' (9)
Do OE = OF; OE' = OF' nên cùng với (9) suy ra:
 OEE' = OFF' (c.g.c) => EE' = FF' 
Hinh 10
Bài 1.9: 
Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD; dây AD cắt BC tại N, AC cắt BD tại N'. Đường thẳng qua
N vuông góc với NO cắt BD, AC tại E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt các đường thẳng AD, BC tại E', F',. Chứng minh rằng EE' = FF'
Hình 9
Lời giải:
Gọi A' là giao điểm của AI và (O). AM là phân giác gócA
nên:
MB
AB
 = 
MC
AC
 = 
MA + MB
AB + AC
 = 
BC
AB + AC
 = 
1
2
 (1)
BI là tia phân giác của ABM => 
IM
IA
=
MB
AB
 (2)
Từ (1) và (2) => IM = 
AI
2
 (3)
Chú ý rằng AB'I cân tại B' và B'N là phân giác gócAB'I
 nên => NI = NA = 
AI
2
 (4)
Từ (3) và (4) => IM = IN 
Bài 1.8:
Cho tam giác ABC có AB + AC = 2BC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác, B', C' là điểm chính giữa các cung AB không
chứa C và cung AC không chứa B của (O). B'C' cắt AI tại N, đường thẳng AI
cắt BC tại M
Chứng minh: IM = IN 
K
T
F
E
F'
E'
N
N'
B
A'
M
N
I
B'
C'
O
A
CB
A
O
C
D
HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 4: sáng tạo ra các bài toán về chứng minh các đường thẳng
đồng qui, chứng minh các đường thẳng song song nhờ vận dung kết quả bài toán
gốc
Hình 11
Lời giải: cách 1: Gọi K là giao điểm của EE' và FF'
Ta chứng minh K; O; B thẳng hàng
Từ kết quả của bài toán 1.9: OEE' = OFF'
 => gócOE'E = gócOF'F => Tứ giác OKF'E' nội tiếp
chú ý rằng N là trực tâm N'AB nên NN' vuông góc AB
=> gócON'N + gócN'OB = 900 (1)
Trong tứ giác OKF'N' có:
 gócON'F' + gócN'OK +gócOKF' +gócKF'N' = 3600 
 => gócN'OK +gócOKF'+gócKF'N'=2700 (vì gócON'F'= 900 )
=> gócN'OK + gócOKF' + gócKF'O + gócOF'N' = 2700 
=>(gócOF'K +gócN'OK) + gócOKF' + gócOF'N' =2700 (2)
vì gócOKF' + gócOF'N' = gócOKF' + gócOE'F' = 1800 (3)
Từ (2) ; (3) => gócOF'K +gócN'OK = 900 (4)
Chú ý rằng OEF đồng dạng OE'F' (g.g) nên:
OF
OF'
 = 
ON
ON'
 (5) và gócNOF = gócN'OF' (6) => gócN'ON = gócF'OF (7)
Từ (5) và (7) => ONN' đồng dạng FOF' (c.g.c)
=> gócON'N = gócOF'F = gócOF'K (8)
Từ (1); (4); => gócON'N + gócN'OB = gócOF'K +gócN'OK (9)
Từ (8) ; (9) => gócN'OK = gócN'OB chứng tỏ K thuộc đường thăng OB vậy EE'; FF' AB đồng qui 
Bài 1.10: 
 Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'.
Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC tại E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F',. Chứng
minh rằng 3 đường thẳng AB, EE', FF' đồng qui tại 1 điểm 
I K
F'
E'
F
E
N
N'
A O B
D
C
CÁCH 2 (Tương tự cách giải 2 bài toán 10)
a. Chứng minh EE'; FF'; AB đồng qui
 gọi K là giao điểm của FF' và AB 
Theo định lý Menelauyt cho ABC và 3 điểm E' ; E; K thẳng hàng ta có : 
FB
FC
.
F'C
F'A
.
KA
KB
 = 1 (22)
Tiếp tục sử dụng định lý Menelauyt cho các tam giác:
* CAN' và 3 điểm F; N; E ta có: 
FC
FN'
.
EN'
EA
.
NA
NC
 = 1 (23) 
*Với DBN' và F; N; E ta có: 
ED
EN'
.
FN'
FB
.
NB
ND
 = 1 (24) 
Với AND và 3 điểm F'; E'; N' ta có:
N'D
N'A
.
E'N
E'D
.
F'A
F'N
= 1 (25) 
*Với BNC và 3 điểm F'; E'; N' ta có: 
N'C
N'B
.
F'N
F'C
.
E'B
E'N
 = 1 (26) 
nhân từng vế của (22);(23);(24);(25);(26) ta có:
FB
FC
.
F'C
F'A
.
KA
KB
.
FC
FN'
.
EN'
EA
.
NA
NC
.
ED
EN'
.
FN'
FB
.
NB
ND
.
N'D
N'A
.
E'N
E'D
.
F'A
F'N
.
N'C
N'B
.
F'N
F'C
.
E'B
E'N
 =1
=>(
NA
NC
.
NB
ND
.
N'D
N'A
.
N'C
N'B
).(
ED
EA
.
E'B
E'D
.
KA
KB
) = 1 (27)
*Với AND và 3 điểm N'; B; C ta có: 
BN
BD
.
N'D
N'A
.
AC
NC
 = 1 (28) 
*Với BNC và 3 điểm D; A; N' ta có: 
AN
AC
.
N'C
N'B
.
DB
DN
 = 1 (29) 
Nhân từng vế của (28) và (29) ta có: 
BN
BD
.
N'D
N'A
.
AC
DN
.
NA
AC
.
N'C
N'B
.
DB
DN
 = 1 => 
NB
ND
.
N'D
N'A
.
NA
NC
.
N'C
N'B
 = 1 (30)
TừØ (27) và (30) ta có: 
ED
EA
.
E'B
E'D
.
KA
KB
 = 1 (31)
Hệ thức (31) cùng với định lý đảo Menelauyt => 3 điểm E'; E; K thẳng hàng từ đó suy ra 3 đường thẳng EE';FF'
AB đồng qui tại K
b.Chứng minh E'F; EF'; CD đồng qui:
Chứng minh tương tự như cách 1
Gọi giao điểm của CD và EF' là I
Sử dụng định lý Menelauyt cho ADC và 3
điểm E; I ;F' thẳng hàng ta có:
ID
IC
.
EA
ED
.
F'C
F'A
 = 1 (19)
Từ (17) => 
ED
EA
.
F'C
F'A
 = 
FC
FB
.
E'B
E'D
 (20)
Từ (19) và (20) ta có:
ID
IC
.
FC
FB
.
E'B
E'D
 = 1 (21)
Hệ thức 21 cùng với định lý đảo Menelauyt ta suy
ra E'; I; F thẳng hàng từ đó suy ra E'F; EF', CD
đồng qui tại I Hinh 16
b. Chứng minh EF'; E'F, CD đồng qui 
K
I
F
E
F'E'
N
N'
O
A
D C
B
*Với BNC và 3 điểm F'; N'; E' ta có: 
N'B
N'C
.
F'N
F'C
.
E'B
E'N
 = 1 (5)
Nhân từng vế của 5 đẳng thức trên ta có:
FB
FC
.
F'C
F'A
.
KA
KB
.
FC
FN'
.
EN'
EA
.
NA
NC
.
ED
EN'
.
FN'
FB
.
NB
ND
.
N'D
N'A
.
E'N
E'D
.
F'A
F'N
.
N'B
N'C
.
F'N
F'C
.
E'B
E'N
 = 1
 => (
NA
NC
.
NB
ND
.
N'D
N'A
.
N'C
N'B
).(
ED
EA
.
E'B
E'D
.
KA
KB
) = 1 (6)
*Với AND và 3 điểm N'; B; C ta có: 
BN
BD
.
N'D
N'A
.
CA
CN
 = 1 (7) 
*Với BNC và 3 điểm D; A; N' ta có: 
AN
AC
.
N'C
N'B
.
DB
DN
 = 1 (8)
Nhân từng vế của (7) và (8) ta có: 
BN
BD
.
N'D
N'A
.
CA
CN
.
AN
AC
.
N'C
N'B
.
DB
DN
 = 1 
 => 
NB
ND
.
N'D
N'A
.
NA
NC
.
N'C
N'B
 = 1 (9) ; Từ (6) và (9) => 
ED
EA
.
E'B
E'D
.
KA
KB
 = 1 (10)
Hệ thức (10) cùng với định lý đảo Menelauyt ta suy ra 3 điểm K; E; E' thẳng hàng
từ đó suy ra EE' ; FF' AB đồng qui tại K
Hình 11
Cách 2: bài 1.10
Gọi K là giao điểm của AB và FF' để chứng minh
EE'; FF' AB đồng qui ta cân chứng minh K; E;E'
thẳng hàng
Sử dụng định lý Menelauyt cho ABC với 3 điểm K;
F; F' thẳng hàng ta có:
FB
FC
.
F'C
F'A
.
KA
KB
 = 1 (1)
*Với CAN' và 3 điểm F; N; E ta có:
FC
FN'
.
EN'
EA
.
NA
NC
 = 1 (2)
* Với DBN' và 3 điểm F; N; E ta có:
ED
EN'
.
FN'
FB
.
NB
ND
 = 1 (3)
* Với ADN và 3 điểm F'; E'; N' ta có:
N'D
N'A
.
E'N
E'D
.
F'A
F'N
 = 1 (4)
I K
F'
E'
F
E N
N'
A
BO
D
C
jTừ kết quả của bài toán 1.9 khi đã chứng minh được EE' = FF' ta chú ý rằng EE'; FF' là cặp cạnh đối
của tứ giác EE'F'F nên có thể đưa ra bài toán sau:
Bài 1.11 :Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'.
Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC tại E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F'.gọi K là giao điểm
của EE' và FF'. Chứng minh NN'// với tia phân giác góc E'KF'.
Hình 12Lời giải:(Hình 12)
Sử dụng kết quả của các bài toán 1; 2; 9 ta có:
NE = NF; N'E' = N'F' và EE' = FF',
gọi P; Q là trung điểm của E'F và EF' khi đó ta có:
NP // EE' và NP = 
1
2
EE'; N'Q // EE' và N'Q =
1
2
EE'
NQ // FF' và NQ = 
1
2
FF'; N'P // FF' và N'P = 
1
2
FF'
từ đó suy ra : Tứ giác NQN'P là hình thoi => NN' là phân giác gócPNQ 
Do gócPNQ = gócE'KF' (góc có canh tương ứng song song) => NN' // Kj là tia phân
giác gócE'KF'
QP
K
F'
E'
F
E
N
N'
A O B
D
C
Bài 1.13 : Cho đường tròn (o) đường kính
AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt
BC tại N'. Đường thẳng qua N vuông góc
với NO cắt AD, BC tại E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt
các đường thẳng BD, AC tại E', F.
Gọi P;Q;R;S lần lượt là trung điểm của
E'F; EF';EE'; FF'
Chứng minh: PQ; RS; NN' đòng qui
Lời giải: (Hình 14)
Ta dễ chứng minh được các tứ giác NPN'Q và
PRQS là các hình bình hành
nên suy ra NN'; PQ; RS cắt nhau tại trung điểm
mỗi đường => NN'; PQ; RS đồng qui
Hình 14
Lời giải: ( Hình 12 )
Sử dụng kết quả bài 1.10 ta có EE'; FF'; AB
đồng qui tại K. Theo định lý Mene'lauyt cho tam
giác ABC với 3 điểm E'; E; K thẳng hàng ta
có:
KA
KB
.
E'B
E'D
.
ED
EA
=1 (1)
Theo định lý Mene'lauyt cho tam giác ABC với 3
điểm F'; F; K thẳng hàng ta có:
KA
KB
.
FB
FC
.
F'C
F'A
=1 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
E'B
E'D
.
ED
EA
 = 
FB
FC
.
F'C
F'A
 (3)
=>
E'B.FC
E'D.FB
 = 
F'C.EA
F'A.ED
 (4)
Gọi I là giao điểm của E'F và CD . áp dung
định lý Menelauyt cho tam giác BCD với 3 điểm
E'; I; F thẳng hàng ta có: 
ID
IC
.
E'B
E'D
.
FC
FB
=1 (5)
Từ (4) và (5) => 
ID
IC
.
F'C
F'A
.
EA
ED
 = 1 (6)
Từ (6) và định lý đảo Menelauyt đảo ta suy ra 
E; I; F' thẳng hàng
Vậy 3 đường thẳng E'F; CD; EF' đòng qui tại I.
Hình 13
Bài 1.12 : Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'. Đường
thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC tại E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F',. gọi K là giao điểm của
EE' và FF'.
Chứng minh rằng CD, EF', E'F đồng qui 
S
R
QP
F
E
F'
E'
N
N'
A
I
K
F
E
F'
E'
N
N'
A
O
B
O B
D
C
D
C
XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT
Hình 16
BÀI 1.15 
 (tổng quát bài 1.10 và 1.12):(hình 16)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O