Sai lầm thường gặp trong cực trị đại số

22 5 4 4 8 6P x y xy x y= + + − − + 
Lời giải ‘‘có vấn ñề’’ 
Ta cã ( ) ( ) ( )2 2 2 24 1 4 2 4 2 1 4 4P x y xy x y x x y y= + + + − − + − + + − + 
9
 ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 2P x y x y= + − + − + − 
Do ( ) ( ) ( )2 2 22 1 0, 1 0, 2 0x y x y+ − ≥ − ≥ − ≥ nªn 
 ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 2 0P x y x y= + − + − + − ≥ . 
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng 0 . 
Bình luận 
Lêi gi¶i “qu¸ gän”, b¹n cã ý kiÕn g× kh«ng? 
Giải ñáp 
Kh¼ng ®Þnh 0P ≥ lµ ®óng nh−ng  ch¼ng ®−îc g×, bëi v× kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x, y ®Ó dÊu “=” x¶y 
ra. 
Sai lÇm ë lêi gi¶i trªn xuÊt ph¸t tõ viÖc ng−êi gi¶i ®· kh«ng thùc hiÖn b−íc 2 khi t×m gi¸ trÞ lín nhÊt 
(hoÆc nhá nhÊt) cña biÓu thøc ta ph¶i tr¶ lêi c©u hái “dÊu b»ng x¶y ra khi nµo?” 
Lời giải ñúng 
Coi x lµ biÕn chÝnh ®Ó biÕn ®æi nh− sau: 
( ) ( ) ( )2 22 2 2 22 5 4 4 8 6 2 2 1 1 2 1 5 8 6P x y xy x y x x y y y y y = + + − − + = + − + − − − + − +  
( ) ( )2 22 2 2 4 41 3 4 4 1 3 2 . 4
3 9 3
P x y y y x y y y = + − + − + = + − + − + − + 
 
( )
2
2 2 81 3
3 3
P x y y = + − + − + 
 
NhËn thÊy ( )
2
2 21 0, 3 0
3
x y y + − ≥ − ≥ 
 
 nªn 
( )  = + − + − + ≥ 
 
2
2 2 8 8
1 3 íi mäi ,
3 3 3
P x y y x yv . 
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi 
( )2
2
11 0 1 0
3
22 203 0 33 3
x y x y x
yy y
 + − = + − = =   
⇔ ⇔   
− =
− =    =  
VËy =
8
3
MinP . Gi¸ trÞ nµy ®¹t ®−îc khi ( )  =  
 
1 2
, ,
3 3
x y 
A3 - DNG SAI LM THuchoasac BA 
10
BÊt ®¼ng thøc ( )f x a≥ kh«ng x¶y ra ®¼ng thøc øng víi mét gi¸ trÞ 0x x= nµo ®ã (x0 tho¶ m·n ®iÒu 
kiÖn cña bµi to¸n) ®· kÕt luËn biÓu thøc ( )f x ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng a hoÆc biÓu thøc ( )f x kh«ng 
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 
Bµi 11: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 2 228 3 5 4 .P x x x x= + − + + − 
Lời giải ‘‘có vấn ñề’’ 
§iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc P cã nghÜa lµ 
( ) ( )
( )( )
2
2
4 7 028 3 0 4 7
1 5.
1 51 5 05 4 0
x xx x x
x
xx xx x
+ − ≥ + − ≥ − ≤ ≤ 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤  
− ≤ ≤+ − ≥+ − ≥  
NhËn xÐt: Víi 1 5x− ≤ ≤ ta cã 
( )( )25 4 1 5 0x x x x+ − = + − ≥ , suy ra 25 4 0.x x+ − ≥ 
( )( )228 3 4 7 0x x x x+ − = + − > , suy ra 228 3 0.x x+ − > 
Do ®ã, víi 1 5x− ≤ ≤ th× 2 228 3 5 4 0,P x x x x= + − + + − > nªn P kh«ng cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. 
Bình luận 
KÕt luËn cña lêi gi¶i sai vÒ mÆt l«gic, t−¬ng tù nh− tr−êng hîp 
2 1 0Q x= + > víi mäi x nh−ng Q vÉn ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1 khi x = 0. 
Lời giải ñúng 
§iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa lµ 1 5x− ≤ ≤ . Khi ®ã ta cã 
( )( ) ( ) ( )23 1 5 1 5 23 23 5 3 2P x x x x x x= − + + − + + − ≥ − ≥ − = . 
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x = 5. 
VËy min 3 2P = khi vµ chØ khi 5.x = 
Bµi 12: T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh ( )2 1 1 0x m x+ + + = cã tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t GTNN. 
Lời giải ‘‘có vấn ñề’’ 
§iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: ( ) ( ) ( )2 10 1 4 0 3 1 0 (*)
3
m
m m m
m
≥∆ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔  ≤ −
. 
Khi ®ã tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm lµ: ( ) ( )2 22 21 2 1 2 1 22 1 2x x x x x x m+ = + − = + − (Theo ®Þnh lÝ ViÐt). 
Ta cã ( )21 2 2m + − ≥ − nªn tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -2 khi vµ chØ khi 
1 0 1.m m+ = ⇔ = − 
Gi¸ trÞ m = -1 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) nªn kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ cña m ®Ó tæng b×nh ph−¬ng c¸c 
nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 
11
Bình luận 
MÊu chèt cña sai lÇm trong lêi gi¶i nµy ë chç em häc sinh ch−a n¾m v÷ng kh¸i niÖm gi¸ trÞ nhá nhÊt 
cña mét biÓu thøc. Chóng ta cÇn l−u ý r»ng: NÕu bÊt ®¼ng thøc ( )f x a≥ kh«ng x¶y ra ®¼ng thøc øng 
víi mét gi¸ trÞ 0x x= nµo ®ã (x0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n) th× kh«ng thÓ kÕt luËn ®−îc biÓu thøc 
( )f x ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng a hoÆc biÓu thøc ( )f x kh«ng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 
Lời giải ñúng 
§iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: ( ) ( ) ( )2 10 1 4 0 3 1 0 (*)
3
m
m m m
m
≥∆ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔  ≤ −
. 
Khi ®ã tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm lµ : ( ) ( ) ( )2 2 22 21 2 1 2 1 22 1 2 1 4 2 2.x x x x x x m m + = + − = + − = + − + ≥  
§¼ng thøc x¶y ra ⇔ ( )2 11 4 0
3
m
m
m
=
+ − = ⇔ 
= −
 (tho¶ m·n (*). 
VËy tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi vµ chØ khi m = 1 hoÆc m = -3. 
Bµi 13: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 2
1
.
6 10
A
x x
=
− +
Lời giải ‘‘có vấn ñề’’ 
Ph©n thøc 2
1
6 10x x− +
 cã tö kh«ng ®æi nªn A cã gi ¸trÞ lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt. 
Ta cã: ( )22 6 10 3 1 1.x x x− + = − + ≥ 
( )2M in 6 10 1 3.x x x− + = ⇔ = 
VËy max 1 3.A x= ⇔ = 
Bình luận 
Lêi gi¶i cã vÎ kh¸ “tr¬n”, nh−ng nÕu ®i thi mµ lµm vËy th× “tr−ît”. T¹i sao vËy? 
Giải ñáp 
Tuy ®¸p sè kh«ng sai nh−ng lËp luËn l¹i sai khi kh¼ng ®Þnh “A cã tö sè kh«ng ®æi nªn A cã gi¸ trÞ lín 
nhÊt khi mÉu nhá nhÊt” mµ ch−a ®−a ra nhËn xÐt tö vµ mÉu lµ c¸c sè d−¬ng. 
VÝ dô nh−: XÐt biÓu thøc 2
1
10
B
x
=
−
. Víi lËp luËn nh− trªn “Ph©n thøc 2
1
10x −
 cã tö kh«ng ®æi nªn cã 
gi¸ trÞ lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt”, do mÉu nhá nhÊt b»ng -10 khi x = 0, ta sÏ ®i ®Õn kÕt luËn 
1 0
10
max B x−= ⇔ = . §iÒu nµy kh«ng ®óng v× 1
10
−
 kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña B, ch¼ng h¹n víi x = 
5 th× 
1 1
15 10
B −= > . 
12
M¾c sai lÇm trªn lµ do ng−êi lµm kh«ng n¾m v÷ng tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, ®· m¸y mãc ¸p dông 
quy t¾c so s¸nh hai ph©n sè cã tö vµ mÉu lµ c¸c sè tù nhiªn sang hai ph©n sè cã tö vµ mÉu lµ c¸c bÊt k×. 
Lời giải ñúng 
Bæ xung thªm nhËn xÐt ( )22 6 10 3 1 0x x x− + = − + > nªn ph©n thøc 2 16 10x x− + cã tö vµ mÉu ®Òu lµ sè 
d−¬ng, do ®ã A lín nhÊt khi vµ chØ khi 
1
A
 nhá nhÊt ⇔ 2 6 10x x− + nhá nhÊt. Lµm tiÕp nh− trªn ra kÕt 
qu¶. 
Bµi 14: T×m x ®Ó biÓu thøc 2
1
2 3
P
x x
=
+ −
 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 
Lời giải ‘‘có vấn ñề’’ 
§iÒu kiÖn 1x ≠ ; 3x ≠ − . 
Ta cã ( )2
1
1 4
P
x
=
+ −
. 
§Ó biÓu thøc P ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt th× ( )21 4x + − ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. §iÒu nµy x¶y ra khi ( )21 0x + = 
hay 1x = − . Khi ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña 1
4
P = − 
Bình luận 
Nh−ng cã thÓ thÊy khi 2x = th× 1
5
P = , do ®ã 1
4
− kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña P. VËy sai lÇm cña 
lêi gi¶i ë ®©u? Kh¾c phôc sai lÇm ®ã nh− thÕ nµo? 
Giải ñáp 
Sai lÇm cña lêi gi¶i mµ b¹n häc sinh nµy ®−a ra chÝnh lµ ë b−íc lËp luËn “®Ó biÓu thøc P ®¹t gi¸ trÞ lín 
nhÊt th× ( )21 4x + − ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt”. §iÒu nµy chØ ®óng khi tö vµ mÉu cña P cïng d−¬ng mµ tö ph¶i 
lµ h»ng sè. ë ®©y mÉu ch−a biÕt d−¬ng hay ©m nªn kh«ng thÓ lËp luËn nh− vËy ®−îc. 
Lời giải ñúng 
§iÒu kiÖn 1x ≠ ; 3x ≠ − . 
DÔ dµng chØ ra víi 3x th× 0P > , cßn víi 3 1x− < < th× 0P < . 
Ta thÊy khi 1x a= + víi 0a > th× 2
1
4
P
a a
=
+
 nªn a cµng nhá th× P cµng lín vµ lín bao nhiªu còng ®−îc, do 
®ã biÓu thøc 2
1
2 3
P
x x
=
+ −
 kh«ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 
A4 - DNG SAI LM THuchoasac Tuchoa 
13
NhÇm t−ëng vai trß cña c¸c biÕn trong bµi nh− nhau nªn s¾p thø tù c¸c Èn. 
Bµi 15: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
x y zA
y z x
= + + víi , , 0.x y z > 
Lời giải ‘‘có vấn ñề’’ 
Khi ho¸n vÞ vßng quanh x y z x→ → → th× biÓu thøc A kh«ng ®æi nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö 
0x y z≥ ≥ > , suy ra ( ) ( ) 20 . (1)x z y x z z x z xy yz z xz− ≥ ⇒ − ≥ − ⇒ − + ≥ 
Chia c¶ hai vÕ cña (1) cho sè d−¬ng xz ta ®−îc 1. (2)y y z
z x x
− + ≥ 
MÆt kh¸c ta cã 2 (3).x y
y x
+ ≥ 
Céng vÕ víi vÕ cña hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu (2) vµ (3) ta ®−îc 3.x y z
y z x
+ + ≥ 
Tõ ®ã suy ra min 3 .A x y z= ⇔ = = 
Bình luận 
Tuy kÕt qu¶ ®óng, nh−ng xem ra lêi gi¶i bÊt æn. T¹i sao vËy? 
Giải ñáp 
Khi ho¸n vÞ vßng quanh x y z x→ → → th× biÓu thøc A trë thµnh ,y z x
z x y
+ + tøc lµ biÓu thøc kh«ng ®æi. 
§iÒu ®ã cho phÐp ta ®−îc gi¶ sö mét trong ba sè ; ;x y z lµ sè lín nhÊt (hoÆc sè nhá nhÊt), nh−ng kh«ng 
cho phÐp gi¶ sö x y z≥ ≥ råi sö dông nã lµm gi¶ thiÕt bµi to¸n khi ®i chøng minh mµ kh«ng xÐt c¸c 
tr−êng hîp cßn l¹i. 
ThËt vËy sau khi chän x lµ sè lín nhÊt ( x ≥ y, x ≥ z) th× vai trß cña y vµ z l¹i kh«ng b×nh ®¼ng: 
gi÷ nguyªn x, thay y bëi z vµ ng−îc l¹i ta ®−îc 
x z y
z y x
+ + , biÓu thøc nµy kh«ng b»ng biÓu thøc A. 
Kh¾c phôc sai lÇm 
Víi lêi gi¶i ®· ®−a ra, thay cho viÖc s¾p thø tù x y z≥ ≥ , ta chØ cÇn gi¶ sö z lµ sè nhá nhÊt trong ba sè 
; ;x y z kÕt hîp víi phÇn cßn l¹i cña lêi gi¶i ®· tr×nh bµy ®ã ta ®−îc lêi gi¶i ®óng. 
Ngoµi ra ta cßn cã thÓ gi¶i bµi to¸n nµy theo c¸c c¸ch sau: 
Lời giải ñúng 
C¸ch 1: Sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho ba sè d−¬ng ta cã 
33 . . 3.x y z x y zA
y z y y z y
= + + ≥ = (Ph¶i chøng minh B§T C«si cho ba sè kh«ng ©m) 
14
Do ®ã min 3x y z
y z x
 
+ + = 
 
 khi vµ chØ khi 
x y z
y z x
= = , tøc lµ x = y = z. 
C¸ch 2: Gi¶ sö z lµ sè nhá nhÊt trong 3 sè x, y, z. 
Ta cã .
x y z x y y z y
y z x y x z x x
   
+ + = + + + −   
  
Ta ®· cã 2x y
y x
+ ≥ (do x, y > 0) nªn ®Ó chøng minh 3x y z
y z x
+ + ≥ chØ cÇn chøng minh 
 1y z y
z x x
+ − ≥ (1). 
ThËt vËy 2(1) ( , 0)xy z yz xz do x z⇔ + − ≥ ≥ 
BiÕn ®æi ®Õn ( )( ) 0 (2)x z y z− − ≥ . 
Do z lµ sè nhá nhÊt trong 3 sè x, y, z nªn (2) lu«n ®óng. Tõ ®ã t×m ®−îc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
3A = khi x = y = z. 
Bµi 16: Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc lín h¬n -1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
.
1 1 1
x y zP
y z z x x y
+ + +
= + +
+ + + + + +
Lời giải ‘‘có vấn ñề’’ 
NÕu 0x < , ta thay x bëi (-x) th× hai h¹ng tö ®Çu cña P kh«ng ®æi cßn h¹ng tö cßn l¹i gi¶m xuèng. Tõ ®ã 
kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö 0x y z≥ ≥ ≥ . 
Tõ ( )21 0x − ≥ , suy ra ( ) ( )2 23 1 2 1 .x x x+ ≥ + + 
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x = 1. 
Do ®ã 
2 2
2 2
1 1 2
.
1 1 3
x x
y z x x
+ +≥ ≥
+ + + +
T−¬ng tù ta còng cã 
2 2
2 2
1 2 1 2
; .
1 3 1 3
y z
z x x y
+ +≥ ≥
+ + + +
Tõ ®ã suy ra 2P ≥ . DÊu “=’ x¶y ra khi vµ chØ khi 1x y z= = = . 
Bình luận 
Theo c¸c b¹n lêi gi¶i trªn ®· chuÈn ch−a? Lêi gi¶i cña b¹n nh− thÕ nµo? 
Giải ñáp 
C¸c biÕn , ,x y z trong biÓu thøc P cã d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh mµ kh«ng cã vai trß nh− nhau nªn chØ 
®−îc xem biÕn bÊt k× nµo lµ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt mµ th«i. Do ®ã ®o¹n lËp luËn: 
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö 0x y z≥ ≥