Sáng kiến kinh nghiệm - Giải pháp thực hiện phép nhân, chia đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó

hân đơn thức với đa thức nhằm giúp học sinh khắc sâu quy trình khi thực hiện nhân đơn thức với đa thức.
2.1.2. Nhân đa thức với đa thức.
 Sau khi học sinh đã thực hiện thành thạo phép nhân đơn thức học sinh có thể dễ dàng thực hiện phép nhân đa thức với đa thức.
 Ví dụ: .
 Gọi 2 học sinh : Học sinh 1 thực hiện phép tính 
 Học sinh 2 thực hiện phép tính 
 Kết quả của học sinh 1là : 
 Kết quả của học sinh 2 là: -12x2 + 10x - 1.
GV ghép nối 2 kết quả trên được : -12x2 + 10x - 1.
Yêu càu học sinh thu gọn các hạng tử đồng dạng sau khi thu gọn GV kết luận đó chính là kết quả phép nhân đa thức với đa thức 
2.2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số) là biến đổi thành tíc của những đa thức bậc nhỏ hơn.
 Ví dụ: x3 + y3 = ( x + y) (x2 + xy + y2) 
 Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp.
2.2.1.Phương pháp 1 : Đặt nhân tử chung ( thừa số).
 * Các ví dụ: phân tích đa thức thành nhân tử.
 a. 12x2y – 18y3.
 b. 3x2( y -2z) - 15x(y – 2z)2.
 Giải
a. Các hạng tử có nhân tử chung là 6y, do đó:
12x2y – 18y3 = 6y.2x2 – 6y.3y2 = 6y( 2x2 -3y2).
b. Cacs hạng tử có nhân tử chung là: 3x( y- 2z).
Do đó ta có: 3x2( y -2z) - 15x(y – 2z)2 = 3x(y-2z) [x- 5(y-2z) ].
 = 3(y – 2zx- 5y +10z).
 * Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.
Chẳng hạn đa thức: 2x2 ( 3y –z) + ( z- 3y)( x + y).
Có thể viết: 2x2 ( 3y –z) - (3y - z)( x + y) và xuất hiện nhân tử chung là (3y –z).
2.2.2.Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
 * Các ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.
 a. 4x2 -12x +9. c. 16x2 – 9( x +y)2.
b. 27 –27x +9x2 –x3. d. 1 – 27x3y6.
 Giải
a. 4x2 -12x +9 = ( 2x)2 – 2.2x.3 + 32 = ( 2x – 3)2.
b. 27 –27x +9x2 –x3 = 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3 = ( 3 – x)3.
c. 16x2 – 9( x +y)2 = ( 4x)2 - [ 3( x+y) ]2 = ( x-3y)( 7x +y).
d. 1 – 27x3y6 = 13 – (3xy2)3 = ( 1- 3xy2)(1+ 3xy2 + 9x2y4).
 * Chú ý. Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức, chẳng hạn:
-x4y2 – 8x2y – 16 = -( x4y2 + 8x2y +16) = - ( x2 y + 4)2.
2.2.3.Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử .
 * Dạng tam thức bậc hai.
V í d ụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 6x + 8.
Giải
 Đa thức trên không có thừa số chung, cũng không có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ và cùng không thể nhóm hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một hạng tử thành 2 hay nhiều hạng tử.
 Cách 1. x2 – 6x + 8 = x2 – 2x - 4x2 + 8.
 = x( x - 2) - 4( x-2) 
 = ( x - 2)( x - 4).
Cách 2. x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 - 1 
 = ( x - 3)2 - 1.
 = ( x - 2)( x - 4).
Cách 3. x2 – 6x + 8 = x2 – 4x + 4 - 2x +4.
 = ( x - 2)2 – 2( x - 2 ).
 = ( x - 2) ( x - 4).
Cách 4 . x2 – 6x + 8 = x2 –4 - 6x + 12.
 = ( x - 2)( x + 2) – 6( x - 2).
 = ( x - 2) ( x-4).
Cách 5 . x2 – 6x + 8 = x2 –16 - 6x + 24.
 = ( x - 4)( x+ 4) – 6( x - 4).
 = ( x - 2) ( x- 4).
Cách 6 . x2 – 6x + 8 = 3x2 - 6x + 2x2 + 8.
 = 3x( x - 2) – 2( x - 2)( x + 2) .
 = ( x - 2) ( x- 4).
 Nhận xét: Trong các cách giải trên, cách 1 là đơn giản nhất và dễ làm nhất. Ở đây ta đã tách số hạng bậc nhất -6x thành 2 số hạng -2x và -4x. Trong đa thức x2 – 2x - 4x2 + 8 bằng hệ số của các số hạng là: 1; -2; -4; 8 các hệ số thứ hai và thứ tư đều gấp -2 lần hệ số liền trước nó, nhờ đó xuất hiện nhân tử chung ( x – 2).
 Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử và tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho , tức là b1.b2 = a.c.
 Trong thực hành ta làm như sau: 
 Bước 1: tìm tích a.c
 Bước 2: phân tích ac thành tích của hai thừa số, hai thừa số này cùng dấu nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm ( vì tổng của chúng bằng -6). 
 Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2 + 6x - 8.
Giải
cách 1. tách hạng tử thứ hai.
 9x2 + 6x – 8 = 9x2 - 6x + 12x - 8.
 = 3x( 3x – 2) + 4( 3x – 2).
 = ( 3x – 2)( 3x + 4)
 Chú ý: hệ số 6 được tách thành -6 và 12 vì tích của ac = 9.(-8) = 72.
 Cách 2. Tách hạng tử thứ ba.
 9x2 + 6x – 8 = 9x2 + 6x + 1 - 9.
 = ( 3x + 1)2 – 33.
 = ( 3x – 2)( 3x + 4)
 Nhận xét. Qua 2 ví dụ trên ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhau thường nhằm mục đích: 
 - Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhâ tử chung ( cách 1).
 - Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương ( cách 2).
 Chú ý: 
a. Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tương tự đa thức bậc hai một biến.
 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x2 – 7xy + 3y2.
Giải
 Cách 1: 4x2 – 7xy + 3y2 = 4x2 – 4xy – 3xy + 3y2 
 = 4x(x - y)- 3y(x - y)
 = ( x - y)(4x-3y)
 Cách 2: 4x2 – 7xy + 3y2 = 4x2 – 8xy + xy + 4y2 – y2 
 = 4(( x- y)2 + y(x - y)
 = ( x - y)(4x - 3y)
b. Đa thức bậc hai ax2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử trong phạm vi số hữu tỷ, nếu theo cách 1 khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc theo cách hai sau khi đưa ra đa thức bậc hai về dạng a(x2 – k) thì k không phải là bình phương của một số hữu tỷ.
 Chẳng hạn đa thức x2 + 4x + 6 có tích a.c = 6 = 1.6= 2.3 , nhưng không có hai thừa số nào có tổng bằng 4.
 Còn theo cách hai thì: x2 + 4x + 6 = x2 + 4x + 4 + 2 = ( x+2)2 – (-2); -2 không là bình phường của số hữu tỷ nào. Vậy đa thức x2 + 4x + 6 không phân tích thành tích được.
 2.3. Đa thức bậc ba trở lên.
 Để tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
2.3.1. Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức.
* Định nghĩa nghiệm của đa thức.
 Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) = 0, như vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x = 0 thì nó chứa thừa số x-a.
 Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau:
* Định lí 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì là một nghiệm của đa thức .
* Định lí 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức .
* Định lí 3: nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó sẽ là ước của hệ số tự do.
 Chú ý: để nhanh chióng loại trừ các nghiệm của hệ số tự do, không là nghiệm của đa thức có thể dùng nhận xét sau:
 a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì và đều là số nguyên.
 Ví dụ : f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18.
Có các ước của 18 là: 
f(1) = -18. f(1) = -44. Hiển nhiên không là nghiệm của f(x) .
 Ta thấy không nguyên nên không là nghiệm của f(x) ; không nguyên nên 2 không phải là nghiệm của f(x).
 Chỉ còn -2 và 3 kiểm tra thấy 3 là nghiệm của f(x).
* Định lí 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ x=p/q thì p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất .
2.3.2.Các ví dụ.
 Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 5x2 + 8x – 4.
 Ta thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số là 1 -5 + 8 – 4 = 0, nên là 1 nghiệm của đa thức . Đa thức đã cho chứa thừa số là x-1; ta tách các hạng tử như sau:
 x3 – 5x2 +8x – 4 = x3 – x2 + 4x + 4x – 4 
 = x2 (x-1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) .
 = (x-1)(x2 – 4x + 4) = (x -1)(x-2)2.
 Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 5x2 +3x +9.
 Ta thấy các hệ số của đa thức 1+ 3 = -5 +9, nên đa thức đã cho có nghiệm là -1, đa thức chứa thừa số x+1.
 Ta tách như sau: x3 – 5x2 + 3x +9 = x3 – 6x + x – 6x + 9x + 9.
 = x2(x + 1) - 6x(x +1) + 9(x + 1).
 = (x + 1)(x-3)2.
 Ví dụ 3: f(x) = x3 –x2 – 4 
 Lần lượt kiểm tra với x = .
 Ta thấy f(2) = 0, đa thức có nghiệ là x = 2, do đó chứa thừa số x – 2.
 Ta có: x3 – x2 – 4 = x3 – 2x2 + x2 – 2x + 2x – 4 
 = x2(x - 2) + x(x – 2) + 2(x – 2) 
 = (x – 2)(x2 + x + 2).
 Ví dụ 4: 2x3 –x2 +5x +3. 
 Ta thấy không là nghiệm của đa thức , xét các số hữu tỷ dạng p/q với p là Ư(2) và q là Ư(3) gồm . Ta có là nghiệm của đa thức nên chứa thừa số 2x + 1.
 Vậy: 2x3 – x2 +5x +3 = 2x3 + x2 – 2x2 + 6x – x + 3
 = x2(2x + 1) – x(2x + 1) + 3(2x + 1)
 = (2x + 1)(x2 – x + 3).
2.3.3. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
 * Thêm và bớt cùng một số hạng để xuất hiên hằng đẳng thức.
 Ví dụ: 4x4 + 81
Ta thấy đa thức đã cho là tổng của 2 bình phương (2x2)2 + 92 tương ứng với hai số hạng A2 + B2 của hằng đẳng thức A2 +2AB + B2 còn thiếu 2AB, cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất hiện hằng đẳng thức.
 Ta có : 4x4 + 81 = (2x2)2 + 2.2x2.9 + 92 – 2.2x2.9
 = (2x2 + 9)2 – (6x)2
 = (2x2 – 6x + 9)(2x2 + 6x + 9).
 Chú ý: Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương thì mới làm tiếp bài được.
 * Thêm bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện thừa số chung.
 Ví dụ: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 -4x2 
 = (x2 +2)2 – (2x)2
 = (x2 + 2 +2x)(x2 + 2 – 2x)
2.3.4. Phương pháp đổi biến.
 Thực hiện đỏi biến của đa thức đã cho được đa thức mới bậc nhỏ hơn và đơn giản hơn.
* Các ví dụ.
 Ví dụ 1: ( x2 +x)2 + 4x2 + 4x – 12
 Ta thấy nếu đặt (x2 + x) = y thì đa thức có dạng y2 + 4y -12.
 Ta có: y2 + 4y – 12 = y2 + 6y – 2y – 12
 = y(y + 6) – 2(y + 6)
 = (y+ 6)(y – 2).
 Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x – 2) = (x2 + x +6)(x + 2)(x – 1).
 Ví dụ 2: (x +2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 .
 Ta có: (x +2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 = [ (x +2)( x+5) ] [ (x+3)(x+4) ]– 24
 = (x2 + 7x +10)(x2 + 7x + 12) – 24 (*)
Đặt x2 + 7x + 11 = y, thì (*) bằng; (y-1)(y+1) – 24 = y2 – 25 = (y-5)(y+5)
Tương đương với (x2 + 7x +16)(x2 +7x +6) = (x+1)(x+6)(x2 + 7x +16).
2.3.5. Phương pháp hệ số bất định 
 Ví dụ: 
 x4 – 6x3 + 4x2 + 14x + 3
 Các hệ số -1;1; -3; 3 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm hữu tỷ.
 Như vậy đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d).
Phép nhân này cho kết quả: x4 + (a+c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được:
 a +c = -6
 ac + b + d = 4
 ad + bc = 14
 bd = 3
Xét db =3 với b,d thuộc Z, ; với b =-3 thì d = -1.
Khi đó a+ c =-6	 ac = 8	 -a –3c = 14
 Suy ra: a =-2; c= -4, 
vậy đa thức được phân tích thành: (x2 - 2x - 3)(x2 - 4x - 1).
 Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải trên bằng cách tách hạng tử :
x4 – 6x3 + 4x2 +14x +3 = x4 -2x3 – 3x2 – 4x3 + 8x2 + 12x – x2 + 2x + 3
 = x2(x2 -2x – 3) – 4x(x2 – 2x – 3) – (x2 -2x – 3)
 = (x2 - 2x - 3