Sáng kiến kinh nghiệm Đổi mới phương pháp rèn luyện, ôn tập, kiểm tra đánh giá cho học sinh khối 12 về môn toán

Phương pháp: 
 Bước 1 : Đặt t = dt = a . 
Bước 2 : Đổi cận : x a b
	 t u(a) u(b)
 Bước 3 : Tính I :
	 I = 
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau : 
A = . ; B = . 
C = . ( Ta đặt t = )
3. Dạng 3 : Tính : I = ; Với f(x) = . 
Phương pháp: 
 Bước 1 : Đặt t = dt = a . cosx.dx =.
	f(x)dx = . ta đưa về bài toán quen thuộc.
Ví dụ 4 : Tính các tích phân sau : 
4 . D = ; 5 . E = .
6 . G = ; Ta đặt t = .
4 Dạng 4 : Tính : I = ; Với f(x)dx = .
Phương pháp: 
Bước 1 : Đặt x = b.tant , dx = .dt.
	 b2 + x2 = b2.( 1 + tan2t) . f(x).dx = .
Bước 2: Đổi cận, tính kết quả .
5. Dạng 5 : Tính : I = ; Với = dx . (a> 0)
Phương pháp: 
Bước 1 : Đặt x = a.sint dx = a.cost.dt ; . 
Bước 2: Đổi cận, tính kết quả .
II/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Dạng áp dụng phương pháp tích phân từng phần : 
 I = .
Phương pháp: 
Đặt : 	 	; 
 = U.V.
Các dạng tích phân thường gặp :
Dạng 1 : Tính : I = ; Với f(x)dx = P(x). cosx.dx , hoặc P(x).sinx.dx .
Ta đặt : U = P(x) ; dv = sinx.dx.	
Dạng 2 : Tính : I = ; Với f(x)dx = P(x). ex.dx .
Ta đặt : U = P(x) ; dv = ex.dx . 
Dạng 3 : Tính : I = ; Với f(x)dx = P(x). ln(x).dx .
Ta đặt : U = ln(x) ; dv = P(x).dx .
 Chú ý 3 : Thông thường bài toán tích phân cho dưới dạng :
I = ,
 ta khai triển thành tổng hai tích phân, rồi áp dụng các phương pháp trên để tính , xong cộng kết quả lại.
Ví dụ 5: Tính các tich phân sau : 
6. ; 7. ; 
8 . ; 9 . 
C / Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích:
1) Diện tích hình phẳng:
	Cơ sở lí thuyết:
	· Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = (1).
	· Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính bởi: S = (2).
Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2.
Giải: Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = 
 thì S = 
Phương trình: x2 -1= 0 x = 1 , nghiệm x = 1 [0;2]
Vậy S = + = + = 2 (đvdt)
Vídụ 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y =x.
Giải:
 · Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x x2 + x – 2 = 0 x = 1 và x = -2 
Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức
 S = thì S = 
Vậy S = = = = (đvdt)
* Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b].
2) Thể tích vật thể tròn xoay:
	Cơ sở lí thuyết:
	Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = (3)
Ví dụ 8: 
a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox., 
Giải:
	· Phương trình 2x – x2 = 0 x = 0 và x = 2 
· Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = 
Ta có V = = = (đvtt)
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.
Giải:
	· Phương trình – x2 = x3 x = 0 và x = –1 
· Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox: 
Có V1 ==
· Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox: 
Có V2 == 
Vậy thể tích V cần tính là: V = = (đvtt)
Chú ý:4 Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng công thức dẫn đến kết quả sai KQs : V = đvtt.
Các bài tập tự luyện:
1) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y = – x2 + 4x vaø truïc hoaønh.	
KQ: S = ñvdt
2)Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng (P): y = – x2 vaø y = – x – 2 .	
KQ: S = ñvdt
3) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = 5x4 – 3x2 – 8, truïc Ox treân [1; 3]
	KQs: S = 200 ñvdt
4) Tính theå tích caùc hình troøn xoay sinh bôûi caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây khi quay quanh truïc Ox:
a) (P): y 2 = 8x vaø x = 2	KQ: 16 ñvtt
b) y = x2 vaø y = 3x	KQ: ñvtt	
c) y = ; y = 0; x = 0; x =	KQ: ñvtt
D/ Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân:
Bài 1: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y2 = 2x +1 vaø y = x -1 
	(TNTHPT năm 2001 – 2002 )
Bài 2: 1.Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá y = , bieát F(1) = 
	2.Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y= vaø truïc hoaønh Ox. 	(TNTHPT năm 2002 – 2003 )
Bài 3: Cho haøm soá y = x3 – x2 (C). Tính theå tích vaät theå troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi (C) vaø caùc ñöôøng y = 0, x =0, x = 3 quay quanh truïc Ox.	
	 (TNTHPT năm 2003 – 2004 )
Bài 4: Tính tích phaân: I = 	 (TNTHPT năm 2004 – 2005 )
Bài 5: a. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò caùc haøm soá :
	y = ex, y = 2 vaø ñöôøng thaúng x = 1.
	b. Tính tích phaân: I = 	 (TNTHPT năm 2005– 2006)
Bài 6:	Tính tích phân J = .	 	(TNTHPT năm 2006– 2007)
Bài 7: Tính tích phân I 	 (TNTHPT năm 2007– 2008)
Bài 8: Tính tích phân I = 	(TNTHPT năm 2008– 2009)
Bài 9: Tính tích phân I 	 (TNTHPT năm 2009– 2010)
ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV
CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN.
Dạng I : Viết phương trình : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng.
Bài toán 1.1/ Viết phương trình mặt cầu (S): Tâm I(a, b , c), bán kính R:
	 (S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0.	(1).
Thường được cho dưới dạng :
Cho 2 điểm A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ):
Viết phương trình mặt cầu (S), nhận AB làm đường kính
Cách giải : Gọi I(a ; b ; c ) là tâm mặt cầu (S), bán kính R :
	Ta có I là trung điểm AB : 
 ; R = = 
	Thay kết quả vừa tìm được vào (1), ta có kết quả cầm tìm.
Cho 3 điểm : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). 
Tìm trọng tâm G của tam giác ABC,
Viết phương trình mặt cầu (S) Tâm G, đi qua A .
Cách giải : Gọi G(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S), bán kính R :
	Ta có G là trọng tâm Δ ABC : 
 ; R = AG = .
	1.2/ Tìm tâm, bán kính mặt cầu (S) có phương trình :
	(S): x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + D = 0.	(1).
Cách giải : Gọi I(a ; b ; c) , R là tâm và bán kính mặt cầu (S), có phương trình (1), ta có : 
 ; R = .
 Kết luận : I(a ; b ; c ) ; R.
1.3/ Cho 4 điểm A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). D(xD ; yD ; zD ). Viết phương trình mặt cầu (S )đi qua A,B,C,D.
Cách giải : phương trình mặt cầu (S) có dạng 
 (S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0.	 (1)
Trong đó gọi I(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S)
Lần lượt thay tọa độ A, B, C, D vào (1), ta có hệ phương trình :
 ( 2)
Giải hệ ( 2 ) , với 4 ẩn số :a , b , c , D thế vào (1) ta có phương trình (S) cần tìm.
 Chú ý : bài toán đơn giản khi A(xA ; 0 ; 0 ) , B(0 ; yB ; 0 ) , C(0 ; 0 ; zC ). D(xC ; yD ; zD ).
Áp dụng :
1/ bài thi TN THPT năm 2010: Câu 4.a/1: 
“ Cho 3 điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2; 0) và C(0 ; 0 ; 3). Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC . “
2/ Bài 9.b/ trang 100- sgk hh 12 cơ bản.
---------------------------------------------------------------------
Bài toán 2.1/ 
Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ pháp tuyến (A ; B ; C).
	Ta có : (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
	 Ax + By + Cz + D = 0. (2).
Chú ý 1:
 véc tơ pháp tuyến (A ; B ; C) , được xác định tùy từng trường hợp cụ thể 
Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng :
A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). 
Cách giải : Khi đó ta chọn M0 là điểm A. = [ , ] = ( A ; B; C ) . Chú ý rèn luyện cách tính tích có hướng của 2 véc tơ [ , ] .
Với : = (a1 ; b1 ; c1 ).
 = (a2 ; b2 ; c2 ). Ta có = [ , ] 
 = = (b1.c2 – b2.c1 ; c1.a2 – c2.a1 ; a1.b2 – a2.b1 )
Tính theo tích chéo : “ Giữa – Cuối ; Cuối – Đầu ; Đầu – Giữa “
b. Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A(xA ; yA ; zA ) , và vuông góc đường thẳng :
 Δ : ; 
Cách giải : (α ) qua điểm A(xA ; yA ; zA ) và vuông góc với đường thẳng Δ nên (α ) nhận véc tơ chỉ phương của Δ : = ( a1 ; a2 ; a3 ) làm véc tơ pháp tuyến = = ( a1 ; a2 ; a3 ) . Ta có :
(α ) : a1.( x – xA ) + a2. (y – yA ) + a3. (z – zA ) = 0 
 a1.( x ) + a2.(y ) + a3.(z ) + D = 0 .
Chú ý 2 : Nếu đường thẳng Δ cho dưới dạng chính tắc :
 Δ : ; 
Thì khi giải chú ý dạng chính tắc các ẩn số x , y , z có hệ số là + 1, Nếu đề chưa cho đúng thì phải biến đổi sắp xếp dạng chính tắc đã nêu. Ta cho cả 3 phân số trên = t, chuyển về dạng tham số của Δ, ta tìm được véc tơ chỉ phương của Δ : = ( a1 ; b1 ; c1 ) 
Ví dụ: Cho đường thẳng Δ có phương trình : 
Δ : ; và điểm I( -1 , 3 ; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua I và (α ) vuông góc Δ.
Giải: 
Cho : = t ; 
Ta có véc tơ chỉ phương của Δ là = ( 2 ; - 3 ; 2 ) . 
Mặt phẳng (α ) qua I ( -1 , 3 ; 2), và (α ) vuông góc Δ :
 (α ) : -1(x – 2) + 3( y + 3) + 2( z - 2) = 0.
(α ) : -x + 3y + 2z + 7 = 0 .
Cho tứ diện A.BCD , Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua AB và song song CD .
Ta có : véc tơ pháp tuyến : = [ , ] .
Cho mặt phẳng ( β ) : A( x – a) + B ( y – b ) + C ( z – c ) = 0 . ( * )
Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) và song song mp ( β ) 
Ta có : véc tơ pháp tuyến : = [ A ; B ; C ] .
Áp dụng giải bài tập trang 80, 81 skg hh12 cơ bản
Bài toán 3.1/ 
Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ chỉ phương (a1 ; a2 ; a3 ).
Giải : Gọi M(x ; y ; z ) Δ, ta có : phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ chỉ phương (a1 ; a2 ; a3 ) :
Δ : ;
Các dạng bài tập : 
3.1/a : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm
 M0(x0 ; y0 ; z0 ) , và vuông góc mặt phẳng :
 (α ) : Ax + By + Cz + D = 0. (1).
Giải : Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng Δ , là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) : = = (A ; B ; C). Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là :
 Δ : ; (2)
3.1/b : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm
 M0(x0 ; y0 ; z0 ) , và song song với đường thẳng d:
d: ; 
Giải : T