Phương trình mũ và bất phương trình mũ - Trần Khắc Hải

x = 13 	8. ĐS
9. 	10. 	
	11. ĐS 	12.ĐS
13. ĐS x = -1	14. ĐS x = 5
15. ĐS .	16. ĐS x = 3
17. ĐS x = 2	18. 3x-1 +3x +3x+1 = 9477 HD9477 = 13.36ĐSx = 7
19. ĐS 	20. ĐS 
21. 	22. ĐS x = 
23. ĐS x =	24. ĐS x = 0
25. ĐS 	26. ĐS 
27. ĐS 	28. ĐS x = 3
29. ĐS 
30. HD Biến đổi về tích
31. HD 
32. 	HD 
33.	 HD 
34. 
2.	GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ.
a.	PHƯƠNG PHÁP
	Cho phương trình f(x) = 0 (1) (Trong đó f(x) là biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).Nếu phương trình sau khi biến đổi có dạng với ta lấy logarit cơ số a hoặc cơ số b hai vế của phương trình (*) khi đó phương trình (*) trở thành:
b.	Các ví dụ
Giải các phương trình sau
1.	 ; ĐK x PT
2.	 .
3.	.
4.	 ĐK: x 
PT
5.	 .
6.	 ĐK: x 
	PT
7.	 
8.	 ĐK x PT.
9.	 
10.: ĐK x > 0 PT 
c.	BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1.	 ĐS 2.	2. ĐS 
3.	6x + 8 = 2x + 1 + 4.3x HD ;	4. ĐS
5.	 ĐS 	6. 3x - 1 = 4. 
7.	2x + 3 + 3x - 1 = 2x -1 + 3x . 	8. 
9.	. 	
3.	GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ
a.	TH1. Nếu phương trình có dạng :
	- Phương pháp.
	Đặt t = ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành Giải phương trình tìm t suy ra x.
	- Ví dụ 
	Giải các phương trình sau
	1. 
	Giải: . Đặt 
	Ta được 
	2. 
	Giải: PT 
	Đặt ĐK t > 0 PT trở thành 
	Khi t = 4
	3. 
	Giải:
	PT 
	Đặt PT trở thành 
	4. Cho phương trình .Tìm m để PT sau có nghiệm
	Giải:
	PT 
	Đặt PT trở thành 
	ĐK -1≤ x ≤1
	Ta tìm a để PT có nghiệm t thỏa 
	Ta có 
	Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số với đường thẳng d: y = m trên đoạn .
	Xét hàm số ta có ; 
t - 3 9 + 
f/(t) + 0 - - 0 + + 
26
38
f(t)
	Bảng biến thiên
PT có nghiệm khi 
5. 
6. Đặt: > 0
Khi x ³ 1 PT trở thành Û Û Þ Û x = 1
Khi x < 1 PT trở thành Û t = 1 Þ Û x = 1 (loại).
Vậy nghiệm x = 1.
7.	
Đặt t = > 0 PT trở thành 
Khi t ³ 1 PT Û 0t + 1 –1 = 0 đúng "t ³ 1 Û "x ³ -1
Khi t 0 Þ x = 2. Vậy nghiệm: 
8. 
Đặt PT trở thành t2 + 10t -144 = 0
9. .
Đặt , t > 0 PT trở thành: .
10. 
- Bài tập
1. .ĐS	2. ĐS x = - 5
3. ĐS x =0	4. 4x - 6.2x + 8 = 0
5. ĐS 	6. ĐS 
7. 8x - 7.4x + 7.2x + 1 - 8 = 0	8. 
9. 	10. 3x + 33 - x = 12
11. ĐS 	12. 
13. 	14. . HD	
15. 	16.	
17. 	18. HD 	
19.	 Tìm giá trị m phương trình có nghiệm.
20.	9x - 2.3x + 2 = m Tìm giá trị m phương trình có nghiệm x Î (- 1;2).
21.	4x - 2x + 3 + 3 = m Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm x Î (1; 3)
22.	 Tìm giá trị m phương trình có nghiệm.
23.	9x - 6.3x + 5 = m Tìm giá trị m phương trình có đúng 1 nghiệm x Î [0; + ¥).
24.	 Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm.
25.	4x - 2(m + 1).2x + 3m - 8 = 0 Tìm giá trị m phương trình có hai nghiệm trái dấu.
26.	Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm.
b.	TH2. Nếu phương trình có dạng :
	- Phương pháp.
	Chia hai vế của phương trình cho khi đó phương trình .
	Đặt t = ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành Giải phương trình tìm t suy ra x.
	- Ví dụ .Giải các phương trình sau
	1. 
	Giải
	PT
	Đặt , t>0 ta có PT trở thành
	Do ĐK ta chỉ nhận Û x =1.
	2. 
	Giải: 
	PTÛ Û Û 
	Đặt ĐK t > 0 PT trở thành 2t2 + t – 1 = 0 chọn Þ ÛÛ Û . Vậy nghiệm .
	- Bài tập
	Giải các phương trình sau
	1. .ĐS x = 0.	2. . ĐS x = 0.
3. 	4. 
5. 12.9x - 35.6x + 18.4x = 0.	6. .
7. 	8. 
9. 	10. ĐS x = -2
11. ĐS x = - 1	12. 
c. TH3.Nếu phương trình có dạng :trong đó .
	- Phương pháp
	Đặt ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành Giải phương trình tìm t suy ra x.
	- Ví dụ. Giải các phương trình sau
	1. 
	Giải 
	Đặt ta được PT 
2. 
Giải
Đặt ĐK t > 0 PT trở thành Û t2 – 14t + 1 = 0 , Û Û x = ± 2
3. 
Giải. Đặt ĐK t > 0 PT trở thành t2 – 4t + 1 = 0 Û Þ x = ± 2.
- Bài tập
Giải các phương trình sau
1. 	2. .
3. 	4. 
5.	6. 
7. 	8. 
9.	10. 
11. 	 Tìm giá trị m phương trình có nghiệm
4.	ĐOÁN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH NGHIỆM LÀ DUY NHẤT
a. Phương pháp
- Nếu phương trình cần giải có dạng và ta có thể đoán ra được một nghiệm 
- Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ với đồ thị (C/) của hàm số mủ 
 - Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ với đồ thị (C/) của hàm số .
- Từ tính chất 
Nếu hàm số là một hàm số đồng biến và hàm số là hàm số nghịch biến hoặc ngược lại thì (C) và (C/) cắt nhau tại duy nhất một điểm.
- Nên phương trình (1) hay (2) có duy nhất nghiệm.
- Chú ý:
Nếu là bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình có có nghiệm khi đó dựa vào tính chất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của hàm số  y = f(x) và đường thẳng d: y = g(m) cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
+ B1: Lập bảng biến thiên của hàm số  .
+ B2: Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng d: y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x) .
b.	Ví dụ .Giải các phương trình sau
	1.	
	Phương trình (1) có một nghiệm x = 2
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ 
với đường thẳng d:y = 1.
Mà hàm số nghịch biến trên R nên (C) cắt d tại duy nhất một điểm vây phương 
trình có duy nhất nghiệm x = 2.
2. 
Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = 2.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ với đồ thị (C/) của hàm số mủ .
Mà hàm số đồng biến trên R, hàm số nghịch biến trên R nên (C) cắt (C/) tại duy nhất một điểm vây phương trình có duy nhất nghiệm x = 2.
3. (1)
Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = -1.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ với đường thẳng d:y = x + 4 
Mà hàm số nghịch biến trên R, hàm số y = x + 4 đồng biến trên R nên (C) cắt d tại duy nhất một điểm vây phương trình có duy nhất nghiệm x = -1.
4. 
Giải:
PT 
Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = 1.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ với đường thẳng d :y = 1- x .
Mà hàm số đồng biến trên R, hàm số nghịch biến trên R nên dcắt (C) tại duy nhất một điểm vây phương trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1(b)
Từ (a) và (b) ta có nghiệm của phương trình là 
5. 
Giải:
PT
Giải PT (1)
Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = 1.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ với đường thẳng d:y = 
Mà hàm số nghịch biến trên R, hàm số y = đồng biến trên R nên (C) cắt d tại duy nhất một điểm vây phương trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1(b)
Từ (a) và (b) ta có nghiệm của phương trình là 
6.	 (1)với x > 0
Giải 
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số với đồ thị (C/) của hàm số mủ 
- Xét hàm số 
 y 
 x 0 1 
 y/ - 0 + 
3
Bảng biến thiên:
- Xét hàm số 
 y 
 x 0 1 
 y/ + 0 -
1
0
3
Bảng biến thiên:
Dựa vào hai bảng biến thiên ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình
Khi thì nên phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có duy nhất nghiệm x = 1
c.	BÀI TẬP
	1.	4x + (x - 8).2x + 12 – 2x = 0 	2. (x + 4).9x - (x + 5).3x + 1 = 0 
3.	3x + 5x = 6x + 2	4. 3x + 1 = 10 - x.
5.	6. 
7.	8. 
9.	10. 	
§6:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I.	CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ
	TC1 : Nếu 0 < a < b thì 
	TC2 : Nếu a > 1 thì 
	TC3 : Nếu 0 < a < 1 thì 
II.	CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
1.	ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 
a.	PHƯƠNG PHÁP
Cho bất phương trình (1) (Trong đó h(x) và p(x) là các biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).
TH1 :Biến đổi phương trình (1) hoặc 
TH2 :Biến đổi phương trình (1).
b. 	ví dụ.Giải các bất phương trình sau
	1. 
	2. 
	3. ĐK: x2 – 2x ³ 0 Û x £ 0 Ú x ³ 2. Bpt 
	- Nếu x £ 0 BPT Û Û PTVN.
	- Nếu x ³ 2 BPT Û đúng "x ³ 2. Vậy nghiệm x ³ 2.
	4. Û Û Û x > 3.
	5. Û Û x > 0
	6. Û Û 
	- Nếu 1 – x 1 BPT đúng với "x > 1.
	- Nếu 1 – x = 0 Û x = 1 BPT Û 0 > 0 sai.
	- Nếu 1 – x > 0 Û x 1 – x Û 1 + x + x2 < 1 Û -1 < x < 0 .
	Vậy: Nghiệm S = (-1 ; 0) È (1 ; +¥).
	7. 
Giải BPT Û Û Û (I) hoặc (II) 
(I)Û . (II) Þ 0 < x < 2.
	8. Û Û Û (I) hoặc (II)
(I)Û Û (a)
(II)Û Û-1 < x < (b)
Từ (a), (b) ta có tập hợp nghiệm của bất phương trình là D = 
	9. 
	Giải :BPT Û Û Û (I) hoặc (II) (I) . (II) vônghiệm. Vậy tập hợp nghiệm là 
Chú ý: 
10. 
Giải .Đk 
BPT 
Kết hợp Đk ta có tập hợp nghiệm 
c.	BÀI TẬP
Giải các bất phương trình mũ sau 
1.	 	2.	 
3.	4.	 
5.	6. 	 
7.	8.	 
9.	10.	
11.	12.	
13.	14.	
15.	16.	
17.	18.	
19.	20.	
21.	22.	
23.	24.	
25.	
26.	
27.	HD 
3.	GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ
a.	TH1. Nếu bất phương trình có dạng :
	- Phương pháp.
	Đặt t = ĐK t > 0 khi đó bất phương trình trở thành Giải bất phương trình tìm t suy ra x.
- Ví dụ. Giải các bất phương trình sau
	1. 
	Giải:BPT Û Đặt ĐK t > 0
Bất PT trở thành t2 – 8t – 128 ³ 0 (t + 8)(t – 16) ³ 0 Û t ³ 16 Û Û 
2. 
Giải:	BPT Û. Đặt 
Bất PT trở thành Û -3 £ t £ 4 0 £ t £ 4 Û Û 
3. 
Giải: ĐK x + 4 
BPT 
Đặt t = với t > 0. 
BPT trở thành . Vậy x > 5 là tập hợp nghiệm của bất phương trình.
4. 
Giải:BPT 
Đặt ta có t2-2t-3≤0 Û -1≤ t ≤ 3
5. 
Giải:Đặt t = 2x với t > 0 ta có BPT trở thành
- Khi t =1 thỏa BPT
- Khi t >1 BPT 
- Khi t <1 BPT (1) 
Hoặc (2)
- Kết hợp các trường hợp và điều kiện t >0 ta có 
6. Định m để bất PT sau có nghiệm (1)
Giải:
Đặt . 
Bất PT trở thành: t2 – mt + m + 3 £ 0 
hoặc 
Xét hàm số 
Ta có 
- Trên khoảng (0, 1) ta có 
 y 
 t 0 1 
 y/ - - 0
-3
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không tồn tại giá trị m để thoả mãn bất phương trình (1) 
 t 1 3 
- Trên khoảng (1, ) ta có 
 f(t)/ - 0 +
Bảng biến thiên:
 y 
6
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị của là m ³ 6 thoả mãn bất phương trình (2) 
Vậy m ³ 6 thì BPT có nghiệm .
	- Bài tập
	Giải các bất phương trình sau
	1.	2. 
	3.	4. 
	5.	6. 
7. 	8. 	
9. 	10. 
	11.	12. 
	13.	14. 
b.	TH2. Nếu bất phương trình có dạng :
	- Phương pháp.
	Do nên chia hai vế của bất phương trình cho khi đó bất phương trình .
	Đặt t = ĐK t > 0 khi đó bất phương trình trở thành Giải bất phương trình tìm t suy ra x.
	- Ví dụ. Giải bất phương trình sau 
	Giải: 
	BPT . Đặt với t > 0 
	BPT trở thành 3t2 + 2t – 1 ³ 0 	
	- Bài tập. Giải các bất phương trình sau