Sáng kiến kinh nghiệm Dùng đạo hàm và phương pháp tách bộ phận kép để tìm một số bài toán giới hạn đặc biệt

Mở đầu
lý do chọn đề tài:
Trong quá trình giảng dạy môn toán, việc đưa ra những phương pháp mới giúp cho việc giải bài toán đó ngắn gọn hơn là rất cần thiết. Từ đó tạo sự lý thú cho học sinh khi học tập môn toán. Trong bài viết này tôi xin được trình bày một phương pháp mới để tính giới hạn của hàm số đó là phương pháp “Dùng đạo và phương pháp tách bộ phận kép để tìm một số bài toán giới hạn đặc biệt”.
Mục đích:
Giúp cho học sinh nắm được một phương pháp mới để tính giới hạn .
Đối tượng nghiên cứu:
Phương pháp này có thể phù hợp cho các đối tượng là học sinh lớp 11 và 12 sau khi đã được học về định nghĩa đạo hàm của hàm số và hàm số mũ và hàm số loga (tùy mức độ nhận thức của học sinh).
Cơ sở lý luận:
Dựa vào thực tế giảng dạy.
Vận dụng các phương pháp giảng dạy cho phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Dựa vào một số tài liệu có sẵn.
Nội DUNG
Bài toán tính giới hạn của hàm số thương gặp trong các kỳ tuyển sinh học sinh thường sử dụng các phương pháp khử dạng vô định đã học ngoài ra, còn một phương pháp khác mà sách giáo khoa không đề cập đến, đó là dùng định nghĩa đạo hàm và phương pháp tách bộ phận kép để tính giới hạn, phương pháp này dùng cho một lớp bài
toán khá rộng trong chương trình. Xin đưa ra và phân tích một số bài tập minh họa cho hai phương pháp này.
Phần một
dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số
Bài toán 1: tính giới hạn:
 ( ĐHTC-Kế toán, Hà nội, 2001)
 Lời giải 
 Đặt 
tính 
suy ra 
Nhận xét: Nếu dùng phương pháp gọi số hạng vắng để khử dạng vô định, ta đi đến 2 bài toán mới nhưng lời giải dài dòng
Bài toán 2: tính giới hạn 
 (ĐHQG Hà nội, 2000)
 Lời giải 
 đặt 
Ta viết lại vì , 
 suy ra L= .
 .
 Vậy L = 1
Nhận xét. Nếu sử dụng phương pháp gọi số hạng vắng, ta có bài toán mới khá phức tạp:
Bài toán 3: tính giới hạn:
 ( ĐH GTVT, 1998 )
 Lời giải 
Đặt và .
 và 
Ta viết lại 
Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp nhân liên hợp, ta có cách giải phải biến đổi dài dòng.
Bài toán 4: tính giới hạn:
 (ĐH Hàng hải - 1999)
 Lời giải 
Đặt 
Ta viết lại vì , 
 suy ra L= . 
Nhận xét: Có thể giải bằng cách khác:
 Dùng định lí cũng đi 
đến kết quả L = 1
Bài toán 5: tính giới hạn:
 Lời giải 
 Đặt: 
Suy ra 
Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp nhân liên hợp, ta có cách giải phải biến đổi dài dòng.
 Bài toán 6 : tính giới hạn:
 Lời giải 
đặt 
Ta lại có 
Nhận xét: Nếu bài toán trên không dung định nghĩa đạo hàm ta viết lại:
 ( 1 )
Ta phải chứng minh bài toán quen thuộc sau đây:
 bằng cách đặt .Từ đó áp dụng vào ( 1 ) để có kết quả.
Thật khó khăn phải không các bạn !
Bài tập tham khảo
Tính các gới hạn sau:
1)
2)
3)
3) ( ĐH SP Hà nội || - 2000 )
4) ( ĐH Thủy lợi - 2001 )
Phần hai
Phương pháp tách bộ phận kép để tìm giới hạn của phân thức chứa căn
Phương pháp ;
Muốn tìm giới hạn có dạng (m, n, k là các số tự nhiên, )
Ta biến đổi bằng cách thêm bớt biểu thức vào phân thức để tìm giới hạn:
Trong đó theo thứ tự là biểu thức liên hợp của và 
Lúc đó 
điều quan trọng là chọn được h(x) sao cho các giới hạn
 có dạng xác định hay dạng quen thuộc.
Dưới đây là các ví dụ minh họa.
Bài toán 1: tính giới hạn:
 Lời giải 
Đặt 
 ở đây h(x) = x + 3
Viết lại 
Ta có 
Từ ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) ta có 
Lưu ý: Biểu thức h(x) được xác định từ các biểu thức và được gọi là bộ phận kép trong bài toán tìm giới hạn dạng (*). một vài số hạng của bộ phận kép h(x) có thể bị ẩn trong ta phải tìm chúng để xác định chính xác biểu thức h(x).
thí dụ:
Bài toán 2: tính giới hạn: 
 Lời giải
Đặt 
ở đây h(x) = cosx ta viết lại 
Từ (4), (5), (6) có .
Bài toán 2: tính giới hạn: 
Lời giải
Đặt 
hay 
 hay 
 ở đây h(x) = 1 – x 
Ta viết lại 
Ta có 
Từ (7), (8), (9) có .
 Bài tập tham khảo
Tính các giới hạn sau:
 1) (ĐH thủy lợi Hà nội 2001)
 2) 
 3) 
 4) 
Bài học kinh nghiệm và kết quả
 Sau khi đưa ra phương pháp trên vào dạy cho học sinh, học sinh lúc đầu còn bỡ ngỡ nhưng sau đó các em đã nắm được phương pháp và sử dụng khá thành thạo, qua đó các em có một tư duy sáng tạo trong toán học, đặc biệt là các em học sinh khá và giỏi.
 Tuy nhiên bài viết trên mới chỉ đề cập tới hai phương pháp. Bằng phương pháp tư duy các em có thể mở rộng sang phương pháp khác về tìm giới hạn ví dụ như phương pháp nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử hoặc đổi biến số để đưa về bài toán quen thuộc, hoặc dùng phương pháp gọi số hạng vắng
 Trên đây là kinh nghiệm của tôi. xin các đồng nghiệp đóng góp ý kiến để bài viết hoàn thiện hơn.
 Phù Cừ, ngày 19 – 5 – 2008
 Người viết
 PHAN TUấN ANH