Sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán tìm giới hạn

ài tập: 
Ví dụ 4: Tìm 
?
 Ta có: 
!
 Lời giải trên mắc sai lầm ở chố nhầm lẫn x + và x -2. Phần nhiều HS đặc biệt là HS có học lực yếu và trung bình mắc thói quen không xem xét kĩ bài trước khi làm, khi thấy dạng “hơi giống” là đã vội áp dụng
Lời giải đúng là: 
Ta có: với x -2
Nên =.
Ví dụ 5: Tìm 
?
 Ta có: =
!
 Tuy áp dụng đúng quy tắc và cho ra kết quả đúng nhưng nên không có phép toán . HS đã áp dụng sai định lí !
Lời giải đúng là:
 Do và . Nên =- . 
Ví dụ 6: Tìm L=
?
 Ta có: = 
!
 Lời giải trên đã chia cả tử và mẫu của phân thức cho x để khử dạng vô định , nhưng sai lầm khi viết , chỉ viết được khi x > 0 hay khi xét giới hạn x + 
Lời giải đúng là: Do x < 0 thì . Nên: 
 =.
 Ví dụ 7: Tìm 
!
?
 Ta có: .
 Lời giải trên cũng mắc sai lầm như Ví dụ 6 ở trên 
Lời giải đúng là:
( Do )
Ví dụ 8: Tìm 
!
?
 Ta có: =
 HS nhầm lẫn giữa 1- và - 1
Lời giải đúng là:
Ta có: ; và x- 1 > 0 x > 1
 Nên = - (tử luôn âm, mẫu dương).
Ví dụ 9: Tìm 
?
 Ta có: ; và 
với x > -3 ta chọn x = 0 thì x2 +4x +3 > 0. Suy ra =- 
!
 Sai lầm ở đây là xét sai dấu của mẫu x2 + 4x + 3. Nguyên nhân HS quen nhẩm dấu (theo phương pháp khoảng) chỉ để ý đến nghiệm x = - 3 mà không chú ý đến nghiệm x = - 1. Để khắc phục sai lầm này GV cần yêu cầu HS nên xét dấu cẩn thận.
Lời giải đúng là:
 Ta có : < 0; và 
x2 + 4x +3 < 0 -3 < x < - 1 suy ra x K =(-3 ;- 1) thì x2 +4x +3 < 0.
Vậy = + . 
2. Tổng hợp những sai lầm và biện pháp khắc phục
	Như đã phân tích những sai lầm và nguyên nhân của những sai lầm của học sinh, tổng hợp lại ta nhận được những sai lầm có tính phổ biến của học sinh là: 
Vận dụng sai định nghĩa, áp dụng sai định lí và quy tắc về giới hạn 
Kĩ năng biến đổi đại số còn mắc sai lầm cơ bản
Những sai lầm trên có nguyên nhân cơ bản là HS chưa hiểu rõ định nghĩa, chưa nắm vững các định lí, các quy tắc, mà chỉ áp dụng nó một cách máy móc và thiếu tính cẩn thận. Một số em trình bày lời giải chưa khoa học và còn mắc lỗi kí hiệu.
Trên cơ sở phân tích trên, có thể đưa ra một số biện pháp khắc phục như: 
Chuẩn bị kĩ bài giảng, kiểm tra kiến thức và kĩ năng của học sinh thông qua những bài tập cơ bản mà dễ mắc sai lầm.
Kịp thời uốn nắn những sai lầm mà học sinh gặp phải.
 Nghiên cứu kĩ phương pháp dạy học các tình huống điển hình: dạy định nghĩa, khái niệm, định lí, quy tắc và áp dụng phù hợp cho từng nội dung, từng đối tượng học sinh.
II. gợi ý phương pháp dạy học một số tình huống về giới hạn
Dạy bài 1 Giới hạn của dãy số
Tình huống 1: Dạy học định nghĩa dãy số có giới hạn 0
A
B
0
1
Đưa ra tình huống thực tế. Một mũi tên xuất phát từ B bắn tới đích A theo một đường thẳng. Đặt đoạn AB tương ứng với 1 đơn vị, ta chia đoạn AB theo n phần thì khi mũi tên tiến tới A khoảng cách từ mũi tên đến A có thể cho tương ứng là: 1, .	
 Mũi tên càng gần A thì càng nhỏ tức là n càng lớn và ngược lại 
Vì 0, với mọi n . Nên khi mũi tên tới A thì khoảng cách từ mũi tên đến A bằng 0 tức là phải tiến tới 0 khi đó n tiến tới vô cực (+)
Xem HĐ 1 (SGK - tr112). Yêu cầu HS làm theo HĐ 1. 
Ta có dãy số (un) = dần tới 0 khi n dần tới dương vô cực. Ta viết . Tương tự với dãy vn = - ta cũng có 
Ta có định nghĩa sau: 
Định nghĩa 1 (SGK): Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu : hay un 0 khi n + . Ta viết lim un = 0. 
Như vậy, (un) có giới hạn là 0 khi n nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn. 
Qua HĐ 1 và Ví dụ 1, giáo viên cần lưu ý cho HS rằng dãy (un) có thể là dãy không đơn điệu và có thể dần tới 0 từ bên trái, hay từ bên phải, hoặc từ cả hai phía.
Tình huống 2: Dạy học các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số:
	Các giới hạn đặc biệt và các định lí về giới hạn được thừa nhận, không chứng minh. Do đó, GV không nên mất thời gian cho HS chép lại định lí mà nên dành thời gian thích đáng cho việc nhấn mạnh các giới hạn đặc biệt, trình bày các ví dụ và các bài tập áp dụng. 
 GV nên cho thêm ví dụ sau trước khi cho HS nghiên cứu Ví dụ 3, Ví dụ 4 
Ví dụ: Tìm các giới hạn
lim = lim = lim 1 – lim + lim = 1 – 0 – 0 = 1
lim = do n và lim = 2. 
Tình huống 3: Dạy Định lí 2 (quy tắc tìm giới hạn vô cực)
 	GV cần giúp HS vận dụng đúng quy tắc, vì có học sinh sẽ trình bày vắn tắt như sau: 
lim=lim=lim 
Mặc dù kết quả đúng song lại không đúng định lí 1 vì định lí 1 chỉ áp dụng cho các giới hạn hữu hạn. Đặc biệt không có phép toán với vô cực. Đây là một trong những sai lầm phổ biến của học sinh. GV cần lưu ý, theo SGK trước có viết . Nhưng với SGK mới giới hạn này không tồn tại. 
Dạy bài 2 Giới hạn của hàm số
GV nên đặt vấn đề vào bài học theo SGV là:
GV có thể khai thác hình vẽ ngay dưới bài học để đặt vấn đề vào bài, bằng cách làm rõ mục tiêu tổng quát mà bài học nhằm tới, đó là nghiên cứu mối qua hệ giữa sự biến thiên của đối số và biến thiên của các giá trị tương ứng của hàm số. Cụ thể, nghiên cứu xem nếu biến số x lấy những giá trị lập thành một dãy số dần tới a (hay +, -) thì dãy số tương ứng của hàm số y = f(x) thay đổi ra sao.
Tình huống 4: Định nghĩa Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
	GV cần dành thời gian cho HS làm HĐ 1 trước khi định nghĩa 
	GV cần cho HS đọc kĩ, phát biểu chính xác định nghĩa, cần lưu ý học sinh rằng K có thể có các dạng như SGK đã nêu và giả thiết “ hàm số xác định trên khoảng K” không có nghĩa K là tập xác định của nó mà K có thể chỉ là một tập con của tập xác định của hàm số. Tương tự, nếu nói “ hàm số y = f(x) xác định trên K\ {x0}” thì phải hiểu rằng nó có thể xác định tại x0 hoặc không xác định tại điểm này. Đặc biệt chú ý K\{x0} , để sau này HS khỏi mắc sai lầm cho giới hạn sau tồn tại: ? Giới hạn này không tồn tại vì tập xác định của hàm số là D = {1} nên không có dãy số (xn) nào vì khi đó K\{1} = . 
Tình huống 5: Dạy định nghĩa giới hạn một bên 
	Để HS hiểu rõ hơn và dễ nhớ Định nghĩa 2. Khi phân tích định nghĩa GV nên biểu diễn khái niệm “bên trái, bên phải” khi x x0 trên trục số 
xo
x xo+
Bên phải xo
Bên trái xo
x xo-
Thay Ví dụ 4 bằng Ví dụ này: Cho hàm số 
Tìm và (nếu có)
	GV nên chuẩn bị bảng phụ sau:
	Xét hàm số 
	Ta có: 
	Vì 
 Nên không tồn tại.
Tình huống 6: Dạy giới hạn vô cực + và - . 
	GV cần lưu ý cho HS rằng: Đối với giới hạn , ta xét nó khi f(x) có tập xác định chứa khoảng (a; +). Khi đó việc tìm giới hạn như tìm giới hạn của dãy số. Đối với giới hạn , ta xét nó khi f(x) có tập xác định chứa khoảng (-; a). Việc tìm giới hạn này khác với việc tìm giới hạn của dãy số. 
Khi dạy nội dung này GV cần lưu ý một số sai lầm thường gặp sau
a) (không chú ý đến tập xác định)
b) (không chú ý là khi x - thì x < 0)
Tình huống 7: Dạy quy tắc về giới hạn vô cực
	GV cần lưu ý, có nhiều định lí thể hiện mối liên hệ giữa giới hạn hữu hạn L và giới hạn , hoặc giữa các giới hạn . Tuy nhiên SGK không trình bày hết tất cả các định lí này, mà chỉ giới thiệu một số quy tắc cần thiết nhất cho việc dạy học giải tích lớp 12. Thực chất đó là các định lí, nhưng để tránh phát biểu rườm rà, chúng được trình bày dưới dạng các quy tắc. Các quy tắc này cũng chỉ được trình bày với một trường hợp đại diện x x0. Không nên yêu cầu HS chép lại các bảng quy tắc này, mà tập trung vào việc sử dụng các kết quả trong bảng để giải quyết các ví dụ và giải các bài toán có liên quan. Đặc biệt chú ý về quy tắc tìm giới hạn của thương hai hàm số khi x x0, giả thiết chính xác phải là g(x) > 0 (hay g(x)<0) với mọi x thuộc lân cận nào đó của điểm x0 . Còn nói “dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x ” là không chính xác. Nhưng vì lí do sư phạm, SGK không trình bày chặt chẽ giả thiết này. GV không nên đi sâu vào những khía cạnh phức tạp của nó mà chỉ cần giải thích thông qua ví dụ cụ thể. 
Tình huống 8: Dạy quy tắc khử dạng vô định 
	GV cần cho HS luyện giải những bài tập đơn giản để HS nắm được quy tắc khử thông qua đó. Lưu ý dạng 0. có thể đưa về một trong hai dạng 
Tình huống 9: Dạy quy tắc thêm bớt khi tìm giới hạn 
	Thông qua hai ví dụ sau học sinh khá, giỏi có thể có được quy tắc thêm bớt đối với giới hạn dạng vô định . Chú ý nếu tách được phải đảm bảo hai giới hạn đó cũng có dạng vô định .
Ví dụ 1: Tìm 
Do 
Nên =1 – .
Ví dụ 2: Tìm 
Ta có 
=
Bằng cách nhân liên hợp ta được: 
Vậy =.
	Chú ý: Ngoài việc thêm bớt hằng số ta có thể thêm bớt đối số x. Tuy nhiên khi thêm bớt và biến đổi ta phải đảm bảo đúng quy tắc và định lí. 
	Thông qua hoạt động tình huống này học sinh được rèn luyện kĩ năng giải toán, rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, quy lạ về quen, góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. 
III. Kết quả đối chứng
1. Số liệu khảo sát
	Đối tượng khảo sát là: 45 học sinh lớp 12A2, 40 học sinh lớp 12A4 ban tự nhiên trường THPT Minh Khai vào đầu kì 1 năm học 2008 – 2009. 
	Đề kiểm tra 1 (thời gian 45 phút):
Bài 1 (3 điểm). Tìm giới hạn của các dãy số sau:
a) 	b) 
Bài 2 (3 điểm). Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) 	b) 
Bài 3 (4 điểm). Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) 	b) 
	Kết quả được thống kê bằng bảng sau (Bảng 1)
Lớp
Sĩ số
Điểm
Dưới 5 điểm
Từ 5 đến dưới 7
Trên 7 điểm
Lớp 12A2 
45
16 
21
8
Lớp 12A4
40
15
20
5
Trung bình 
42,5
15,5 (36,5%)
20,5 (48,2%)
6,5 (15,3%)
2. Kết quả thực nghiệm
	Đối tượng lớp 11A1 Ban cơ bản. Thời gian kiểm tra sau khi thực hiện đề tài 
	Đề kiểm tra 2 (Thời gian 45 phút)
Bài 1 (2 điểm). Tìm giới hạn của các dãy số sau:
a) 	b) 
Bài 2 (6 điểm). Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 3 (2 điểm). Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 1
	Kết quả được thống kê bằng bảng sau (Bảng 2)
Lớp
Sĩ số
Điểm
Dưới 5 điểm
Từ 5 đến dưới 7
Trên 7 điểm
Lớp 11A1 
49
5 
24
20
Tổng 
49
5 (10,2%)
24 (49%)
20 (40,8%)
3. Đối chiếu kết quả thực nghiệm với số liệu khảo sát
	Kết quả đạt được là:
Về điểm số kiểm tra: Viới hai đề có nội dung kiến thức và yêu cầu về kĩ năng tương đương, đề 2 còn có phần khó hơn. Ta thấy rõ là tỉ lệ phần trăm đạt điểm trên trung