Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải toán tổ hợp

g, Bích. Còn tên có thể là: Nhân, Nghĩa, Trí, Đức hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách có thể đặt họ tên cho bé? ( gồm họ chữ lót và tên). 
Giải
Việc đặt tên cho bé có thể chia ra làm ba giai đoạn: chọn họ, chọn chữ lót và chọn tên.
Chọn họ có 2 cách chọn
Chọn chữ lót có 4 cách chọn
Chọn tên có 5 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có: 245 = 40 cách có thể đặt họ tên cho bé.
* Ghi nhớ:
Một công việc có nhiều phương án thực hiện tức là ta có thể thực hiện theo phương án này thì không cần thực hiện theo phương án kia khi đó để đếm số cách có thể thực hiện công việc này dùng quy tắc cộng
Một công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn tức là để hoàn thành công việc đó phải lần lượt thực hiện từng bước không được bỏ qua bước nào mới xong được công việc khi đó dùng quy tắc nhân.
2-Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
a) Định nghĩa hoán vị
* Định nghĩa:
Cho một tập hợp có phần tử () mỗi một bộ sắp xếp gồm phần tử của tập gọi là một hoán vị của tập 
Ví dụ: Cho tập các hoán vị của tập là
* Số các hoán vị của phần tử là 
* Qui ước 
b) Định nghĩa chỉnh hợp
* Định nghĩa: Cho một tập hợp có phần tử và một số nguyên với khi đó lấy ra phần tử của và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập của phần tử của .
Ví dụ: Cho tập các chỉnh hợp chập 2 của là
, , , , , .
* Số các chỉnh hợp chập của phần tử là 
Qui ước 
c) Định nghĩa tổ hợp
* Định nghĩa:
Cho một tập hợp có phần tử và một số nguyên với . Mỗi tập con của có phần tử gọi là một tổ hợp chập của phần tử của .
Ví dụ: Cho tập các tổ hợp chập 2 của là
, , .
* Số các tổ hợp chập của phần tử là 
Qui ước 
d) Phân biệt: 
Cần phân biệt rõ cho học sinh các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, cụ thể :
Từ định nghĩa cho một tập A có n phần tử
* Mỗi một hoán vị là một bộ xắp xếp tất cả n phần tử của A
* Mỗi một chỉnh hợp là một bộ sắp xếp các phần tử của một tập con của tập A. Do đó một hoán vị chập n của tập A là một chỉnh hợp chập n của tập A 
( ).
* Sự giống nhau và khác nhau của chỉnh hợp chập của và tổ hợp chập của ()
- Giống nhau: Đều là một tập con gồm phần tử của tập A.
- Khác nhau: Mỗi một chỉnh hợp chập của phần tử là một tập con gồm phần tử , kể cả thứ tự của một tập phần tử
Mỗi một tổ hợp chập của phần tử là một tập con gồm phần tử không kể thứ tự của một tập phần tử.
Tức là muốn hình thành các chỉnh hợp chập của phần tử ta có thể tiến hành theo 2 bước liên tiếp
Bước 1: Tìm tất cả các tổ hợp chập của 
Bước 2: Tìm tất cả các hoán vị trong từng tổ hợp
Ví dụ : Cho tập 
- Các tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của tập là:
- Mỗi một tổ hợp chập 3 của 4 phần tử cho ta 6 chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử chẳng hạn từ tổ hợp cho ta các chỉnh hợp chập 3 của 4 là: 
Do đó từ 4 phần tử của tập cho ta 64=24 chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử.
* Ghi nhớ:
Sau khi chọn được một nhóm đối tượng ta tráo đổi vai trò của hai phần tử cho nhau nếu được một cách chọn mới thì đó là chỉnh hợp. Nếu không được cách chọn mới thì đó là tổ hợp.
B– Bài tập áp dụng
Những dạng toán chủ yếu cần rèn luyện kỹ năng cho học sinh là: 
1. Bài toán đếm số chỉnh hợp, số tổ hợp 
2- Bài toán về hoán vị thẳng và hoán vị vòng
 3- Bài toán đếm số các số thoả mãn tính chất hình thành từ một tập và các chữ số đôi một khác nhau.
4- Bài toán đếm số các số thoả mãn tính chất hình thành từ một tập và các chữ số có thể trùng nhau. 
Vì thời gian học chính khoá cho phần tổ hợp chỉ có 6 tiết đối với ban A nên phần bài tập cần phụ đạo thêm cho học sinh vào hai buổi chiều, thời gian cho mỗi buổi là 2 tiết.
1. Bài toán đếm số chỉnh hợp, số tổ hợp 
Khi sử dụng kiến thức về chỉnh hợp, tổ hợp để giải các bài toán giáo viên cần lưu ý học sinh các đối tượng đếm không bị lặp lại. Đây cũng là sai lầm rất dễ mắc phải. Do đó chúng ta cần cho học sinh được thử thách với những bài toán dễ mắc sai lầm; cần phải tiếp xúc với những sai lầm thì mới sửa chữa được sai lầm. 
Ví dụ 1: (bài 58 sgk Đại số và giải tích 11- nâng cao)
Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện với các đỉnh thuộc tập đã cho
* Sai lầm thường gặp
Cứ 4 điểm không đồng phẳng thì tạo được một tứ diện do đó số tứ diện lập được với các đỉnh thuộc tập 9 đỉnh đã cho là tứ diện
* Nguyên nhân sai lầm:
Cách giải trên đã tính lặp 4! lần số tứ diện vì bốn đỉnh của một tứ diện không có tính xếp thứ tự chẳng hạn tứ diện ABCD và tứ diện BACD là một 
* Lời giải đúng
Cứ 4 điểm không đồng phẳng thuộc tập hợp đã cho thì tạo được một tứ diện. Ngược lại, mỗi một tứ diện có 4 đỉnh thuộc tập đã cho tương ứng với một tập con của tập đã cho (vì bốn đỉnh của một tứ diện không có tính xếp thứ tự). Do đó số tứ diện lập được với các đỉnh thuộc tập 9 đỉnh đã cho là tứ diện
Ví dụ 2: Lớp 11A1 có 40 học sinh, cần bầu một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó và 2 uỷ viên. Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự.
* Sai lầm thường gặp 
Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó có cách chọn
Chọn 2 uỷ viên trong 38 học sinh còn lại có 
Theo quy tắc nhân có cách.
* Nguyên nhân sai lầm
Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự. Chẳng hạn khi đã chọn 2 học sinh A và B để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó thì có hai cách: A làm lớp trưởng còn B làm lớp phó và B làm lớp trưởng còn A làm lớp phó. Nên mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 2 của 40 phần tử do đó số cách chọn là =
* Lời giải đúng
Trước tiên để định hướng cách giải cho học sinh, giáo viên cần phân tích: Để chọn được một ban cán sự cần thực hiện 3 công đoạn chọn một lớp trưởng, chọn một lớp phó và chọn 2 uỷ viên. Do đó ta có lời giải
 Cách 1
 Công đoạn 1: Chọn 1 lớp trưởng có 40 cách.
 Công đoạn 2: Chọn 1 lớp phó trong 39 học sinh sau khi đã chọn lớp trưởng có 39 cách.
Công đoạn 3: Chọn 2 uỷ viên trong 38 học sinh còn lại (3 uỷ viên cần chọn không có thứ tự nên dùng tổ hợp) có 
Theo quy tắc nhân có cách
Cách 2
Để chọn được một ban cán sự có thể thực hiện 2 công đoạn chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng 1 làm lớp phó và chọn 2 uỷ viên. Do đó ta có lời giải
Công đoạn 1: Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự nên số cách chọn là =
Công đoạn 2: Chọn 2 học sinh trong 38 học sinh còn lại làm uỷ viên, cách chọn này không có thứ tự nên số cách chọn là .
Vậy số cách chọn ban đại diện lớp là:.= cách.
Cách 3 
Để chọn được một ban cán sự cũng có thể thực hiện 2 công đoạn. Trước tiên chọn cùng 1 lúc 4 học sinh sau đó rồi mới phân công chức vụ. Do đó ta có lời giải:
Chọn 4 học sinh để làm một ban cán sự cách chọn này không có thứ tự nên số cách chọn là cách. Với mỗi cách chọn 4 học sinh trên chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự nên số cách chọn là =12 cách, tiếp theo chọn 2 học sinh còn lại làm uỷ viên có 1 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 91 390121=1 096 680 cách.
Ví dụ 3: Trong một hộp có 4 viên bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Cần chọn ra 4 viên từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số 4 viên đó không có đủ 3 màu.
* Sai lầm thường gặp
Số cách chọn 4 viên không có màu trắng là cách.
Số cách chọn 4 viên không có màu vàng là cách.
Số cách chọn 4 viên không có màu đỏ là cách.
Theo quy tắc cộng có cách.
* Nguyên nhân sai lầm:
Cách giải trên sai ở chỗ đã tính lặp lại 2 lần số các viên cùng một màu đỏ hoặc cùng màu trắng hoặc cùng màu vàng. 
* Lời giải đúng:
Cách 1: ( Chọn trực tiếp )
- Số cách chọn 4 bi cùng một màu là: 
- Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu đỏ và trắng là: 
++
- Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu trắng và vàng là: 
++
- Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu vàng và đỏ là: 
++
Theo quy tắc cộng có cách.
Cách 2
- Số cách chọn tuỳ ý 4 viên là cách.
- Tính số cách chọn 4 viên đủ 3 màu:
+) Trong đó 2 đỏ , 1 trắng, 1 vàng l có cách
+) Trong đó 1 đỏ , 2 trắng, 1 vàng l có cách
+) Trong đó 1 đỏ , 1 trắng, 2 vàng l có cách
- Số cách chọn cần tìm là: -(++)= 645 cách
* Ghi nhớ
Với những bài toán có nhiều phương án thực hiện khi chọn trực tiếp, gặp khó khăn trong việc xét đủ các trường hợp, hoặc là khó tính số các phương án chọn, thì có thể lấy số tất cả các phương án có thể xảy ra trừ đi số phương án “đối lập” với nó. 
 Một số bài tập tương tự: 
Bài 1: Một công viên có 5 cửa ra vào. Hỏi có bao nhiêu cách đi vào bằng một cửa đi ra bằng một cửa khác?
HD: Số cách đi vào bằng một cửa đi ra bằng một cửa khác bằng số chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử và bằng cách.
Bài 2: Cần chọn từ 9 học sinh nữ và 7 học sinh nam ra 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy nam- nữ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép?
 HD: Số cách chọn 3 nam là cách
Số cách chọn 3 nữ là cách.
Số cách chọn 3 nam và 3 nữ là cách
Do đó số cách ghép 3 cặp nhảy nam- nữ là 
Bài 3: Trên mặt phẳng cho một đa giác lồi có 10 cạnh
a) Tìm số đường chéo của đa giác?
b) Xét các tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là cạnh của đa giác đã cho?
HD
a) Cách 1:
Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác là số cạnh của đa giác là 10 nên số đường chéo của đa giác là -10 =35.
Cách 2:
Từ một đỉnh của đa giác kẻ tới 7 đỉnh kia (trừ đỉnh đó và hai đỉnh kề nó) được 7 đường thẳng nên kẻ được tất cả 107= 70 đường thẳng. Mỗi đường thẳng nói trên đã được tính lặp 2 lần chẳng hạn từ đỉnh A đã nối tới D sau đó từ đỉnh D lại nối tới A . Do đó số đường chéo phân biệt của đa giác lồi 10 cạnh là .
b) Số các tam giác phân biệt có 3 đỉnh lấy từ 10 đỉnh của đa giác lồi là tam giác. ứng với một cạnh của đa giác có 8 cách chọn đỉnh để tạo thành một tam giác, do đó có tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác đã cho. Trong đó có 10 tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh liên tiếp của đa giác nhưng bị tính lặp 2 lần chẳng hạn nên số tam giác phân biệt có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác đã cho là:
80-10 = 70.
Nên số tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là cạnh của đa giác đã cho là 
Bài 4: 
a) Có bao nhiêu đường chéo trong một đa giác lồi n cạnh?
b) Một đa giác lồi có số đường chéo là 35 thì số cạnh bằng bao nhiêu?
ĐS: 
a) 
b) 
2- Bài to