Phương trình và hệ phương trình đại số - Trần Xuân Bang

chỉ có tính 
tương ñối vì bạn thấy ñấy 1( , ) 0, 
2
x y
x y
ϕ = ≠
−
còn ( , ) 2x y x yψ = + thì không có 
ñiều kiện gì. Ta có hệ: ( ; ) ( ; ) 5( ; ). ( ; )
x y x y
x y x y a
ϕ ψ
ϕ ψ
+ =

=
Suy ra ( , ), ( , )x y x yϕ ψ là nghiệm của phương trình 2 5 0X X a− + = (*) 
Vì phuơng trình có thể có nghiệm bằng 0, khi ñó chỉ có ( , )x yψ nhận nghiệm 
ñó thôi. Như thế nên phải xét hai trường hợp: 
 i) a = 0: 
2 0 2 0( ; ) ( ; ) 5 ( ; ) 0
1 15( ; ). ( ; ) 0 ( ; ) 5 2
2 5
x y x y
x y x y x y
x y x y x y x y
x y
ϕ ψ ψ
ϕ ψ ϕ
+ = + =+ = =   
⇔ ⇔ ⇔   
== = − =   
− 
 ii) a = ≠ 0: Phương trình (*) có nghiệm chỉ khi 2525 4 0
4
a a∆ = − ≥ ⇔ ≤ . Hai 
nghiệm của (*) là 5 25 4
2
a± −
. 
 Hệ tương ñương với: 
1 5 25 4 2 5 25 42
2 2 25 25 4
5 25 4 5 25 42 2
2 2
1 5 25 4 2 5 25 42
2 2 25 25 4
5 25 45 25 4 22
22
a a
x y
x y aa
a a
x y x y
a a
x y
x y aa
aa
x yx y
  + − − −
= − = =  
−  + −   
− − − −  + = + =   ⇔  
− − + − 
= − = =  
−  − −
 
+ −+ −   + =+ =   
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
20
5 25 4 15 25 4 12 42
5 25 4 15 25 4 12 82
5 25 4 5 25 4 12 1
2 4
5 25 4 5 25 4 12 12 8
aa xx y aa
aa yx y
a
a a
x y x
a a
a ax y y
a

− −  
− −
= +  
− =     
− −  − −  = −+ =      ⇔ ⇔  + − + −  
− = = +      
  + −  + −   + = = −    
* Bài tập luyện tập. 
Bài 1. Giải hệ phương trình 3 3
2 1
11
x y xy
x y
+ + =

+ =
 (XB) 
Bài 2. Giải hệ phương trình 2 2
2( ) 1
1
x y xy
x y xy
+ − =

+ =
 (XB) 
Bài 3. Giải hệ phương trình 
2 2 5
( 1) 6
x y x y
xy x y xy
 − + + =

− + + − =
 (XB) 
Bài 4. Giải hệ phương trình 
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
 + =

− + =
 (ðH Ngoại Thương A98) 
Bài 5. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
1( )(1 ) 5
1( )(1 ) 49
x y
xy
x y
x y

+ + =


 + + =

 (ðH Ngoại Thương A99) 
Bài 6. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
1 1 4
1 1 4
x y
x y
x y
x y

+ + + =


 + + + =

 (ðH An Ninh A99) 
Bài 7. Giải hệ phương trình 
y 7 1
x
78
x
y xy
x xy y xy

+ = +


+ =
 (ðH Hàng Hải A99) 
Bài 8. Cho hệ phương trình 2 2
x y xy m
x y m
+ + =

+ =
 a) Giải hệ khi m = 5 
 b) Tìm tất cả các giá trị m ñể hệ có nghiệm. 
Bài 9. Cho hệ phương trình 
2 2 8
( 1)( 1)
x y x y
xy x y m
 + + + =

+ + =
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
21
 a) Giải hệ khi m = 12 
 b) Tìm tất cả các giá trị m ñể hệ có nghiệm. 
Bài 10. Cho hệ phương trình 2 2 3 8
x y xy a
x y xy a
+ + =

+ = −
 a) Giải hệ khi a = 7
2
 b) Tìm tất cả các giá trị a ñể hệ có nghiệm. 
Bài 11. Cho hệ phương trình 2 2
1x y xy m
x y xy m
+ + = +

+ =
 a) Giải hệ khi m = 2 
 b) Tìm tất cả các giá trị m ñể hệ có ít nhất một nghiệm (x;y) sao cho x > 0, 
y > 0. 
Bài 12. Cho hệ phương trình 
2
1
, a > 0.
2
1.
x ya a
x y b b

+ =

 + = − +
 a) Giải hệ khi b = 1. 
 b) Tìm a ñể hệ có nghiệm với mọi b ∈[0; 1] 
4. Hệ phương trình ñối xứng loại 2: 
Là hệ phương trình dạng ( , ) 0( , ) 0
f x y
g x y
=

=
 trong ñó nếu thay ñổi vai trò của x, y 
cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại. Vai 
trò của x, y trong từng phương trình không như nhau nhưng trong hệ phương 
trình thì như nhau: 
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y g y x
g x y f y x
=

=
Thấy ngay (x; y) là nghiệm khi và chỉ khi (y; x) là nghiệm. 
Cách giải: 
 Trừ từng vế của hai phương trình ta ñược phương trình tích 
VD1. Giải hệ phương trình 
2
2
3 (1)
3 (2)
x x y
y y x
 = −

= −
 (ðHMTCN - A98) 
Trừ từng vế (1) và (2) cho nhau, ta có: x2 - y2 = 3(x - y) + x - y 
 ⇔ (x - y)(x + y - 4) = 0 0
4 0
x y
x y
− =
⇔  + − =
 i) x - y = 0 ⇔ y = x thay vào (1): x2 - 2x = 0 ⇔ x = 0, x = 2. 
Ta có hai nghiệm (0; 0), (2; 2) 
 ii) x + y - 4 = 0 ⇔ y = 4 - x thay vào (1): x2 = 3x - 4 + x ⇔ x = 2 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
22
Ta có nghiệm (2; 2). 
 Tóm lại, hệ phương trình ñã cho có hai nghiệm (0; 0), (2; 2). 
VD2. Xác ñịnh a < 0 ñể hệ sau có nghiệm duy nhất 
2 2
2 2
 (1)
 (2)
x y a y
xy a x
 + =

+ =
 (ðHDược - A97) 
Trừ từng vế (1) và (2) cho nhau ta có: 
 xy(x - y) = y2 - x2 ⇔ (x - y)(xy + x + y) = 0 0
0
x y
xy x y
− =
⇔  + + =
Do a 0, y > 0 như thế xy + x + y = 0 vô 
nghiệm. 
Với x - y = 0 ⇔ y = x thay vào (1): x2 - x3 = a 
ðặt f(x) = x2 - x3 , x > 0. 
f '(x) = 2x - 3x2 
f '(x) = 0 ⇔ x = 0, x = 3
2
Thấy ngay với mọi a < 0 
phương trình (*) có nghiệm 
duy nhất nên hệ có nghiệm 
duy nhất. 
* Bài tập luyện tập. 
Bài 1. Giải hệ phương trình 
3 4
3 4
y
x y
x
xy x
y

+ =

 + =

 (ðHQG HN -A97) 
Bài 2. Giải hệ phương trình x
y
log (3 2 ) 2
log (3 2 ) 2
x y
y x
+ =
 + =
 (ðH Công ñoàn - A97) 
 Bài 3. Giải hệ phương trình 
1 32
1 32
x
y x
y
x y

+ =


 + =

 (ðHQG HN - B99) 
 Bài 4. Cho hệ phương trình 
2
2
( ) 2
( ) 2
x x y m
y x y m
 − + =

− + =
 a) Giải hệ khi m = 0 
 b) Tìm m ñể hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm ñó. 
 (ðH Công ñoàn - A99) 
 Bài 5. Giải hệ phương trình 
3
3
3 8
3 8
x x y
y y x
 = +

= +
 (ðHQG HN - D99) 
x 0 3/2 + ∞ 
f '(x) 0 + 0 - 
f(x) 
0 - ∞ 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
23
Bài 6. Cho hệ phương trình 
2
2
2
2
2
2
a
x y
y
ay x
x

= +



= +
Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi a. 
5. Hệ phương trình ñẳng cấp. 
( , ) (1)
( , ) (2)
f x y a
g x y a
=

=
 trong ñó : ( , ) ( , )
( , ) ( , )
k
k
f tx ty t f x y
g tx ty t g x y
 =

=
Mở rộng: ( , ) ( , ) (3)( , ) ( , ) (4)
f x y F x y
g x y G x y
=

=
trong ñó f(tx, ty) = tkf(x, y), g(tx, ty) = tkg(x, y) : cùng ñẳng cấp bậc k. 
 F(tx, ty) = tmF(x, y), G(tx, ty) = tmG(x, y) : cùng ñẳng cấp bậc m. 
PPGiải: Xét x = 0 có phải là nghiệm. 
 Xét x ≠ 0: ðặt y = tx 
VD1: Giải hệ phương trình: 
3 3 7
( ) 2
x y
xy x y
 − =

− =
 (HVQHQT - D97) 
 HD. 
Hệ ñã cho tương ñương với : 
3 3
2 2
7
2
x y
x y xy
 − =

− =
Từ phương trình thứ hai thấy ngay x ≠ 0, y ≠ 0. ðặt y = tx. 
hệ 
3 3
2 2
7
2
x y
x y xy
 − =

− =
 trở thành 
3 3 3 3 3
3 2 3 3 2
7 (1 ) 7
2 ( ) 2 (*)
x t x x t
tx t x x t t
 − = − = 
⇔ 
− = − =  
Từ (*) ta thấy 0, 1t t≠ ≠ . Chia từng vế của hai phương trình, ta có: 
3 2
2
2
1 7 1 7 12 5 2 0 2,
2 2 2
t t t
t t t t
t t t
− + +
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔ = =
−
i) t = 2 thay vào (*) ta có x3 = -1 ⇔ x = - 1, y = 2x = -2 
ii) t = 1
2
thay vào (*) ta có x3 = 8 ⇔ x = 2, y = 1
2
x = 1 
VD2: Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
3 2 2 7
6 3 8
x xy y
x xy y
 − + =

+ − = −
 HD. 
 Từ phương trình thứ hai thấy ngay 0y ≠ . ðặt x = ty. 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
24
Hệ 
2 2
2 2
3 2 2 7
6 3 8
x xy y
x xy y
 − + =

+ − = −
 ⇔
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 2 2 7 (3 2 2) 7 (1)
6 3 8 ( 6 3) 8 (2)
t y ty y y t t
t y ty y y t t
 − + = − + = 
⇔ 
+ − = − + − = −  
Từ (1) thấy ngay 23 2 7 0,t t t− + > ∀ . Chia từng vế của (2) cho (1): 
2
2
2
6 3 8 531 26 5 0 1,
3 2 2 7 31
t t
t t t t
t t
+ −
= − ⇔ + − = ⇔ = − =
− +
***Chú ý: Có thể giải hệ ñã cho theo cách sau: 
Hệ ñã cho tương ñương với : 
2 2
2 2
24 16 16 56
7 42 21 56
x xy y
x xy y
 − + =

+ − = −
 ⇔ 
2 2
2 2
24 16 16 56 (1)
31 26 5 0 (2)
x xy y
x xy y
 − + =

+ − =
Ta giải (2) 
2 231 26 5 0x xy y+ − = 
 ⇔ ( )( )31 5 0x y x y− + = 
 ⇔ 
3131 5 0 
50 
x
x y y
x y y x

− = = ⇔ + =
= −
 thay vào (1) 
 * Bài tập luyện tập. 
Bài 1. Giải hệ phương trình 
2 2
3 3
30
35
x y xy
x y
 + =

+ =
 (ðHQG Mỏ - ðC -A98) 
Bài 2. Cho hệ phương trình 
2 2
2
4
3 4
x xy y k
y xy
 − + =

− =
 1) Giải hệ khi k = 1, k = 4. 
 2) Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi k ≠ 4. 
Bài 3. Cho hệ phương trình 
2 2
2 2
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y m
 + + =

+ + = +
 1) Giải hệ khi m = 0. 
 2) Tìm m ñể hệ có nghiệm. 
 (ðHQG Tp Hồ Chí Minh) 
Bài 4. Cho hệ phương trình 
3 3 2
3 2 2
1 ( 1)
2
1
x ay a
x ax y xy

− = +

 + + =
 Tìm tất cả các giá trị của a sao cho hệ có nghiệm và mọi nghiệm (x; y) của 
hệ ñều thoả x + y = 0. 
HD. Từ dấu hiệu cần x + y = 0 ⇔ y = - x thay vào hệ ta có: 
3 2
2
2
3
1 1 0 1( 1) ( 1) 1 1 ( 1)2 1 12 2 ( 1) 02 ) 1 2 2
a
aa x a a
a
a a a a
a x a
+ = 
= −+ = + + ⇒ = + ⇔ ⇔ 
− = + − =
− =
−
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
25
0 1a a⇔ = ∨ = ± 
 Xét từng trường hợp, xem giá trị a nào thoả ñiều kiện bài toán. 
 6. Các hệ khác. 
VD1. Cho hệ phương trình 
3 3 ( )
1
x y m x y
x y
 − = −

+ = −
 1) Giải hệ khi m = 3. 
 2) Tìm m ñể hệ có 3 nghiệm (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) sao cho x1, x2, x3 lập 
thành một cấp số cộng trong ñó 1 3,x x lớn hơn 1. 
HD. 
3 3 2 2
2 2
0
1( ) ( )( ) 0
1 1 0
1
x y
x yx y m x y x y x xy y m
x y x y x xy y m
x y
 − =

+ = − − = − − + + − = ⇔ ⇔  + = − + = −  + + − =  
+ = −
2 2 2
1 1
2 2
1 1
( 1) ( 1) 0 1 0 (*)
x y x y
y x y x
x x x x m x x m
 
= = − = = − 
 ⇔ ⇔
= − − = − −  
  + − − + − − − = + + − =  
Khi m > 3
4
 phương trình (*) có hai nghiệm và trung bìn