Sáng kiến kinh nghiệm Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đường thẳng

 (a ≠ 0):
Lập bảng giá trị:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
9a
4a
a
0
a
4a
9a
Nối các điểm trên bằng đường cong ta được đồ thị hàm số y = ax2
3. Công thức nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0:
r = b2 - 4ac. Nếu:
r < 0: Phương trình vô nghiệm
 r = 0: Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 
r > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
4. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai 
ax2 + bx + c = 0:
Nếu b = 2b’ thì:
r’ = (b’)2 - ac. Nếu:
r’ < 0: Phương trình vô nghiệm
r’ = 0: Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 
r = 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
5. Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai:
 Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1;	x2 = 
 Nếu a - b + c = 0 thì 	x1 = -1;	 x2 = 
Chương II: Thực trạng của đề tài:
1. Thuận lợi:
Nội dung chương trình SGK được đổi mới giảm nhẹ tính lý thuyết kinh viện, tăng yêu cầu thực hành. Thời lượng dành cho lí thuyết cũng đã giảm, chỉ chiếm 60% tổng thời lượng. Thời gian dành cho bài tập, luyện tập, ôn tập và thực hành được tăng lên, giúp khắc sâu kiến thức cho HS hơn so với chương trình cũ.
Giáo viên được tham gia đầy đủ các lớp bồi dưỡng chuyên môn về đổi mới nội dung chương trình SGK, đổi mới phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh vùng cao.
Nhà trường được sự quan tâm của nhà nước trang bị sách giáo khoa cho học sinh, giảm bớt phần nào thiếu thốn về tài liệu học tập.
2. Khó khăn:
Trong quả trình giảng dạy toán ở trường tôi gặp rất nhiều khó khăn vì 100% đối tượng học sinh là người dân tộc thiểu số có nhận thức rất chậm, kĩ năng vẽ hình yếu, nên việc giúp các em tiếp cận những kiến thức cơ bản và vận dụng vào giải bài tập là điều rất quan trọng.
Tài liệu toán học, sách tham khảo, sách nâng cao ở thư viện nhà trường còn ít về số lượng, nghèo nàn về chủng loại. Học sinh không có điều kiện tiếp xúc với các loại sách tham khảo, nâng cao. Tài liệu duy nhất HS được trang bị để trong học tập là SGK + SBT toán. Kinh tế gia đình đại đa số HS còn nghèo, không trang bị đầy đủ các dụng cụ học tập cần thiết cho việc học tập môn toán của HS như: máy tính bỏ túi
Đề tài Giúp Học sinh học tốt dạng toán quan hệ giữa Parabol và đường thẳng cho phù hợp với đối tượng học sinh trường Tiểu Học Và THCS Túc Đán từ trước đến nay chưa được triển khai.
Hiện nay, giải bài toán quan hệ giữa Parabol và đường thẳng là một trong những khó khăn lớn đối với các em học sinh trường Tiểu Học Và THCS Túc Đán. Dạng toán này đòi hỏi ở học sinh tổng hợp nhiều kĩ năng như: Vẽ chính xác đồ thị, phân tích hình vẽ, giải phương trình, biện luận phương trình bậc hai, mà tất cả các kĩ năng nói trên thì ở nhiều em học sinh còn yếu.. Chính vì vậy mà nhiều em học sinh rất ngại khi gặp phải dạng toán xác định vị trí tương đối giữa Parabol và đường thẳng. Qua điều tra học sinh, tôi thu được số liệu như sau:
TT
Câu hỏi
Sở thích
Mức độ
Thích
Không thích
Dễ
Trung bình
Khó
1
Em có thích học hàm số y = ax + b và 
y = ax2 không?
Đánh giá của em về bài toán vẽ đồ thị hàm số?
60%
40%
15%
45%
40%
2
Em có thích giải bài toán về quan hệ giữa Parabol và đường thẳng không? 
Nhận xét của em về giải bài toán này?
15%
85%
3%
15%
82%
 Các nhiệm vụ cần giải quyết:
1. Chỉ ra được những sai lầm thường gặp khi giải bài toán về quan hệ giữa Parabol và đường thẳng. 
	2. Đưa ra một số dạng bài toán về quan hệ giữa Parabol và đường thẳng thường gặp và phương pháp giải.
Chương III: Giải quyết vấn đề:
I. Một số sai lầm thường gặp khi giải bài toán về quan hệ giữa Parabol và đường thẳng ở học sinh trường Tiểu Học Và THCS Túc Đán :
1. Vẽ sai đồ thị hàm số:
- Chia các khoảng đơn vị trên 2 trục toạ độ không bằng nhau
- Gióng toạ độ điểm không vuông góc với 2 trục toạ độ, dẫn đến lấy các điểm không chính xác
- Vẽ đường nối giữa các điểm của Parabol không chính xác
2. Giải sai phương trình:
- Quên hoặc áp dụng sai các phép biến đổi tương đương các phương trình
- Sai lầm trong tính toán
II. Cách khắc phục:
1. Khắc phục tình trạng học sinh vẽ sai đồ thị hàm số:
- Nếu các em vẽ đồ thị trên vở kẻ ô li thì hình vẽ có độ chính xác cao hơn, còn vẽ trên giấy thếp thường không chính xác. Để khắc phục hiện tượng chia khoảng đơn vị trên hệ trục toạ độ ở vở giấy thếp không bằng nhau, tôi hướng dẫn các em làm một thước đo đơn giản bằng giấy thếp gấp lại. Dùng thước này đo sẽ cho các khoảng trên trục nằm ngang bằng với trục thẳng đứng một cách chính xác.
- Để khắc phục tình trạng các em gióng toạ độ điểm không vuông góc với 2 trục toạ độ, hoặc vẽ đường nối giữa các điểm của Parabol không chính xác, đòi hỏi ở người giáo viên sự kiên trì theo dõi quá trình học tập của từng em, uốn nắn từng điểm sai trong hình vẽ cho các em. Qua đó giáo dục tính cẩn thận, chính xác trong vẽ hình cho các em
2. Khắc phục tình trạng giải sai phương trình:
- Ôn tập lại các phép biến đổi tương đương các phương trình
- Luyện kĩ năng tính toán cho học sinh
- Luyện cho các em tính cẩn thận soát lại bài sau khi giải xong
III. Một số dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đường thẳng thường gặp:
1. Dạng 1: Bài toán vẽ đồ thị
- Cho đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b và hàm số bậc hai y = ax2. Yêu cầu vẽ các đồ thị trên cùng một mặt phẳng toạ độ rồi tìm toạ độ giao điểm.
* Cách giải: 
- Lập bảng giá trị rồi vẽ Parabol 
- Xác định toạ độ các giao điểm của đường thẳng với các trục toạ độ rồi vẽ đồ thị
- Xác định toạ độ các giao điểm (Nếu có)
* Trường hợp Parabol và đường thẳng không có điểm chung:
VD1: Vẽ Parabol y = 2x2 (P) và đường thẳng y = x - 2 (d) trên cùng một mặt phẳng toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm?
Giải:
- Bảng giá trị:
x
- 2
- 1
0
1
2
y = 2x2
8
2
0
2
8
- Vẽ đồ thị y = 2x - 2:
Cho x = 0 ð y = -2
Cho y = 0 ð x = 1
Š Đường thẳng (d) và Parabol (P) không có điểm chung 
* Trường hợp Parabol và đường thẳng có một điểm chung :
VD2: Vẽ Parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = 4x - 4 (d) trên cùng một mặt phẳng toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm?
Giải:
- Bảng giá trị:
x
-2
-1
0
1
2
y = x2
4
1
0
1
4
- Vẽ đường thẳng y = 4x - 4:
Cho x = 0 ð y = -4
Cho y = 0 ð x= 1
Š (d) tiếp xúc (P) tại điểm A(2; 4)
 VD3: Vẽ Parabol y = x2 và đường thẳng x = -2. Xác định toạ độ giao điểm?
Giải:
Bảng giá trị:
x
-4
-2
0
2
4
y = x2
-8
-2
0
-2
-8
B
Š Đường thẳng x = -2 cắt Parabol y = -2x2 tại điểm B(-2; -2)
* Trường hợp Parabol và đường thẳng có hai điểm chung:
VD4: Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, vẽ đồ thị hai hàm số y = -x2 và y = x - 2. Xác định toạ độ giao điểm?
Giải:
- Bảng giá trị:
x
-2
-1
0
1
2
y = -x2
-4
-1
0
1
2
- Vẽ đồ thị hàm số y = x - 2:
Cho x = 0 ð y = -2
Cho y = 0 ð x = 2
Đường thẳng y = x -2 cắt Parabol y = -x2 tại hai điểm:	C(-2; -4) và	D(1; -1)
 VD5: Cho hai hàm số y = x2 và y = 2.
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên?
b) Xác định toạ độ giao điểm?
Giải:
- Bảng giá trị:
x
-4
-2
0
2
4
y
8
2
0
2
8
Š Đường thẳng y = 2 cắt Parabol y = x2 tại hai điểm E (-2; 2) và F (2; 2)
2. Dạng 2: Bài toán giải phương trình:
* Cách giải:
Cho Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng y = bx + c (d). Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
 ú ax2 - bx - c = 0 (*)
- Parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có 1 điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có 2 điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
- Sau khi tìm được giá trị hoành độ, thay vào một trong hai hàm số sẽ tìm được giá trị tung độ của giao điểm
a) Bài toán yêu cầu tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng:
VD1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol y = x2 và đường thẳng y = x - 6
Giải:
Hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình
x2 = x - 6
ú	x2 - x + 6 = 0
 r = b - 4ac = (-1) - 4. 6 = 1 - 24 = -23 < 0 
Phương trình vô nghiệm 
ð Parabol và đường thẳng không có điểm chung
 VD2: Cho Parabol y = x và đường thẳng y = 2x - 3. Xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị?
Giải:
Hoành độ giao điểm hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
	 x = 2x - 3
ú	 x - 2x + 3 = 0
ú	x2 - 6x + 9 = 0
 r' = (b’)2 - ac = (-3)2 - 9 = 9 - 9 = 0
 Phương trình có nghiệm kép: x = - = - (-3) = 3
ð Parabol và đường thẳng tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là 3
VD3: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol y = 2x2 và đường thẳng y = 7x - 5
Giải:
Hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình:
2x2 = 7x -5
ú	2x2 - 7x + 5 = 0
Có 	2 + (-7) + 5 = 0
ð Phương trình có hai nghiệm:
x1 = 1
 x2 = 
 ð Đường thẳng y = 7x - 5 cắt Parabol y = 2x2 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 
b) Bài toán yêu cầu xác định toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng:
 VD4: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol y = x2 và đường thẳng y = 2x - 5
Giải:
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
 x2 = 2x - 5
ú	 x2 - 2x + 5 = 0
ú	x2 - 4x + 10 = 0
r’ = (b’)2 - ac = (-2)2 - 10 = 4 - 10 = -6
r’ < 0 ð Phương trình vô nghiệm
ð Đường thẳng không cắt Parabol 
 VD5: Cho Parabol y = x2 và đường thẳng y = 2x - 4. Xác định toạ độ giao điểm giữa Parabol và đường thẳng trên? 
Giải:
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
 x2 = 2x - 4
ú	 x2 - 2x + 4 = 0
ú	x2 - 8x + 16 = 0
r’ = (b’)2 - ac = (-4)2 - 16 = 16 - 16 = 0
Phương trình có nghệm kép:
 x = = - (-4) = 4
Thay x = 4 vào một trong hai hàm số, ta tìm được tung độ giao điểm:
y = 2. 4 - 4 = 4
Vậy đường thẳng y = 2x - 4 tiếp xúc Parabol y = x2 tại điểm (4; 4)
VD6: Xác định toạ độ giao điểm của Parabol y = x2 và đường thẳng y = 7x - 12?
Giải:
Hoành độ giao điểm Parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình:
x2 = 7x - 12
ú	x2 - 7x + 12 = 0
r = b - 4ac = (-7) - 4. 12 = 49 - 48 = 1 > 0
 = = 1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Lần lượt thay các giá trị x1 = 4 và x2 = 3 vào một trong hai hàm số ta tìm được tung độ các giao điểm:
y1 = 42 = 16
y2 = 32 = 9
Vậy đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm: (4; 16) và (3; 9)
3. Dạng 3: Biện luận số giao điểm giữa Parabol và đường