Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ

ng pháp tính nguyên hàm 
3. Các dạng bài tập tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ cơ bản
4. Một số bài tập tham khảo
IV. Kết quả thực nghiệm
Tài liệu tham khảo
B - NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận:
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần chú trọng phát huy động cơ học tập giúp học sinh thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội kiến thức. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn; hay có thể có những em thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt Dù là khả năng nào đi chăng nữa, học sinh cần thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển thì phải có tri thức, phải luôn học hỏi.
Riêng về môn giải tích 12, qua thực tế cho thấy nhiều học sinh khi học về nguyên hàm, tích phân các em thường có tâm lí “sợ” khi giải các bài tập nguyên hàm tích phân đặc biệt những em học trung bình trở xuống, lí do các em không hệ thống được các dạng bài tập, do đó các em ‘sợ’ bài tập chương này. Thế nên giáo viên cần chỉ rõ, đưa ra những ví dụ cụ thể và hướng dẫn cho học sinh. Ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp cụ thể, trực tiếp vào đúng đối tượng học sinh để các em yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, còn số ít các em khá không thấy chán nản, vẫn có thể vừa rèn luyện, tiếp nhận kiến thức, vừa giúp đỡ bạn.
II. Thực trạng của đề tài:
- Học sinh còn lúng túng khi giải bài tập nguyên hàm, tích phân.
- Kiến thức hệ thống bài tập cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Đa số học sinh có tâm lí sợ học tích phân.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích. Thực sự là khó không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức. Người dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ, việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học bằng biện pháp rèn luyện tích cực, như
Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về nguyên hàm, tích phân.
Hướng dẫn học sinh ghi nhớ bằng cách phân biệt các dạng bài tập về nguyên hàm, tích phân.
Phân dạng bài tập, phương pháp và các bước thực hiện chung.
Khai thác triệt để bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập cho đối tượng trung bình, yếu và một số bài tập đòi hỏi tư duy cao dành cho đối tượng khá giỏi.
III. Giải quyết vấn đề:
1. Định nghĩa và tính chất của nguyên hàm 
Định nghĩa: cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K.
Định lí
 1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
 2) Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số.
Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là khi đó: (C là 1 hằng số)
 Tính chất nguyên hàm :
 1. và 
 2. (k là hằng số khác 0)
 3. 
 4. 
Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.	
2. Một số phương pháp tính nguyên hàm 
Việc tính nguyên hàm của một hàm số là không hề đơn giản chút nào. Do vậy mà ở đây tôi sẽ đưa ra 3 phương pháp có tính đường lối.
Đó là phương pháp sử dụng các nguyên hàm cơ bản, phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
a. phương pháp đưa về các nguyên hàm cơ bản
Bảng công thức tính đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm thường gặp
STT
Hàm số
Đạo hàm
Nguyên hàm
1
y = x
y' = 1
2
y = 
y' = 2
 (
3
y = sin x 
y' = cosx
4
y = cosx
y' = sinx
5
y = tgx
y' = 
6
y = cotgx
y' = 
7
y = lnx
y' = 
	(
8
y = logax
y' = ,
9
y = ex
y' = ex
10
y = ax
y' = ax lna
()
()
b. tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá :
Phương pháp này dựa vào định lí:
Nếu và t=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục , thì 
c. phöông phaùp nguyeân haøm töøng phaàn:
Phương pháp này có được dựa và định lí sau:
Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì 
 Hay viết gọn là: 
Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau :
Lựa chọn phép đặt v’ sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
Tích phân được xác định một cách dễ dàng hơn so với 
3. Các dạng bài tập tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ cơ bản
a. Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ có dạng: 
Hướng dẫn:
1/ Dùng công thức
Chứng minh:
I==
Đặt t=ax+b dt=adx
Vậy I=
Ví dụ minh họa
1. 
2. 
3. 
4. 
b. Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ có dạng: I=
Hướng dẫn:
Tính hay ’của mẩu rồi tùy theo dấu của hay ’ để áp dụng công thức sau:
1) >0 hay ’>0 (có 2 nghiệm x1,x2) I=
2) =0 hay ’=0: I=
3) <0 hay ’<0: I= hay I= 
Chứng minh:
I=
Trường hợp 1: ax2+bx+c có >0 hay ’>0 giả sử ax2+bx+c có 2 nghiệm x1,x2 
I=
Trường hợp 2: ax2+bx+c có =0 hay ’=0 giả sử ax2+bx+c có 1 nghiệm kép x=
I=
Đặt t=x+dt=dx
I==
Trường hợp 3: ax2+bx+c có <0 hay ’<0 :
I=== 
= = 
= 
Đặt u=du=
I===
Ví dụ minh họa
1. I=
Ta thấy x2-7x+10 có =9>0 suy ra x2-7x+10 có 2 nghiệm phân biệt x1=5,x2=2
Vậy I= ==
Chú ý nếu lấy x1=2,x2=5 sẽ có 
I= ==
2. I=
Ta thấy 2x2-5x-3 có =49>0 suy ra 2x2-5x-3 có 2 nghiệm phân biệt x1=3,x2=-
Vậy I= ==
3. I=
Ta thấy 4x2-24x+36 có ’=0 
Vậy I= ==
4. I=
Ta thấy 5x2-2x+2 có ’=-9<0 
Vậy I= = =
Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ có dạng: I=
Hướng dẫn:
Biến đổi sao cho có dạng sau:
I== trong đó , là các hằng số
=ln|u|+C
 đã biết cách tính ở phần trên
Ví dụ minh họa:
1.I===
=+=
=
Phân tích các bước: I=
Bước 1:
Lấy đạo hàm 8x-5 của phía dưới mẫu đem lên trên và giữ nguyên phía dưới mẫu: 
Bước 2:
Đem hệ số của x mới có ở trên tử là 8 ra ngoài thành mẫu của một phân số mới:
Bước 3:
Đem hệ số của x đã có sẵn ở phần trên trong I là 3 làm tử để được phân số :
Bước 4:
Nhân với hằng số ở trên tử là -5 để được - : 
Bước 5: thêm hằng số đã có sẵn ở phần trên trong I là -1 thành:
Bước 6: 
Rút gọn thành :
I==
Và kết quả là:
I=
2. I===
=+=
=
3. I===
=+13=
Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ có mẩu lớn hơn bậc hai:
Trường hợp 1: mẫu có thể biến đổi thành tích của nhiều thừa số bậc nhất hoặc bậc hai
Hướng dẫn:
Ta đã biết cách tính tích phân của hàm số hữu tỷ có mẩu thuộc bậc nhất hoặc bậc hai. Nếu mẫu có bậc cao hơn bậc hai thì ta giải quyết cách khác trong đó có một cách thường dùng là áp dụng đồng nhất thức và làm như sau:
- Đổi mẫu số thành nhiều thừa số bậc nhất và bậc hai ( không được quá bậc hai)
- Đổi hàm số ra tổng của nhiều phân thức mà mỗi phân thức có mẫu là một thừa số đã có ở trên và tử là một biểu thức bậc thấp hơn mẫu một bậc thí dụ mẫu bậc nhất thì mẩu là hằng số, mẫu bậc hai thì tử là Ax+B
- Sau khi đã tách ra như trên lại quy đồng mẫu số thì sẽ thấy mẫu số giống mẫu số trong hàm đã ra và có tử số mới
- Cho tử số mới đồng nhất với tử số cũ( tức là luôn luôn bằng nhau với mọi x) ta sẽ tìm ra cụ thể các tử số mới, từ đó biến đổi tích phân thành hợp của 3 dạng:
;;
Ví dụ minh họa:
1. I=
Đặt 
Sẽ có đồng nhất thức:
cho x=1 ta có A=
cho x=0 ta có C=
cho x=-1 ta có B=
do đó: 
I==
=
=
Trường hợp 2: mẫu không thể biến đổi thành tích của nhiều thừa số bậc nhất hoặc bậc hai
Hướng dẩn:
- Trường hợp trong tử có chứa đạo hàm của mẫu u: hãy dùng cách đổi biến số
- Trường hợp các bậc cao ở mẫu so le nhau một hoặc hai bậc: hãy đặt x=
Ví dụ minh họa:
1. I=
Đặt u= có du= ()dx
Vậy I==2ln|u|+C=2ln||+C
2. I= ( có mẫu so le 1 bậc)
Đặt x= có dx=-
Vậy I====
==
Do x= nên I=
3. I= ( có mẫu so le 2 bậc)
Đặt x= có dx=-
Vậy I====
Do x= nên
I==
3. Một số bài tập tham khảo
Một số bài toán tính nguyên hàm, tích phân trong các kỳ thi tnpt và đại học có liên quan đến việc tính nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ.
Bài 1. Tính tích phân I= (Đề thi đại học- 2006- khối B)
Giải
I== 
Đặt t=ex 
Với x= ln3 thì t=3; với x= ln5 thì t=5
I=
Bài 2. Tính tích phân I= (Đề tuyển sinh đại học, cao đẳng- 2008- khối A)
Giải
I== 
Đặt t=tanx
Với x=0 thì t=0; x= thì t=
I=
Bài 3. Tính tích phân I= (Đề tuyển sinh đại học, cao đẳng- 2004- khối A)
Giải
I=
Đặt t=
Với x=1 thì t=0; x=2 thì t=1
I=
IV. Kết quả thực nghiệm
1. Xử lí kết quả thực nghiệm
	- Trên cơ sở định lượng, việc xử lí kết quả thực nghiệm được thể hiện qua phương pháp toán học:
	+ Tính tỉ lệ % về điểm số để đánh giá khả năng tiếp thu và phân loại kết quả học tập của HS. 
	+ Tính giá trị trung bình cộng () để so sánh kết quả của việc nhận thức ở mức độ trung bình của HS hai lớp ĐC và thực nghiệm.
	+ Tính độ lệch chuẩn (S) để đo mức độ phân tán kết quả học tập của HS quanh . Độ lệch càng nhỏ chứng tỏ kết quả học tập của HS phân tán quanh càng ít, nghĩa là chất lượng tốt và ngược lại.
	- Trên cơ sở định tính: nhằm đánh giá các khả năng phân tích câu hỏi, bài tập; đánh giá qua dự giờ, trao đổi với GV bộ môn, GV dạy thực nghiệm và HS. 
2. Kết quả thực nghiệm
 Kết quả về điểm số (định lượng)
KẾT QUẢ BÀI KIỂM TRA NĂM HỌC 2009-2010
Giáo viên
Lớp
Sĩ số HS
Điểm số kết quả kiểm tra (xi)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Đinh Như Mạnh Hùng
ĐC
34
0
1
3
9
10
7
3
1
0
TN
35
0
0
1
5
9
10
7
3
0
KẾT QUẢ BÀI KIỂM TRA NĂM HỌC 2010-2011
Giáo viên
Lớp
Sĩ số HS
Điểm số kết quả kiểm tra (xi)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Đinh Như Mạnh Hùng
ĐC
34
0
0
2
8
10
9
3
2
0
TN
34
0
0
0
7
9
10
5
3
0
TỔNG HỢP ĐIỂM SỐ THEO BÀI KIỂM TRA
Lớp
Tổng số HS
Điểm số kiểm tra 
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ĐC
68
0
1
5
17
20
16
6
3
0
TN
69
0
0
1
12
18
20
12
6
0
THỐNG KÊ SỐ LƯỢNG VÀ TỈ LỆ ĐIỂM SỐ KIỂM TRA 
Lớp
Tổng số bài KT
Kết quả kiểm tra
Yếu: 2 – 4
TB: 5 – 6
Khá: 7 – 8
Giỏi: 9 – 10
Số bài
%
Số bài
%
Số bài
%
Số bài
%
Đối chứng
68
6
8,8
37
54,4
22
32,4
3
4,4
Thực nghiệm
69
1
1,5
30
43,4
32
46,4
6
8,7
BẢNG 3.6. ĐIỂM TRUNG BÌNH VÀ ĐỘ PHÂN TÁN ĐIỂ