Sáng kiến kinh nghiệm giải bất phương trình trong đề thi Đại học

Hệ quả: Trong ba số thực bất kỳ x, y, z luôn tìm được hai số có tích không âm.
Đây là một hệ quả rất quan trọng trong việc chứng minh bất đẳng thức; bởi khi ta đã chọn được “điểm rơi” (tức là đẳng thức của bài toán), chẳng hạn đẳng thức xảy ra khi a = b = c = k thì ta có thể giả sử hai số (a – k), (b – k) có tích (a – k)(b – k) 0; từ kết quả này để suy ra BĐT cần chứng minh.
VD1: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
	a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 2(ab + bc + ca)
Lời giải: Dự đoán “điểm rơi” tại a = b = c = 1.
Theo hệ quả thì hai trong ba số (a – 1), (b – 1), (c – 1) có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử (a – 1)(b – 1) 0 
thì ta có 2c(a – 1)(b – 1) 0 2abc 2bc + 2ca – 2c.
Vậy chỉ cần chứng minh: a2 + b2 + c2 + 1 2c + 2ab (a – b)2 + (c – 1)2 0.
BĐT trên luôn đúng. Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Nhận xét: Ta có thể chứng minh được bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực a, b, c:
	a2 + b2 + c2 + a2b2c2 + 2 2(ab + bc + ca).
Thật vậy, theo hệ quả thì trong ba số a2 – 1, b2 – 1, c2 – 1 có thích không âm. Giả sử (a2 – 1)(b2 – 1) 0 thì ta có:
	c2(a2 – 1)(b2 – 1) 0 a2b2c2 + c2 b2c2 + c2a2.
Vậy chỉ cần chứng minh:
	a2 + b2 + 2 + b2c2 + c2a2 2(ab + bc + ca)
(a – b)2 + (bc – 1)2 + (ca – 1)2 0 BĐT này hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
VD2: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 + 2abc + 3 (a + 1)(b + 1)(c + 1).
Lời giải: Sau khi nhân cat hai vế với 2 và biến đổi thì BĐT trên tương đương với:
2(a2 + b2 + c2 ) + 2abc + 4 2(ab + bc + ca) + 2(a + b + c).
Theo VD1, chỉ cần chứng minh:
a2 + b2 + c2 + 3 2(a + b + c)
	 (a – 1)2 + (b – 1)2 + (c – 1)2 0 (BĐT này đúng)
Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
VD3: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
	(a2 +2)(b2 + 2)(c2 +2) 3(a + b + c)2 + (abc – 1)2.
Lời giải: BĐT trên tương đương với:
2(a2b2 +b2c2 + c2a2) + 4(a2 + b2 + c2) + 2abc + 7 9(ab + bc + ca)
Theo BĐT Cauchy thì:
	2a2b2 + 2 + 2b2c2 + 2 + 2c2a2 + 2 4ab + 4bc + 4ca
Và 3a2 + 3b2 + 3c2 3ab + 3bc + 3ca.
Kết quả VD1 ta có điều phải chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
VD4: Cho các số thực bất kỳ a, b, c. Chứng minh rằng:
(a2 +2)(b2 + 2)(c2 +2) 3(a + b + c)2
Lời giải: BĐT đã cho tương đương với:
2(a2b2 +b2c2 + c2a2) + a2 + b2 + c2 + a2b2c2 + 8 6(ab + bc + ca).
Từ nhận xét ở VD1, chỉ cần chứng minh:
2(a2b2 +b2c2 + c2a2) + 6 4(ab + bc + ca)
 (ab – 1)2 + (bc – 1)2 + (ca – 1)2 0 (đúng).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Nhận xét: Các kết quả VD3 và VD4 là những BĐT là chặt cho kết quả sau:
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
(a2 +2)(b2 + 2)(c2 +2) 9(ab + bc + ca)
VD5: (USA2001) Cho các số thực a, b, c dưong thỏa mãn: 
 a2 + b2 + c2 +abc = 4. Chứng minh rằng ab + bc + ca – abc 2.
Lời giải: Theo Hệ quả thì hai trong ba số (a – 1), (b – 1), (c – 1) có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử (a – 1)(b – 1) 0 thì c(a – 1)(b – 1) 0
 ab + c 2.
Từ hai bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
VD6: Cho các số thực dương a, b, c sao cho a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
(a2 – a + 1)(b2 – b + 1)(c2 – c + 1) 1.
Lời giải: Theo Hệ quả, hai trong ba số (a – 1), (b – 1), (c – 1) có tích không âm. Không mất tính tổng quát giả sử (b – 1)(c – 1) 0. 
Khi đó (b2 – b + 1)(c2 – c + 1) = bc(b – 1)(c – 1) + b2 + c2 – b – c +1
	 b2 + c2 – b – c +1 
Do đó (a2 – a + 1)(b2 – b + 1)(c2 – c + 1) (a2 – a + 1)()
	 = (a2 – a + 1)(a2 – 4a + 5)
Nên chỉ cần chứng minh (a2 – a + 1)(a2 – 4a + 5) 2.
Sử dụng phương pháp đạo hàm ta thấy BĐT này luôc đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Nhận xét: Bất đẳng thức trên vẫn đúng với nhiều biến. Các bạn hãy thử chứng minh hai mở rộng sau:
Mở rộng 1: Cho x1, x2,...,xn là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng nếu n 13 thì:
()()() ()2
Mở rộng: Cho các số thực dương a, b, c sao cho a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 
	với mọi p > 1.
VD7: (UK TST 2005) Cho các số thực dương a, b, c sao cho abc = 1. Chứng minh:
Lời giải: Trước hết ta chứng minh hai BĐT sau:
 	(1)
 	(2)
Thật vậy:
BĐT(1) 
 a2 + b2 + c2 3
Theo BĐT Cauchy và abc = 1 thì:
	a2 + b2 + c2 
Vậy BĐT (1) được chứng minh.
Theo Hệ quả thì hai trong ba số a – 1, b – 1, c – 1