Rèn kỹ năng nguyên hàm cho học sinh

nh Toán trung học phổ thông, bài toán tìm đạo hàm, nguyên hàm và tích phân của một hàm số là không thể thiếu. Đây là lớp bài toán quan trọng, có liên quan mật thiết với nhau. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suy luận để hướng tới kết quả của bài toán tìm nguyên hàm, cũng như kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Ngược lại, tìm thành thạo nguyên hàm, có thể giúp ta tính được nhiều tích phân đơn giản của các hàm số khác nhau Tuy nhiên, với nhiều học sinh, việc tìm được nguyên hàm của một hàm số lại không phải là vấn đề đơn giản. Chính vì lẽ đó, ở đây tôi xin đưa ra một số phương pháp tìm nguyên hàm nói chung, và phương pháp tìm nguyên hàm của một số lớp hàm số nói riêng. Đề tài được mang tên “Rèn kỹ năng tìm nguyên hàm cho học sinh” – hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh tạo được các kỹ năng cần thiết khi tìm nguyên hàm của hàm số.
2. Nội dung đề tài
Trình bày các phương pháp tìm nguyên hàm với những ví dụ minh họa cụ thể.
Đề tài gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức bổ trợ
Chương này nhắc lại một số công thức lượng giác cần nhớ, cần thiết cho quá trình biến đổi hàm số; các công thức và quy tắc tính đạo hàm; vi phân của hàm số
Chương 2. Các phương pháp tìm nguyên hàm
Chương này trình bày một số phương pháp tìm nguyên hàm: Phương pháp đổi biến số; Phương pháp nguyên hàm từng phần; Nguyên hàm của hàm hữu tỉ; Nguyên hàm của hàm lượng giác
Nội dung của chương, được trình bày thành 4 bài:
§1. Định nghĩa nguyên hàm
§2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
§3. Nguyên hàm của hàm hữu tỉ
§4. Nguyên hàm của hàm lượng giác
Tuy nhiên, chúng ta cũng biết rằng, bài toán tìm nguyên hàm là khá phức tạp. Cho nên, đòi hỏi ở học sinh khả năng áp dụng sáng tạo các phương pháp tìm nguyên hàm. Và rất thường khi, cũng sẽ gặp nhiều phép biến đổi không theo khuôn mẫu có sẵn nào cả, và tất nhiên cũng sẽ không được trình bày trong phần nội dung các phương pháp tìm nguyên hàm. Từ đó, lại càng thấy rõ hơn sự cần thiết hình thành kỹ năng biến đổi hàm số để tìm nguyên hàm cho học sinh!
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Trong Chương này, ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết khi biến đổi các biểu thức lượng giác cần tính nguyên hàm, công thức tính đạo hàm của một số hàm số
A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
1. Cung đối nhau
2. Cung bù nhau
3. Cung phụ nhau
4. Cung hơn kém 
5. Cung hơn kém 
II. Công thức lượng giác
1. Các hệ thức cơ bản
2. Công thức cộng
3. Công thức nhân đôi
4. Công thức nhân ba
5. Công thức hạ bậc
6. Công thức tính theo 
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
8. Công thức biến đổi tổng thành tích
9. Các công thức thường dùng khác
B. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
1. Công thức tính đạo hàm của hàm số hợp
Cho là hàm số theo và là hàm số theo thì ta có: 
2. Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây ; )
3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở đây )
 ( là hằng số)
4. Đạo hàm của hàm lượng giác
5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít
C. VI PHÂN
Nhớ lại: 
Vậy có:
• 	• 	• 
• 	• 	• 
• 	• 	• 
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Trong chương trình Toán trung học phổ thông, bài toán tìm đạo hàm, nguyên hàm và tích phân của một hàm số là không thể thiếu. Đây là lớp bài toán quan trọng, có liên quan mật thiết với nhau. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suy luận để hướng tới kết quả của bài toán tìm nguyên hàm, cũng như kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Ngược lại, tính thành thạo nguyên hàm, có thể giúp ta tính được nhiều tích phân đơn giản của các hàm số khác nhau Tuy nhiên, với nhiều học sinh, việc tìm được nguyên hàm của một hàm số lại không phải là vấn đề đơn giản. Chính vì lẽ đó, ở đây tôi xin đưa ra một số phương pháp tìm nguyên hàm nói chung, và phương pháp tìm nguyên hàm của một số lớp hàm số nói riêng. Nội dung của chương, được trình bày thành 4 bài:
§1. Định nghĩa nguyên hàm
§2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
§3. Nguyên hàm của hàm hữu tỉ
§4. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
Tuy nhiên, chúng ta cũng biết rằng, bài toán tìm nguyên hàm là khá phức tạp. Cho nên, đòi hỏi ở học sinh khả năng áp dụng sáng tạo các phương pháp tìm nguyên hàm. Và rất thường khi, cũng sẽ gặp nhiều phép biến đổi không theo khuôn mẫu có sẵn nào cả, và tất nhiên cũng sẽ không được trình bày trong phần nội dung các phương pháp tìm nguyên hàm.
§1. ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM
A. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1. Định nghĩa
VD1. Cho 	VD2. Cho 
Ta thấy ở hai ví dụ trên đều có . Ta gọi là một nguyên hàm của . Vì với là một hằng số bất kỳ, ta có nên nếu là nguyên hàm của thì cũng là một nguyên hàm của . Ta gọi là Họ nguyên hàm của .
Ký hiệu: 
VD: 
2. Tính chất
• 
• , là hằng số
• 
• 
3. Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số liên tục trên đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn 
B. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C. MỘT SỐ NGUYÊN HÀM HAY DÙNG
1. .
Đặc biệt 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
§2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Trong bài này, chúng ta tìm hiểu một số phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm, như: Áp dụng công thức nguyên hàm của một số hàm số thường gặp; Phương pháp đổi biến số; Phương pháp nguyên hàm từng phần
I. PHƯƠNG PHÁP 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm:
• 
• 
• 
•
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
2. Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm:
Trong Ví dụ này cần chú ý: 
•
•
•
•
•
3. Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm:	
• 
• 
• 
• 
• 
• 
II. PHƯƠNG PHÁP 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1. CÁC DẠNG ĐỔI BIẾN SỐ THƯỜNG GẶP
DẠNG
CÁCH ĐỔI BIẾN
Đặt 
Đặt 
Đặt 
Đặt 
Đặt 
Đặt 
Đặt 
Đặt 
Đặt 
Đặt 
2. MỘT VÀI VÍ DỤ
• 
Đặt . Từ đó ta được:
• 
Đặt . Thay vào ta được:
• 
Ta có: 
Đặt 
Ta được 
• 
Đặt . Từ đó ta được:
• 
Đặt . Từ đó ta được:
• (Đặt )
• (Đặt )
• (Đặt )
• 
Đặt 
III. PHƯƠNG PHÁP 3. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
1. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
Phương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích. Giả sử cần tính , ta làm như sau:
Đặt 
Từ đó 
2. CHÚ Ý
Thứ tự ưu tiên đặt trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:
(Hàm lượng giác)
(Hàm mũ)
Lôgarít Đa thức 
3. MỘT SỐ VÍ DỤ
Tìm các nguyên hàm:
•
Theo thứ tự ưu tiên ở trên, với nguyên hàm này là tích của Hàm đa thức với Hàm lượng giác, nên ta ưu tiên đặt 
Đặt 
•
Đặt 
Tính 
Đặt 
Từ đó:
•
Tính . Đặt 
Từ đó: 
•
Với bài này, khi mà bậc của , sử dụng phương pháp Nguyên hàm từng phần ta phải tiến hành hai lần. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cũng có thể sử dụng một cách khác được chỉ ra ở đây!
• Cách 1: Đặt:
Tính . Đặt 
• Cách 2: Giả sử 
Vậy 
•
Đặt 
Đặt 
Từ đó: 
• (ĐS: )
• (ĐS: )
•
•
Đặt .
Ta được 
•
Đặt: 
•. Ta có . Đặt .
Ta được 
•. 
Tính . Đặt .
Từ đó . Từ đó 
•.
Đặt . Từ đó 
•
•
•
Giả sử: 
IV. PHƯƠNG PHÁP 4. PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
•
Đặt 
Đặt 
Vậy 
•. Đặt 
Từ đó 
•. Đặt .
Từ đó 
•. Đặt 
V. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ
Giả sử cần tính . Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ sao cho việc tính và đơn giản hơn. Chẳng hạn:
• 
Ta có thể xét 
Khi đó:
Từ đó suy ra: 
• 
Ta có thể xét 
Khi đó:
Từ đó suy ra:
• 
Ta có thể xét 
Khi đó:
Từ đó suy ra: 
• 
Ta có thể xét 
Khi đó:
Từ đó suy ra:
§3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ
1. Phương pháp
Giả sử cần tính (trong đó là những đa thức của ). Ta có hai trường hợp:
a) Bậc của nhỏ hơn bậc của . Xét các khả năng sau (ở đây ta xét là đa thức bậc 3, các trường hợp khác làm tương tự):
• có các nghiệm đơn khác nhau, giả sử . Khi đó ta tìm , , sao cho .
• có nghiệm đơn và nghiệm kép, . Khi đó ta tìm , , sao cho 
• có một nghiệm đơn, . Khi đó ta tìm , , sao cho 
b) Bậc của lớn hơn hoặc bằng bậc của . Khi đó ta lấy chia cho và quay về trường hợp a).
2. Bài tập áp dụng: Tìm các nguyên hàm.
• 
Ta tìm sao cho:
Từ đó:
• 
Ta tìm sao cho:
Cho giá trị lần lượt bằng 1, 2, 3 ta tìm được 
Từ đó:
• 
• 
Ta tìm sao cho:
Từ đó:
• 
• 
3. Nguyên hàm dạng 
Ta xét một số ví dụ:
•
Ta phân tích:
Từ đó:
•
Ta phân tích:
Từ đó:
§4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
Trong bài này, chúng ta tìm hiểu một số bài toán tìm nguyên hàm của hàm lượng giác có dạng khá đặc biệt.
I. Dạng 1. 
1. Phương pháp tính
Dùng đồng nhất thức:
Từ đó suy ra:
2. Chú ý
Với cách này, ta có thể tìm được các nguyên hàm:
• bằng cách dùng đồng nhất thức 
• bằng cách dùng đồng nhất thức 
3. Ví dụ áp dụng
• 
Ta có: 
Từ đó: 
• 
Ta có:
Từ đó:
• 
Ta có: 
Từ đó: 
II. Dạng 2. 
1. Phương pháp tính
Ta có: 
Từ đó: 
Đến đây ta gặp bài toán tìm nguyên hàm ở Dạng 1.
2. Chú ý
Với cách này, ta có thể tính được các nguyên hàm:
•
•
3. Ví dụ áp dụng
•
Ta có: 
Ta có: 
Từ đó: 
Tính 
Ta có: 
Từ đó: 
Suy ra: 
•
Ta có: 
Từ đó: 
Đến đây, bằng cách tính ở Dạng 1, ta tính được:
Suy ra: 
III. Dạng 3. 
1. Phương pháp tính
Có: 
2. Ví dụ áp dụng
•
•
IV. Dạng 4. 
1. Phương pháp tính
Đặt 
2. Ví dụ áp dụng
•
Đặt 
Từ đó: 
•
Đặt 
Từ đó: 
•
Đặt 
Từ đó: 
V. Dạng 5. 
1. Phương pháp tính
Đặt . Suy ra 
2. Ví dụ áp dụng
•
Đặt 
•
Đặt 
VI. Dạng 6. 
1. Phương pháp tính
Ta tìm sao cho:
2. Ví dụ áp dụng
•
Ta tìm sao cho:
Từ đó: 
•
Ta tìm sao cho:
Từ đó: 
3. Chú ý
1. Nếu gặp ta vẫn tìm sao cho:
2. Nếu gặp ta tìm sao cho:
Chẳng hạn:
•
Ta tìm sao cho:
Từ đó: 
Tìm 
Vậy 
• 
Ta tìm sao cho:
Từ đó: 
Tìm 
Đặt 
Vậy: 
VII. Dạng 7. Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản hoặc 6 dạng ở trên
• 
• 
• 
Ta có: 
Từ đó: 
• 
Ta có: 
Từ đó: 
• 
Ta có: 	
Suy ra: 
Vậy 
• 
Đặt 
• 
Đặt 
• 
• 
Đặt 
Tính 
• 
KẾT LUẬN
	Trong đề tài này đã trình bày một số phương pháp để tìm nguyên hàm của hàm số và nhiều ví dụ minh họa chi tiết Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do điều kiện thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên chắc chắn đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi kính mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và bạn đọc để đề tài này có thể được chính xác, đầy đủ hơn và có ích cho các bạn học sinh tìm hiểu về lớp bài to