Sáng kiến kinh nghiệm - Dạy bài tập khối đa diện - Nguyễn Hà

ố kiến thức trọng tâm về quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng, mặt phẳng đã học ở lớp 11( đầu năm giành 1 tiết ôn tập trước khi dạy chương trình 12)
+ Hệ thống bài tập giao cho học sinh trong các giờ bài tập của chương: được đưa ra từ dễ đến khó, khai thác triệt để các bài tập trong sách giáo khoa kết hợp đưa thêm bài tập ngoài bằng cách sắp xếp lại theo dạng.
+ Bài tập chương này trong sách giáo khoa rất khó, khi chọn bài tập trong sách giáo khoa có bài tôi thay đổi một số giả thiết về độ dài của một cạnh để học sinh dễ tính toán, dễ tiếp thu; các bài tập khó tôi bổ sung thêm những yêu cầu nhỏ để giảm bớt độ khó của bài.
+ Trước khi dạy mỗi dạng bài tập, giao bài tập về nhà cho học sinh chuẩn bị trước. 
+ Dạy xong các dạng giao bài tập tương tự về nhà cho các em luyện tập.
Bằng cách này học sinh yếu, trung bình có thể tiếp thu được những yêu cầu cơ bản nhất của chương, học sinh khá nâng cao được kỷ năng giải toán, có hứng thú trong học tập.
Nội dung nghiên cứu:
Kiến thức cơ bản: 
Cho vuông ở A ta có : 
Định lý Pitago : 
AB. AC = BC. AH 
Công thức tính diện tích tam giác :
Đặc biệt : vuông ở A : , đều cạnh a: 
Định lý đường trung bình, Talet.
Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý:
Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý: 
Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng : 
+ Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng 
+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a
Lưu ý về công thức tỉ số thể tích 
Cho hình chóp SABC, , ta có: 
	(*)
Nội dung chính: 
Bài tập đưa ra trong các tiết dạy được phân theo dạng, lựa chọn bài cho học sinh làm từ dễ đến khó trong mỗi dạng, một bài có thể giải theo nhiều cách khác nhau. 
Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách xác định chiều cao và đáy của khối đa diện.
Phương pháp: 
+ Xác định đáy và dựng được chiều cao khối đa diện.
+ Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức. 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng .
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
	Tính thể tích của khối chóp MBCD.
Yêu cầu: 
+ Học sinh xác định được góc.
+ Xác định được công thức thể tích của khối, tính độ dài đường cao SA.
+Xác định được đường cao trong trường hợp chân đường cao có thể không thuộc mặt đáy của khối.
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông
Lời giải:
a)Ta có 
 + 
 + 
b) Kẻ 
 Ta có: , 
Nhận xét: 
+Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
+Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông.
Bài 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. 
Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).
Yêu cầu: 
+ Học sinh nắm cách vẽ khối tứ diện đều và tính chất đặc biệt của khối.
+Xác định được đường cao và ghi thể tích của khối
+Sử dụng được định lý Pitago	
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của 
 + , 
 + 
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH
Nhận xét: 
+ Học sinh đa phần quên tứ diện đều và tính chất các mặt, các cạnh của nó.
+ Còn yếu trong tính toán độ dài của các yếu tố có trong hình vẽ.
+ Bài tập này là bài 1/25 sgk cơ bản lớp 12 bổ sung thêm câu b
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có , AD = a, AA’=a, O là giao điểm của AC và BD.
Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
Tính thể tích khối OBB’C’.
Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Yêu cầu:
+Học sinh xác định công thức thể tích của khối hộp và khối chóp.
+Biết khai thác tính chất của hình hộp đứng để làm bài: Chọn đáy của khối OBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp)
+Giải được câu b) tương tự như bài 1b
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
 Ta có : 
 .
 * Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên: 
b) M là trung điểm BC 
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Ta có : 
 + Bài tập này rèn kỷ năng làm toán trên khối lăng trụ đứng, khối hộp chữ nhật.
 + Học sinh khắc sâu cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa theo thể tích.
Bài tập dạng: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện.
Phương pháp: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích.
(Trên cơ sở phát hiện những khối dễ xác định đường cao và diện tích đáy)
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Yêu cầu:
+Học sinh biết chọn đáy và chiều cao đối với khối nhỏ đang tính 
Lời giải:
Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’.
 + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích.
 Khối CB’D’C’ có 
 + Khối lập phương có thể tích:
Nhận xét: 
+ Học sinh gặp nhiều khó khăn khi phân chia khối, giáo viên hướng dẫn
+ Bài toán này lấy từ bài tập 3/25 sách giáo khoa chỉ thay đổi giả thiết “hình hộp” thành “hình lập phương cạnh a” có số liệu cụ thể để học sinh dễ tiếp thu. Sau đó, yêu cầu học sinh tự giải bài 3/25 sách giáo khoa ở nhà.
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
E là trung điểm cạnh AC,	 mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.
Yêu cầu:
+ Học sinh biết cách tính khối A’B’ BC
+Biết phân khối chóp CA’B’FE thành hai khối chóp tam giác.
+ Biết được đường thẳng nào vuông góc với mp(CEF), ghi công thức thể tích cho khối CEFA’.
+ Tương tự cho khối CFA’B’ 
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:
 Gọi I là trung điểm AB, Ta có:
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’.
+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên 
+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên 
+ Vậy : 
+ Bài tập này lấy từ bài 10/27 SGK 12 cơ bản và thay đổi một số giả thiết. Elà trung điểm thay cho trọng tâm G để bài toán dễ hơn, phù hợp với khả năng của học sinh. 
+Sau khi gợi ý giúp học sinh tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính được thể tích khối A’B’CF
3) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách lập tỉ số thể tích của hai khối đa diện
Phương pháp: 
+ Tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện đã cho với một khối đa diện dễ tìm thể tích .
	+ Rút ra thể tích của khối đa diện đã cho.
	+ Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối chóp.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, , SA vuông góc với đáy, 
Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Gọi G là trọng tâm 	tam giác ABC, mặt phẳng qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Yêu cầu:
+Học sinh ghi được thể tích khối SABC và tính.
+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai khối. 
+ Nắm được công thức (*) để lập tỉ số thể tích đối với khối chóp 
Lời giải:
a)Ta có: 
 + 
 + 
 Vậy: 
b) Gọi I là trung điểm BC.
 G là trọng tâm,ta có : 
 // BC MN// BC 
 Vậy: 
Nhận xét: 
	+Một số học sinh không nhớ tính chất trọng tâm tam giác, chưa thành thạo định lý Talet 
	+Qua bài toán đơn giản này học sinh tiếp cận được cách tính thể tích khối thông qua khối khác để chuyển qua bài toán khó hơn trong sách giáo khoa.
Bài 7: (Bài 9/26 Sgk)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. 
Hãy xác định mp(AEMF)
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Yêu cầu: 
+Học sinh dựng được E, F dưới sự pháp vấn của giáo viên.
+Tính được thể tích của khối S.ABCD sau khi đã làm qua nhiều bài tập.
+Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF. Từ đó học sinh biết cách tính thể tích khối S.AMF bằng cách lập tỉ số ( tương tự như bài 5)
Lời giải:
a) Gọi . 
Ta có (AEMF) //BD EF // BD
b) 
 + 
 + có : 
 Vậy : 
c): 
 Xét khối chóp S.AMF và S.ACD 
 Ta có : 
 có trọng tâm I, EF // BD nên:
Nhận xét: 
	+Học sinh gặp khó khăn khi xác định E,F.
	+Học sinh đã biết cách sử dụng định lý Talet 
 	+Sau khi làm bài 6, học sinh tiếp thu bài số 7 dễ dàng hơn 
Bài 8: (Bài 5/26 Sgk) 
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Chứng minh 
Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Yêu cầu:
+Học sinh chứng minh được đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
+Nắm được nhu cầu tính các tỉ số ,.
+Biết dụng hệ thức trong tam giác vuông để suy ra 
Lời giải:
a)Tính 
Ta có: 
b) Ta có: 
 Ta có: 
c) Tính :
 Ta có: 
 Mà , chia cho 
 Tương tự: 
 Từ (*) .
 Vậy 
Nhận xét: 
	+ Kỷ năng chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa được tốt.
	+ Giáo viên giúp học sinh rút ra tỉ số từ hệ thức trong tam giác vuông và khắc sâu để sử dụng. 
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
 Chứng minh 
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Yêu cầu:
+Học sinh biết chứng minh 
+ Biết phân thành hai khối chóp bằng nhau: 
+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.
Lời giải:
a) Ta có: 
b) Ta có 
 Ta có 
 Suy ra: 
c) Tính 
+Tính : 
 Ta có: 
 vuông cân nên 
 Ta có: 
 Từ 
+ 
Nhận xét: 
	+ Bài toán này lấy từ bài tập 8/26 sách giáo khoa. Tuy nhiên, tôi thay đổi một số giả thiết để phù hợp với khả năng của học sinh: “Hình chữ nhật” được thay bởi hình vuông cạnh a, “Cạnh SA=c” được thay bởi . Nếu giữ nguyên các kích thước như vậy thì việc tính toán quá nặng.
	+Sau khi làm bài 8, học sinh tiếp thu bài toán 9 dễ dàng và nhẹ nhàng hơn.
4)Bài tập về nhà: 
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc đáy, SA=. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
	a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
	b) Tính độ dài đường cao đỉnh A của SABC.
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=a, BC