Phương trình lượng giác - Kiến thức liên quan cần nhớ

+ − = 
 
12. ðHMỏ 99. 1 2 2 sintgx x+ = 
13. 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x+ + + + = 
14. ðHQGHNội 97A. cos sin cos sin 1x x x x+ + = 
15. sin cos sin 2 1x x x+ + = 
16. CðSPPYên 96B: sin cos 4sin 2 1x x x− + = 
17. ðH 89. cos sin 2sin 2 1x x x− + = 
18. ðHNNgữ HN 97. cot sin cosgx tgx x x− = + 
19. ðHY Hnội 2001: 3 3cos sin cos 2x x x+ = 
20. ðHQG HCM 2000 3 3cos sin 1x x− = − 
ðHCSND 2000 3 3cos sin 2sin 2 sin cosx x x x x+ = + + 
Dạng 5 : Phương trình bậc nhất ñối với sinx,cosx. Dạng : asinx+bcosx=c 
 PP Giải : 
Chuyên ñề phương trinh lượng giác 8 
Cách 1: asinx+bcosx=c . ðặt cosx=
2 2
a
a b+
 ; sinx= 
2 2
b
a b+
2 2 sin( )a b x cα⇒ + + = 
Cách 2: sin cosba x x c
a
 
+ =  
. ðặt [ ]tan sin cos .tanb a x x c
a
α α= ⇒ + = sin( ) coscx
a
α α⇔ + = 
Cách 3: ðặt tan
2
x
t = ta có 
2
2 2
2 1
sin ;cos
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +
2( ) 2 0b c t at b c⇒ + − − + = 
Chú ý : +) ðặc biệt : 
 a. sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )
3 6
x x x x
pi pi
+ = + = − b. sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x x x
pi pi± = ± = ∓ 
 c. sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )
3 6
x x x x
pi pi
− = − = − + 
 +) ðiều kiện Pt có nghiệm : 2 2 2a b c+ ≥ 
Ví dụ 1:Giải các pt sau: 
+ =
+ =
+ =
1) 3 sin 4 cos 5 
2) sin2 3 cos2 1
3)2 sin 3 5 cos 3 5
x x
x x
x x
+ =
= −
= −
4)3cos 3 sin 1
5) sin 7 - cos2 3(sin2 cos7 )
6)sin 5 2cos2 3 cos5
x x
x x x x
x x x
Ví dụ 2: Cho pt: + =sin cos 1x m x 
1)Giải phương trình khi = − 3m 
2)Tìm m ñể phương trình có nghiệm. 
Ví dụ 3:Cho phương trình : + = +( - 1)cos 2 sin 3m x x m 
 1)Giải pt khi = −2m 
 2)Tìm m ñể phương trình có nghiệm. 
Ví dụ 4:Cho hai phương trình : + =sin cosa x b x c và + =cot tan 2a x b x c Chứng minh 
rằng trong hai phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm. 
Ví dụ 5: Tìm gtln và gtnn của các hàm sau 
1) 3sin 4cos 5
sin x+2cos 12) y=
sin cos 2
y x x
x
x x
= + +
+
+ +
23) (2sin 3cos ) 2(2sin 3cos ) 4
2 cos4)
sin cos 2
y x x x x
xy
x x
= + + + +
+
=
+ −
Chú ý: Nếu pt: asinx+bcosx=c có 2no x1,x2 
Thì tồn tại k1,k2: β α piβ α pi
 = + +

= − +
1 1
2 2
x k 2
x k 2
⇒ 
β pi
α pi
 + = + +

− = + −
1 2 1 2
1 2 1 2
x x 2 (k k )2
x x 2 (k k )2
β
α

−
+ = =
 +

− −
− = =
 +
2 2
1 2 2 2
2 2 2
1 2 2 2
a b
cos(x x ) cos 2
a b
2c a b
cos(x x ) cos 2
a b
27)Tìm m ñể pt sau có 2 no x1,x2 Thoả mãn: x x
1 2 3
pi
− = 
 (m+1)cosx+(m-1)sinx=2m+3 
Tìm gtln và gtnn của các hàm sau 
sin x+2cosx 129)y 3sin x 4cosx 5; 30) y=
sin x cosx 2
231)y (2sinx 3cosx) 2(2sinx 3cosx) 4
2 cosx32)y
sinx cosx 2
+
= + +
+ +
= + + + +
+
=
+ −
Chuyên ñề phương trinh lượng giác 9 
33) Tìm k ñể gtnn của hàm số ksinx 1y
cosx 2
+
=
+
 nhỏ hơn -1 
1. 3sin 4cos 5x x+ = 
2. 2sin cos 2x x− = 
3. 3 cos sin 1x x+ = 
4. ðHHuế 99. 3 sin 2 cos 2 2x x+ = 
5. ðHKTế 97. cos7 3 sin 7 2x x− = − 
6. 2 1sin 2 sin
2
x x+ = 
7. 25cos 12sin 2 13x x− = 
8. 2cos 2 sin 2 1 0x x+ + = 
9. ðHGTVT 00. ( )2 2 sin cos cos 3 cos 2x x x x+ = + 
10. ðHMT 96. cos7 .cos5 3 sin 2 1 sin 7 sin 5x x x x x− = − 
11. ðHBPhòng 97. sin 2 sin 1
4
x x
pi 
+ − = 
 
12. 2sin cos 1 2
4
x x
pi 
+ − = + 
 
giải phương trình : 
1/ 2sin15x+ 3 cos5x+sin5x=k với k=0 và k=4 
2/ a : 13 sin cos
cos
x x
x
+ = b: 64sin 3cos 6
4sin 3cos 1
x x
x x
+ + =
+ +
 c: 
13 sin cos 3
3 sin cos 1
x x
x x
+ = +
+ +
3/ cos 7 3 sin 7 2 0x x− + = *tìm nghiệm 2 6( ; )
5 7
x
pi pi
∈ 
4/( cos2x- 3 sin2x)- 3 sinx-cosx+4=0 5/ 21 cos cos 2 cos3 2 (3 3 sin )2cos cos 1 3
x x x
x
x x
+ + +
= −
+ −
6/ 2
cos 2sin .cos 3
2cos sin 1
x x x
x x
−
=
+ −
Dạng 6 :Phương trình chứa căn,trị tuyệt ñối . 
 PP Giải : 
Khử căn và dấu trị tuyệt ñối : bình phương(khi hai vế không âm),ñặt ẩn phụ,sử dụng tính chất 
biến ñổi ñưa về phương trình thường gặp. 
Ví dụ 1: Giải phương trình : 2 2sinx 2 sin x sinx 2 sin x 3+ − + − = (1) 
Giải : C1: Bình phương 
( ) ( )
( ) ( )
2 4 3
2 2
1 2 sin x sinx 1 3 sinx sin x 2sin x 10sinx 7 0
sinx 1 sin x 4sinx 7 0 sinx 1 2 ,
2
x k kpi pi
⇔ − + = − ⇔ + − + =
⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = + ∈Z
C2 : ðặt ẩn phụ hai hướng : + ñặt 2sinx; 2 sin x 1u v u v= = − ⇒ = = 
+ ðặt 2sinx 2 sin x : 2t DK t= + − ≤ 
C3 : sử dụng BðT VT≤ 3 
Ví dụ 2: tìm nghiệm ( )0;2x pi∈ của phương trình : sin3 sinx sin 2 os2
1 os2
x
x c x
c x
−
= +
−
 (2) 
Giải : ðK : os2 1 2 2c x x k x kpi pi≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ 
Chuyên ñề phương trinh lượng giác 10
( ) 2 os2 sinx2 2 os 2
42 sinx
c x
c x
pi 
⇔ = − 
 
Tại x pi= không tmñk do ñó không là nghiệm 
Nếu ( )0;x pi∈ : ( ) 2 os2 sinx2 2 os 2 os2 os 2 ,
4 4 16 22 sinx
c x
c x c x c x x k kpi pi pi pi   ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = + ∈   
   
Z 
( ) 0 / 161 150; 0 , ,
1 9 / 1616 2 8 8
k x
x k k k k
k x
pipi pi
pi pi
pi
= = 
∈ ⇒ < + < ∈ ⇔ − < < ∈ ⇔ ⇒ 
= = 
Z Z 
Nếu ( );2x pi pi∈ : ( ) 2 os2 sinx 52 2 os 2 os2 os 2 ,
4 4 16 22 sinx
c x
c x c x c x x k kpi pi pi pi   ⇔ = − ⇔ = − − ⇔ = + ∈   
−    
Z 
( ) 2 21 / 165 11 27;2 2 , ,
3 29 / 1616 2 8 8
k x
x k k k k
k x
pipi pi
pi pi pi pi
pi
= = 
∈ ⇒ < + < ∈ ⇔ < < ∈ ⇔ ⇔ 
= = 
Z Z 
Kết luận : Nghiệm phương trình thỏa mãn ycbt là : 9 21 29; ; ;
16 16 16 16
x x x x
pi pi pi pi
= = = =
9/ 2sin 2sin 2 2sin 1x x x− + = − 
12/ 
2 4sin 2 4cos 2 1 0
2sin cos
x x
x x
+ −
= 13/ sin 1 cos 0x x+ + = 
15/
2 44sin 2 6sin 9 3cos 2 0
cos
x x x
x
+ − −
=
 16/ 2cosx- sin x =1 
3/ 5cos cos 2x x− +2sinx=0 
2
6
x kpi pi= − +
V. Phương trình chứa căn và GTTð : 
1. ðH Bách Khoa. 97: ( 1− +cos cosx x )cos2x = 1
2
sin4x ⇔ cos 2 0(1)
1 cos cos sin 2 (2)
x
x x x
=

− + =
Bạn tự giải tiếp (1). Còn (2) ⇔ cos ; sin
cos cos cos cos sin
x x
x x x x x
≥ ≥
− + + − =



0 2 0
1 2 22 2
⇔ 2 cos cosx x− 2 = - cos22x ⇔ cos22x = 0 (Theo trên).. KL: x = ± 
4
pi
 + 2kpi. 
2. 108.II.2: 4sinx = 1 1+ + −cos cos
cos
x x
x
 ⇔ 4sinxcosx = 2 (|cos x
2
| + |sin x
2
|) (1) 
Ta thấy: Nếu x0 là nghiệm của (1) thì x0 + pi cũng là nghiệm. Nên ta tìm nghiệm x ∈ [0, pi]. Lúc 
ñó: (1) ⇔ 4sinxcosx = 2 ( cos x
2
 + sin x
2
) ⇔ 2sin2x = 2sin( x
2
 + 
4
pi ) ⇔ x
x
=
=



pi
pi
6
3
6
 ⇒ 
x k
x k
= +
= +



pi
pi
pi
pi
6
3
6
3. CðSP Quảng Ninh (A, B). 97: 4 2− x (sin2pix + 3cospix) = 0. ðK: - 2 ≤ x ≤ 2. ⇔ x = ± 2 
Hoặc: 
 cospix(2sinpix + 3) = 0 ⇔ cos pix = 0 ⇔ pix = pi
2
 + kpi ⇔ x = 1
2
 + k. 
 Do ðK: x = - 3
2
; x = - 
1
2
; x = 
1
2
; x = 
3
2
; = - 2; x = 2. 
4. CðSP Quảng Ninh (D). 97: x 2 1− (cos22x - 2cos2x + 1) = 0. Bạn tự giải tiếp. 
5. HVQH Quốc tế. 97: sin x + sinx + sin2x + cosx = 1 ⇔ sin x + sinx + cosx - cos2x = 0 
 ðặt: sin x = U ≥ 0; cosx = V. Ta có U + U2 + V - V2 = 0 ⇔ U V
U V
= −
= −


 1
⇔ sin cos ( )
sin cos ( )
x x
x x
= −
= −



1
1 2
 (1) ⇔ cos
sin cos
x
x x
≤
=



0
2 ⇔ sinx = 
− +1 5
2
 ⇔ (Kết hợp ñiều kiện): x = pi - arcsin − +1 5
2
+ 2kpi 
Chuyên ñề phương trinh lượng giác 11
 (2) ⇔ sinx = 0 Và cosx = 1 ⇔ x = 2kpi. 
6. 37.II.1: 1 1− + +sin sinx x = 2cosx ⇔ cos
cos cos
x
x x
≥
+ =



0
2 2 42 2
⇔ cosx = 1 ⇔ x = 2kpi. 
7.II.2: Giải và biện luận: 1 1− + +sin sinx x = kcosx ⇔ k x
x
k
k
cos ( )
|cos | ( )
≥
=
+ +
≤




0 1
1 1 2
1 2
2
2
Từ (2) có: 1 2 2+ k ≤ k2 - 1 ⇔ k ≤ - 2 Hoặc k ≥ 2. 
+ Nếu k ≤ -2. Thì: cosx = - 1 1 2
2
2
+ + k
k
 ⇔ x = ± arccos(- 1 1 2 2
2
+ + k
k
) + 2kpi. 
+ Nếu k ≥ 2. Thì: cosx = 1 1 2
2
2
+ + k
k
 ⇔ x = ± arccos 1 1 2
2
2
+ + k
k
 + 2kpi. 
+ Nếu - 2 < k < 2. Thì: PT Vô nghiệm. 
8. 1 1− − +cos cosx x = 4sinxcosx ⇔ 
 ⇔ ( 1 1− + +cos cosx x )( 1 1− − +cos cosx x ) = 4sinxcosx( 1 1− + +cos cosx x ) 
 ⇔ - 2cosx = 4sinxcosx( 1 1− + +cos cosx x ) ⇔ cos
sin ( cos cos )
x
x x x
=
− + + = −



0
2 2 1 1
 + x = 2k1800.Hoặc sin
sin ( sin )
x
x x
<
+ =



0
4 2 2 12 2
⇔ 4sin2x(2 - 2sinx) = 1 ⇔ (2sinx - 1)(4sin2x - 
2sinx - 1) = 0 
 ⇔ sinx = 1 5
4
−
= sin (-180) ⇔ x k
x k
= − +
= +



18 360
198 360
0 0
0 0 
9. 64.II.1: cos sin sin cos2 1 2 2x x x x+ + = + ⇔ 
⇔ (cos sin )(cos sin ) (sin cos ) sin cosx x x x x x x x− + + + = +2 2 ; ðK: cosx+sinx ≥ 0; cos2x - sin2x ≥ 0. 
 + Nếu: cosx + sinx = 0 Thì PT có nghiệm tgx = - 1 ⇔ x = - 
4
pi
 + kpi . 
 + Nếu: cosx + sinx > 0 Thì ðK: cosx - sinx ≥ 0 và (1) ⇔ cos sin cos sinx x x x− + + = 2 ⇔ 
 ⇔ (cos sin )(cos sin )x x x x− + = 2 - cosx ⇔ cos2x + 4cosx - 5 = 0 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = 2kpi. 
10. 111.II.1: cos sin sin cos2 1 2 2x x x x+ − = − . Bạn tự giải tiếp. 
11. ðHSP II. 97: 5 2cos cosx x− + 2sinx = 0 ⇔ 5 2cos cosx x− =- 2sinx ⇔ sin
cos cos
x
x x
≤
+ − =



0
2 5 3 02
l2. ðH Văn hoá. 97: 1 2− cos
s in
x
x
 = 2 (cosx - 1
2
) 
13. ðH Quốc gia (A). 97: cosxsinx + |cosx + sinx| = 1. ðặt: |cosx + sinx| = t; ðK: 0 ≤ t ≤ 2 . 
 PT ⇔ 1
2
(t2 - 1) + t = 1 ⇔ t2 + 2t - 3 = 0 ⇔ t = 1 ⇔ cosxsinx = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = k pi
2
. 
14. 51.II.1: |cosx - sinx| + 4sin2x = 1. Bạn tự giải tiếp. 
c. ðH Công ñoàn. 96: |tgx| = cotgx + 1
cos x
. ðK: x ≠ k900 . 
 + Nếu tgx > 0 Thì ta có: sin2x = cos2x + sinx ⇔ 2sin2x - sinx - 1 = 0 ⇔ sinx = - 1
2
 ⇔ x = 
2100 + k3600 
 + Nếu tgx < 0 Thì có: - sin2x = cos2x + sinx ⇔ sinx = - 1 (Loại). 
15. 46.I.2: |cotgx| = tgx + 1
sin x
 . Bạn tự giải tiếp. 
 e. 57.III.2: Giải với k = 2, 3: 3cosx + 2|sinx| = k 
+ k = 2: 2|sinx| = 2 - 3cosx ⇔ cos
sin cos cos
x
x x x
≤
= − +



2
3
2 24 4 12 9
 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = pi
2
 + kpi. 
Chuyên ñề phương trinh lượng giác 12
+ k = 3: 2|sinx| = 3 - 3cosx ⇔ 4sin2x = 9 - 18cosx + 9cos2x ⇔ cos
cos
x =
=



1
5
13
 ⇔ 
x k
x k
=
= ± +



2
2513
pi
piarccos
16. 59.III: |cosx| + sin3x = 0:+ Nếu cosx ≥ 0 ⇒ cosx = cos(900 + 3x). + Nếu cosx ≤ 0 ⇒ cosx 
= cos(900 - 3x). f. 86.III.2: |cosx + 2sin2x - cos3x| = 1 + 2sinx - cos2x ⇔ |2sin2xsinx + 
2sin2x| = 2sin2x + 2sinx ⇔ |2