Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

cứu lời giải: xét xem có sai lầm không ? Có biện luận kết quả tìm được không ? Nếu bài toán có nội dung thực tiễn thì kết quả tìm được có phù hợp với thực tiễn không ? Một điều quan trọng là cần luyện tập cho học sinh thói quen đọc lại yêu cầu của bài toán sau khi đã giải xong bài toán đó, để học sinh một lần nữa hiểu rõ hơn chương trình giải đề xuất, hiểu sâu sắc hơn kiến thức cơ bản đã ngầm cho trong giả thiết.
IV. Trình tự dạy học bài tập toán. Trình tự dạy học bài tập toán thường bao gồm các bước sau:
Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải
Hoạt động 3: Thực hiện chương trình giải
Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
V. Quan niệm về tiến trình giải toán
Tiến trình giải toán là một dãy các thao tác cần thực hiện để đạt được mục đích giải toán.
Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài toán là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ toán học, cần có sự chọn lọc sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề. Như vậy giải bài toán là tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập. Đó là một quá trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kỹ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho.
Theo Howard Gardner, G. Polya,  thì tiến trình lao động của học sinh khi giải một bài toán có thể theo các hướng sau:
- Hướng tổng quát hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp, chuyển từ một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng tập hợp ban đầu.
- Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển bài toán ban đầu thành những bài toán thành phần có quan hệ logic với nhau. Chuyển tập hợp các đối tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của nó, rồi từ tập con đó tìm ra lời giải của bài toán hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài toán đã cho.
- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài toán phức tạp, học sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải bài toán đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán đang tìm cách giải và xác định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ hơn, một bài toán tương tự hoặc một phần bài toán, từ đó rút ra những điều hữu ích để giải bài toán đã cho.
Theo G. Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động: hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảo sát lời giải đã tìm được. Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toán là qua đó học sinh nảy sinh lòng say mê, khát vọng giải toán, thu nhận và hình thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận, phát hiện và sáng tạo.
VI. Qui trình tựa thuật toán
Một qui trình tựa thuật toán bao gồm một dãy hữu hạn các bước sắp xếp theo một trình tự xác định. Mỗi bước là một hoạt động nhằm mục đích cụ thể, có bước là một thao tác sơ cấp, có bước là một gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc là hướng dẫn thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số hữu hạn trường hợp. Thực hiện xong tất cả các bước cùng với sự mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy thì kết quả là vấn đề đặt ra được giải quyết.
Ví dụ: Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b
Bước 1: Xác định mặt phẳng (Q) chứa b và song song với a
Bước 2: Xác định hình chiếu a’ của a trên mặt phẳng (Q)
Bước 3: Xác định giao điểm N của a’ với b
Bước 4: Xác định đường thẳng D qua N và D ^ (Q)
Qui trình gồm bốn bước trên tỏ ra khá hiệu lực giúp giải các bài toán về xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước. Tuy nhiên, khi vận dụng qui trình tựa thuật toán đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt của tư duy thì vấn đề đặt ra mới được giải quyết một cách tốt nhất.
VII. Sơ đồ phân loại Bloom
Phần 2 
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vấn đề 1. Sự Tương Giao Của Hai Đồ Thị
I. Cách thức tổ chức giảng dạy: dạy học trực quan kết hợp với đồ dùng dạy học, bảng phụ, phần mềm điện tử nếu có, 
M(x,y) là tiếp điểm của (C1) và (C2)
II. Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải toán:
Cho 2 đường cong và . Khi đó tọa độ giao điểm của và thỏa 
Phương trình (1) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của và 
Số giao điểm của và bằng số nghiệm của phương trình (1). Cụ thể
 và cắt nhau tại n điểm phân biệt Û (1) có n nghiệm phân biệt
 và không cắt nhau Û (1) vô nghiệm
 và tiếp xúc nhau Û có nghiệm
III. Các bài toán vận dụng
Bài toán 1. Giao điểm của hai đường cong
Ví dụ 1. Cho đường cong . Tìm m để đường cong (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:
(C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt Û (1) có 3 nghiệm phân biệt
 có 2 nghiệm phân biệt khác – 1
Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng 
(d) : y = m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm A và B sao cho OA ^ OB.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
 (1)
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt 
 	 	(*)
Khi đó (1) có nghiệm 
Suy ra 
 (thỏa (*))
Bài toán 2. Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong
Ví dụ 1. Cho đường cong . Tìm m để tiếp xúc với trục hoành.
Giải
 tiếp xúc 
Ví dụ 2. Cho đường cong . Gọi d đường thẳng đi qua và có hệ số góc k. Tìm k để (d) và (C) tiếp xúc nhau.
Giải
d đi qua và có hệ số góc k 
d tiếp xúc 
IV. Những điều cần lưu ý
1. Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trường hợp: 
 tiếp xúc nhau có nghiệm kép (1)
Ví dụ 1. Đồ thị (C) của hàm số tiếp xúc với đường thẳng d: y = 0, nhưng phương trình hoành độ giao điểm của hai đường này lại có nghiệm bội ba x = 0 chứ không phải là nghiệm kép.
Ví dụ 2. Đồ thị của hàm số y = sinx tiếp xúc với đường thẳng y = x vì hệ 
có 1 nghiệm x = 0, nhưng lẽ nào phương trình sinx – x = 0 lại có nghiệm kép. 
Vì vậy dùng phương pháp nghiệm kép để giải bài toán tiếp xúc có thể dẫn đến lập luận không chính xác
2. Chiều ngược lại của mệnh đề (1) là đúng, nghĩa là 
 có nghiệm kép tiếp xúc nhau.
Có thể sử dụng để biện luận sự tương giao của hai đồ thị 
V. Bài tập bổ sung
Bài 1. Định m để cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
Bài 2. Tìm m để cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
Bài 3. Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm m để (C) tiếp xúc với parabol 
Bài 4. Tím k để đường cong tiếp xúc với đường thẳng Vấn đề 2. Dùng Đồ Thị Biện Luận
 Số Nghiệm Của Phương Trình h(x,m) = 0 (1)
I. Cách thức tổ chức giảng dạy: Dạy học trực quan kết hợp với đồ dùng dạy học, bảng phụ, phần mềm điện tử (nếu có), 
I. Phương pháp giải bài toán
a. Khảo sát hàm số y = f(x). Gọi (C) là đồ thị của f (Học sinh tự giải)
b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m, số nghiệm của phương trình h(x,m) = 0 (1)
Bước 1. Biến đổi phương trình (1) về dạng f(x) = g(m) (*) 
Bước 2. Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đường cong 
(C): y = f(x) và đường thẳng (d): y = g(m) ((d) cùng phương với Ox)
Bước 3. Biện luận số giao điểm của (C) và (d), suy ra số nghiệm của phương trình (1)
(so sánh g(m) với các giá trị cực trị của hàm số)
III. Các bài toán vận dụng
Ví dụ 1. Cho . Dùng (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (1)
Giải
 (*)
Suy ra số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của đường cong và đường thẳng 
Biện luận:
d cắt (C) tại 1 điểm Þ (1) có 1 nghiệm
d tiếp xúc (C) tại 1 điểm và cắt (C) tại 1 điểm Þ (1) có 2 nghiệm
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Þ (1) có 3 nghiệm phân biệt
Ví dụ 2. Cho . Dùng (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (1)
Giải
 (*)
Suy ra số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của đường cong và đường thẳng 
Biện luận:
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Þ (1) có 2 nghiệm
d tiếp xúc (C) tại 1 điểm Þ (1) có 1 nghiệm
d không cắt (C) Þ (1) vô nghiệm
Ví dụ 3. Cho . Dựa vào (C), tìm giá trị của tham số m để phương trình: (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
 (*)
Suy ra số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của đường cong và đường thẳng 
Do đó (1) có 4 nghiệm phân biệt 
IV. Bài tập bổ sung:
Bài 1. Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Bài 2. Cho . Dùng (C) tìm m để phương trình: có 2 nghiệm phân biệt
Bài 3. Cho . Dùng (C) tìm m để phương trình: có đúng 1 nghiệm lớn hơn 
Vấn đề 3. Tiếp Tuyến Của Đường Cong
I. Cách thức tổ chức giảng dạy: 
- Hướng dẫn học sinh phân biệt được các dạng của tiếp tuyến
- Hướng dẫn học sinh sử dụng điều kiện tiếp xúc
- Mỗi dạng tiếp tuyến xây dựng một qui trình tựa thuật toán riêng
II. Các dạng toán: có 3 dạng tiếp tuyến, mỗi dạng có nhiều cách giải khác nhau nhưng chúng tôi thống nhất một cách giải cho mỗi dạng để học sinh trung bình không bị nhầm lẫn.
Dạng 1. Biết Tiếp Điểm
Bài toán. Cho đường cong (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm 
Bước 1. Tính f’(x) Þ f’(x0)
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng: 
Chú ý: Hệ số góc của tiếp tuyến với (C): y = f(x) tại là 
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 – x có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục hoành.
Giải
Hoành độ giao điểm của (C) với Ox là nghiệm của phương trình:
Tại x = 0, ta được tiếp tuyến:
d1: y = f’(0)(x – 0) + f(0) d1: y = – x
Tại x = 1, ta được tiếp tuyến:
d2 : y = f’(1)(x – 1) + f(1) d2: y = 2x – 2
Tại x = –1, ta được tiếp tuyến:
d3 : y = f’(–1)(x+1) + f(–1) d3: y = 2x + 2
Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với trục tung
Giải
Tọa độ giao điểm của (C) với Oy là M(0;1)
Ta có : 
Tiếp tuyến tại M(0;1) là d: y = f'(0)(x – 0) + 1 Û d: y = (1 – a)x + 1 
Dạng 2. Tiếp Tuyến Đi Qua Điểm A(xA;yA)
Bài toán. Cho đường cong . Viết phương trình tiếp tuyếnh với (C) qua điểm 
Bước 1. Đường thẳng d đi qua A(xA;yA) có phương trình:
Bước 2. d tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
Bước 3. Kết luận
Ví dụ 1. Cho hàm số có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(–6;5)
Giải
Đường thẳng d đi qua A(–6;5) có phương trình: d: y = k(x + 6) + 5 (1)
Đường thẳng d tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
Với k = –1 thay vào (1) ta được tiếp tuyến