Quan hệ vuông góc - Lý thuyết và bài tập

cắt bởi mặt phẳng (P).
CHỦ ĐỀ 3.CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG.
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng một trong hai cách sau:
Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).
Chứng minh a//b ,b vuông góc với (P).
B.VÍ DỤ:
Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BC và BD,tam giác BCD vuông tại C.kẻ BE vuông góc với AC,EF vuông góc với AC (F thuộc AD).Chứng minh:
a)CD(ABC).
b)BE(ACD).
c)EF(ABC).
Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD vuông góc từng đôi một.Gọi H là trực tâm tam giác BCD,chứng minh AH (BCD).
Ví dụ 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD,SA (ABCD).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB,SC.Chứng minh:
a)BD(SAC).
b)MN(SAB).
C.BÀI TẬP:
Bài 1:Cho hình chóp S.ABC có SB(BCD).Gọi H là trực tâm tam giác BCD,chứng minh rằng:
a)DH(ABC).
b)CH(ABD).
c)CD(ABH).
Bài 2:Cho tứ diện ABCD có AC=AD và BC=BD.Gọi M là trung điểm của CD,H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác AMB.Chứng minh rằng:
a)CD(AMB).
b)AH(BCD).
Bài 3:Cho tứ diện ABCD có DA(ABC).Gọi H,K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác BCD.Chứng minh rằng:
a)HK(BCD).
b)BD(CHK).
Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,tam giác SAB đều.Gọi H,I lần lượt là trung điểm của AB và CD,cho SC=,HKSI.Chứng minh rằng:
a)SH(ABCD).
b)HK(SDC).
CHỦ ĐỀ 4:CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU.
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta có thể áp dụng một trong các cách sau:
Chứng minh góc giữa a và b bằng 900.
Chứng minh a vuông góc với mặt phẳng chứa b.
Chứng minh a song song với c,c vuông góc với b.
Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
Đưa về một mặt phẳng ,sử dụng các định lý trong hình học phẳng.
B.VÍ DỤ:
Ví dụ 1:Cho tứ diện đều ABCD,AH(BCD),M là trung điểm AH.Chứng minh rằng :
a)Các cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi.
b)Ba đường thẳng MB,MC,MD vuông góc với nhau từng đôi.
Ví dụ 2:Cho hình tròn tâm O,đường kính AB nằm trong mặt phẳng (P).Trên đường vuông góc với (P) tại A lấy điểm S,trên dường tròn (O) lấy điểm C,kẻ AISC,AKAB.Chứng minh rằng:
a)Các mặt tứ diện SABC là các tam giác vuông.
b) AIIK,IKSB.
C BÀI TẬP:
Bài 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và B,AD=2AB=2BC.
a)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b)Gọi I là trung điểm của AD chứng minh BISC và CISD.
Bài 2:Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC),AB=AC,I là trung điểm của BC AHSI.Chứng minh:
a)BCAH.
b)AHSB.
c)SC không vuông góc với AI.
Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ,SA vuông góc với đáy .Một mặt phẳng qua A và vuông góc với SC tại N,cắt SB tại M,cắt SD tại P.
a)Chứng minh :AMSB;ANSC;APSD.
b)Chứng minh MPSC;MCAN
c)Tìm diện tích thiết diện AMNP khi SA=AB=a.
CHỦ ĐỀ 5.	XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P),ta xác định a/ là hình chiếu của a trên (P).
*Chọn điểm M trên a,tìm hình chiếu H của M trên (P).
*Tìm giao điểm N của a và (P).
*NH chính là a/.
Để tính góc MNP ta dùng hệ thức trong tam giác vuông MHN.
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình thang vuông tại A,SA vuông góc với đáy,AD=2BC=2AB=2a,SA=.Tính góc giữa:
a)các cạnh bên của hình chóp với mặt đáy (ABCD).
b)SB,SC với mặt bên (SAD).
Ví dụ 2:Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ ,ABC là tam giác vuông cân,AB=BC=a;B/A=B/B=B/C=a.Tính góc giữa B/B với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (B/AC).
Ví dụ 3:Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với AB và BC,tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,cạnh AB=a,AD=.Tính góc giữa:
a)DB và (ABC).
b)CD và (ABD).
c)AC và (ABD).
C.BÀI TẬP:
Bài 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA vuông góc với đáy ,SA=a.Tính góc giữa:
a)Các cạnh bên và mặt đáy.
b)Cạnh SC và mặt bên (SAD).
c)Cạnh bên SB và mặt phẳng (SAC).
Bài 2:Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA=SB=SC=a và cùng tạo với đáy (ABC) các góc bằng nhau,biết AB=AC=2BC=a.Tính góc giữa:
a)SA và mp(ABC).
SA và mp(SBC).
Bài 3:Cho tam giác đều ABC cạnh a.Từ trung điểm H của AB kẻ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC).Trên d lấy điểm S sao cho .Tính góc giữa:
a)SA với mp(ABC).
b)SC với mp(ABC).
c)SH với mp(SBC).
Bài 4:Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ có tất cả các cạnh đều bằng a,góc ABC bằng 1200;A/B=A/D=A/A.Tính góc giữa A/A và A/C/ với mặt phẳng đáy.
CHỦ ĐỀ 6:	XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 
A.PHƯƠNG PHÁP:
Cách thường dùng để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
*xác định giao tuyến của (P) và (Q).
*Trên (P) tìm AI,trên (Q) tìm BI.
* là góc cần tìm (còn gọi là góc phẳng của nhị diện ((P),(Q)).
Cách chứng minh hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau:
*Chứng minh góc giữa chúng bằng 900
*Chứng minh (P) chứa một đường thẳng vuông góc với (Q).
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với AC và AB,ABC là tam giác đều cạnh a,AD .Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:
a)(BAD) và (CAD).
b)(ABC) và (DBC).
c)(ADC) và (BDC).
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,góc ABC=600,SA vuông góc với đáy ,SA.Tính góc giữa các mặt phẳng:
a)(SBC) và (ABCD).
b)(SBD) và (ABCD).
c)(SBC) và (SCD).
Ví dụ 3:Cho hình lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy là tam giác đều cạnh a;B/A=B/B=B/C=a;AA/.Tính góc giữa:
a)Các mặt bên và mặt đáy.
b)Mặt (AA/B/B) và mặt (BB/C/C)
C.BÀI TẬP:
Bài 1:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ,AB=AC=a,góc BAC=300,SA=SB=SC=a.Tính góc giữa:
a)(SAB) và mặt đáy.
b)(SBC) và mặt đáy.
c)(SAB) và (SAC).
Bài 2:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ,AB=AC =a,góc BAC=1200.SA vuông góc với đáy ,SA=a.Tính góc:
a)Giữa (SAB) và (SAC).
b)Giữa (SBC) và (ABC),
c)Giữa (SBC) và (SAC)
Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,các mặt bên là những tam giác đều cạnh a.Tính góc
a)Giữa (SAB) và mặt đáy.
b)Giữa (SCD) và (SBC).
Bài 4:Cho hình hộp đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy là hình vuông cạnh a,cạnh bên .Tính góc:
a)Giữa (B/AC) và (ABCD).
b)Giữa (BA/C/) và (B/AC).
CHỦ ĐỀ 7:	THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP ,HÌNH LĂNG TRỤ.
A.PHƯƠNG PHÁP:
Xác định thiết diện của hình chóp,hình lăng trụ dựa trên quan hệ vuông góc thường dựa trên các nguyên tắc sau:
*Mặt phẳng chứa thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng thì chứa hai đường thẳng cắt nhau vuông góc với đường thẳng đó.
* Mặt phẳng chứa thiết diện qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng thì chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó.
Tính diện tích thiết diện:
*Chứng minh thiết diện là những đa giác đặc biệt ,đưa ra công thức tính diện tích đa giác đó,tính cạnh,đường cao thiết diện bằng cách xét các tam giác,thay vào công thức diện tích.
*Dùng công thức S/=S cos (với S là diện tích thiết diện;S/ là diện tích hình chiếu của thiết diện trên mặt phẳng đáy hình chóp hoặc hình lăng trụ; là góc tạo bởi mặt phẳng thiết diện và mặt phẳng đáy hình chóp,hình lăng trụ)
B.Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B,cạnh AB=a,AD vuông góc với AB và AC,AD=a.Xác định và tính diện tích thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng:
a)Qua B và vuông góc với AC.
b)Qua A và vuông góc với DC.
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,tâm O,SA vuông góc với đáy,SA=a,I là trung điểm của SA.Xác định và tính diện tích thiết diện:
a)Qua I và vuông góc với SA.
b)Qua O và vuông góc với AC.
c)Qua A và vuông góc với SB.
d)Qua A và vuông góc với SC
Ví dụ 3:Cho hình lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B,AD=a,mặt ABB/A/ là hình vuông.xác định và tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng qua B và vuông góc với AD/.Tính góc tạo bởi mặt phẳng thiết diện và mặt phẳng đáy lăng trụ.
Ví dụ 4:Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/.Xác định và tính diện tích thiết diện qua AC và tạo với (ABCD) một góc 450.
C.BÀI TẬP:
Bài 1:Cho hình chóp đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,đường cao .Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng:
a)Qua AB và vuông góc với (SCD).
b)Qua O và song song với (SCD).
Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,AB=a,BC=2a,tam giác SAB đều,nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng:
a)Qua S và vuông góc với AB.
b)Qua AD và vuông góc với với SB.
Bài 3:Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a,tạo với đáy góc 600. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng:
a)Qua BC và vuông góc với SA.
b)Qua A,vuông góc với (SBC) và song song với BC.
Bài 4:Cho tam giác đều ABC cạnh a.Gọi I là trung điểm cạnh BC,H là trung điểm của AI.Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H lấy điểm S sao cho .Lấy điểm J thuộc đoạn IH sao cho IJ=m.Dựng thiết diện qua J và vuông góc với IH.Tính diện tích thiết diện theo a và m.Tìm m để diện tích đó lớn nhất.
Bài 5:Cho hình hộp đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy là hình thoi cạnh a,góc BAD= 600,cạnh bên bằng 2a.Xác định và tính diện tích thiết diện qua B/ và vuông góc với BD/.
CHỦ ĐỀ 8.	KHOẢNG CÁCH
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để tính khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng ,giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song song ,giữa hai đường thẳng chéo nhau,trước hết ta phải xác định được các đoạn thẳng thỏa mãn tính chất của các loại khoảng cách.
a)Khoảng cách từ điểm M tới mp(P):
-Các định đoạn MH vuông góc với (P) tại H.
-Đôi khi có thể chuyển việc tính khoảng cách từ điểm M tới mp(P) sang việc tính khoảng cách từ một điểm N thuộc mp (Q) qua M và song song với (P),tới mp(P).
b)Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a.
xác định đoạn MH vuông góc (P) với điểm M bất kỳ thuộc a.
c)Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1:Tìm ra đoạn vuông góc chung của a và b (nếu đã có sẳn)
Cách 2:Chọn mp(P) chứa b và song song với a (muốn vậy (P) phải chứa a/ //a)Khoảng cách giữa a và (P) chính là khoảng cách giữa a và b.
Cách 3:Chọn hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau lần lượt chứa b và a.
Khoảng cách giữa (P) và (Q) chính là khoảng cách giữa a và b.
Bài toán:Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và