Phương trình lượng giác - Nguyễn Văn Xá - THPT Yên Phong số 2

Nguyễn Văn Xá - THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh 
Chuyên ñề phương trình lượng giác 
1 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
1. Phương trình lượng giác cơ bản 
u v k2 u v k2
1)sin u sin v (k ). 2)cos u cos v (k ).
u v k2 u v k2
u v k
u v k
3) tan u tan v (k,n ). 4)cot u cot vv (k,n ).
u nu n
2
= + pi = + pi 
= ⇔ ∈ = ⇔ ∈ 
= pi − + pi = − + pi 
= + pi
= + pi
= ⇔ ∈ = ⇔ ∈ pi
≠ pi≠ + pi 
ℤ ℤ
ℤ ℤ
Các trường hợp ñặc biệt 
1)sin u 0 u k (k ). 2)sin u 1 u k2 (k ). 
2
3)sin u 1 u k2 (k ). 4)cos u 0 u k (k ). 
2 2
5)cos u 1 u k2 (k ). 6)cos u 1
pi
= ⇔ = pi ∈ = ⇔ = + pi ∈
pi pi
= − ⇔ = − + pi ∈ = ⇔ = + pi ∈
= ⇔ = pi ∈ = − ⇔
ℤ ℤ
ℤ ℤ
ℤ u k2 (k ). = pi + pi ∈ℤ
2. Phương trình bậc nhất với một hay nhiều hàm số lượng giác 
a) Phương trình lượng giác bậc nhất với một hàm số lượng giác 
– Dạng: a.X + b = 0, với X là sinf(x), hoặc cosf(x), hoặc tanf(x), hoặc cotf(x). 
– Phương pháp: ðưa về phương trình lượng giác cơ bản. 
b) Phương trình lượng giác bậc nhất với hai hàm số lượng giác 
– Phương trình bậc nhất với sin và cosin: 
+ Dạng: a.sinu + b.cosu = c. 
+ ðiều kiện ñể phương trình có nghiệm: a2 + b2 2c .≥ 
+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 ta ñưa về phương trình cơ bản. 
+ Xét a 0,b 0≠ ≠ ta có thể giải theo các cách sau 
Cách 1 Chia hai vế phương trình cho 2 2a b+ và ñặt 
2 2 2 2
b a
sin ,cos ,
a b a b
α = α =
+ +
 ta 
ñưa phương trình về dạng cơ bản 
2 2
c
sin(u ) .
a b
+ α =
+
Cách 2 Chia hai vế phương trình cho a và ñặt btan .
a
α = 
Cách 3 Xét u k2 .= pi + pi Với u k2≠ pi + pi ta ñặt ut tan
2
= , ñưa phương trình ñã cho về dạng 
2(b c)t 2at c b 0.+ − + − = Giải ra tìm t, rồi tìm ra u, từ ñó tìm nghiệm của phương trình. 
Chú ý Với phương trình a.sin u b.cos u c.sin v d.cos v+ = + mà 2 2 2 2a b c d 0+ = + > ta chia 
hai vế của phương trình cho 2 2a b+ và ñưa về phương trình cơ bản. Với phương trình dạng 
a.sinu + b.cosu = 0 ta có thể ñưa về phương trình cơ bản của tanu hoặc cotu. 
– Phương trình bậc nhất với tang và cotang: 
+ Dạng: a.tanu + b.cotu + c = 0. 
+ Phương pháp: ñặt t = tanu. 
– Các phương trình dạng a.X + b.Y = 0 với X là sinu hoặc cosu, còn Y là tanu hoặc cotu, 
ta thường ñưa về phương trình tích, hoặc phương trình bậc hai ñối với sin hoặc cosin. 
3. Phương trình bậc hai với một hay nhiều hàm số lượng giác 
Nguyễn Văn Xá - THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh 
Chuyên ñề phương trình lượng giác 
2 
a) Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác 
– Dạng: a.X2 + b.X + c = 0, với X là sin hoặc cosin hoặc tang hoặc cotang. 
– Phương pháp: ðặt t = X, nếu X là sin hoặc cosin thì có ñiều kiện 1 t 1.− ≤ ≤ 
b) Phương trình bậc hai với sin và cosin 
– Phương trình thuần nhất bậc hai ñối với sin và cosin 
+ Dạng 2 2a.sin u b.sin u.cos u c.cos u d.+ + = 
+ Phương trình này còn ñược gọi là phương trình ñẳng cấp bậc hai với sin và cosin. 
+ Phương pháp giải: 
Cách 1 Tìm cách ñưa về phương trình tích. 
Cách 2 Dùng công thức hạ bậc ñể ñưa về phương trình bậc nhất ñối với sin và cosin. 
Cách 3 Xét cosu = 0. Xét cos u 0≠ , chia hai về phương trình cho cos2u và ñặt t = tanu. 
Chú ý Với phương trình a.sin3u + b.sin2u.cosu + c.sinu.cos2u + d.cos3u + e.sinu + f.cosu = 0 ta 
làm tương tự như cách 3 nói trên. 
– Phương trình ñối xứng ñối với sin và cosin có dạng a(sinu + cosu) + b.sinu.cosu +c = 0. 
Ta ñặt 
2t 1
t sin u cos u t 2, sin u.cos u .
2
−
= + ⇒ ≤ = 
– Phương trình dạng a(sinu – cosu) + b.sinu.cosu + c = 0, ta thường ñặt 
t sin u cos u= −
21 t
t 2, sin u.cos u .
2
−
⇒ ≤ = 
4. Các phương trình lượng giác khác 
• Ta có thể biến ñổi phương trình lượng giác về dạng phương trình tích. Muốn vậy cần nắm 
vững các công thức lượng giác, các hằng ñẳng thức, các phương pháp ñặt nhân tử chung  
Chúng ta lưu ý một số kĩ thuật sau: 
 ☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa sin2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x  ta có thể 
ñặt nhân tử chung là sinx. 
 ☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa sin2x, cos3x, cotx, tan2x, cot3x  ta có thể 
ñặt nhân tử chung là cosx. 
 ☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa 2 2 2 2x xcos ,cot ,sin x, tan x...
2 2
ta có thể ñặt 
nhân tử chung là 1 + cosx. 
 ☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa 2 2 2 2x xsin , tan ,sin x, tan x...
2 2
ta có thể ñặt 
nhân tử chung là 1 – cosx. 
 ☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa 2 2 2 2x xcos x,cot x,sin ( ),cos ( )...
2 4 4 2
pi pi
+ − ta có 
thể ñặt nhân tử chung là 1 + sinx. 
 ☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa 2 2 2 2x xcos x,cot x,sin ( ),cos ( )...
4 2 2 4
pi pi
− + ta có 
thể ñặt nhân tử chung là 1 – sinx. 
 ☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa cos2x, cot2x, 1 + sin2x, 1 + tanx, 1 + cotx, 
tanx + cotx  ta có thể ñặt nhân tử chung là sinx + cosx. 
 ☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa cos2x, cot2x, 1 – sin2x, 1 – tanx, 1 – cotx, 
tanx – cotx  ta có thể ñặt nhân tử chung là sinx – cosx. 
• Ta có thể dùng các công thức hạ bậc, nhân ñôi, biến tổng thành tích, biến tích thành tổng  
ñể biến ñổi các phương trình lượng giác về dạng quen thuộc ñã biết cách giải. Có thể dùng bất 
Nguyễn Văn Xá - THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh 
Chuyên ñề phương trình lượng giác 
3 
ñẳng thức ñể giải phương trình lượng giác. Nhiều phương trình lượng giác cần chú ý ñến ñiều 
kiện xác ñịnh. 
5. Bài tập thực hành 
2 21)sin (x ) cos (3x ).
4 2
pi pi
− = + 
x2) tan(2x ) tan( ) 1.
2 2
pi
+ pi − = 2
13)sin 2x sin x .
2
+ = 
3 2 2 2 44)8sin x cos x 3sin x 2sin x cos x cos x 1.− + + = 5)sin 6x cos7x sin8x cos5x.= 
6)2sin x cos 2x 1 2cos 2x sin x 0.− + − = 2 2 2 27)sin x sin 2x sin 3x sin 4x.+ = + 
8) 2sin x 1 2 3sin x.− = − 9)2x sin x 0.− pi = 3 310)cos x sin x cos 2x.+ = 
5 111)sin( cos x) .
3 2
pi
pi = 
x 3x x 3x 112)cos x cos cos sin x sin sin .
2 2 2 2 2
− = 13) tan 2x 3tan x.= 
14)2cot 2x 3cot 3x tan 2x.− = 215) tan 2x cot x 8cos x.+ = 216)2cos 4x sin10x 1.+ = 
2 2 24x 3x 5x 3x17)cos sin 2sin cos .
3 2 6 2
+ + = 4 618)cos 2x 4sin x 8cos x.+ = 
4 4 3 cos6x19)sin x cos x .
4
−
+ = 20)sin 3x cos 2x 2 0.+ + = 2 221)sin 2x 1 cos 3x.+ = 
2 222)(cos 2x cos 4x) 4 cos 3x.− = + 5 823)2sin x 3cos x 5.+ = 124) 3sin x cos x .
cos x
+ = 
4 4
10 10
2 2 2
sin x cos x25)sin x cos x .
cos 2x 2sin x cos x
+
+ =
+
 26)sin x 3 cos x 2 sin 4x.− = 
27)cos 2x 3sin 3x 3 sin 2x cos3x.+ = − 28)sin x sin 2x sin 3x sin 4x 0.+ + + = 
2 2 2 229)sin x sin 2x sin 3x sin 4x 2.+ + + = cos x cos5x30) 8sin x sin 3x.
cos3x cos x
− = 
31) sin x cos x sin x cos x 2.− + + = x32) tan cos x sin 2x 0.
2
+ = 
3 1 3 133) 1.
sin x cos x
− +
+ = 
2 334)sin x sin x cos x 0.+ + = 1 tan x35) 1 sin 2x.
1 tan x
+
= +
−
2
2
x2cos
236) tan x .
1 sin x
=
−
37)sin6x sin8x sin16x sin18x 16sin3x 0.+ + + + =
38)3(cot x cos x) 5(tan x sin x) 2.− − − = 
339)2cos13x 3(cos3x cos5x) 8cos x cos 4x.+ + = 240) sin x sin x sin x cos x 1.+ + + = 
41)sin x sin 2x 3(cos x cos 2x).+ = + 42)2sin x cos 2x sin 2x cos 2x sin 4x cos x.+ = 
23 sin x43) tan( x) 2.
2 1 cos x
pi
− + =
+
 44)sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 0.+ + − − = 
4 4sin x cos x cot 2x 145) .
5sin 2x 2 8sin 2x
+
= − 
2
4
4
(2 sin 2x)sin 3x46) tan x 1 .
cos x
−
+ = 
2
147) sin x.
8cos x
= 48)3 tan x(tan x 2sin x) 6cos x 0.− + + = 2cos 4x49)cot x tan x .
sin 2x
= + 
3 3 2 3 250)cos3x cos x sin 3x sin x .
8
+
− = 51)2sin(2x ) 4sin x 1 0.
6
pi
− + + = 
3 3 252)cos x sin x 2sin x 1.+ + = 3 253)4sin x 4sin x 3sin 2x 6cos x 0.+ + + = 
2 2 254)(2sin x 1) tan 2x 3(2cos x 1) 0.− + − = 55)cos 2x (1 2cos x)(sin x cos x) 0.+ + − =