Phương trình lượng giác - Gv: Phan Đăng Phi

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
A:LÍ THUYẾT .
1/Phương trình lượng giác cơ bản .
Sin u = sin v Û ( k Ỵ Z )
Cos u = cos v Û u = ± v + k2p. ( k Ỵ Z )
tgu = tgv Û u = v + kp ( k Ỵ Z )
cotgu = cotgv Û u = v + kp ( k Ỵ Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
 sinx = 0 Û x = kp , sinx = 1 Û x = + k2p ,sinx = -1 Û x = - + k2p 
 cosx = 0 Û x = + k p , cosx = 1 Û x = k2p , cosx = -1 Û x = p + k2p .
 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . 
 Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1)hay asinx + bcosx = c (2).
 trong đó a2 + b2 ¹ 0 
 Cách 1: acosx + bsinx = c Û = c với
 asinx +bcosx = c Û = c với .
Cách 2 : 
 Xét phương trình với x = p + kp , k Ỵ Z
 Với x ¹ p + kp đặt t = tg ta được phương trình bậc hai theo t :
 (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 hay (c + b )t2 – 2at + c – b = 0.
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm Û a2 + b2 - c2 ³ 0 .
Bài tập :Giải các phương trình sau:
 1. , 2. 
 3. , 4. 
 5. , 6. 
 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
 Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tgx hay u(x) = cotgx.
 Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 .
Bài tập: Giải các phương trình sau:
 a. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , b. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 
 c. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x d. 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1
 e.sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x f. 
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
 a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 .
 Cách 1 : 
Xét phương trình khi x = + kp .
Với x ¹ + kp chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tgx.
Cách 2: Thay sin2x = (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) , 
 sinxcosx = sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
 b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao :
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tgx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp x = + kp ,kỴZ.
Bài tập :
2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 
 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 - 9)cos2x = 0
4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4
6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx.
6/ Phương trình đối xứng dạng : a( cosx + sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
 Đặt t = cosx + sinx , điều kiện khi đó sinxcosx = 
 Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t .
 Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 
 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện khi đó sinxcosx = 
Bài tập : giải các phương trình sau :
3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 
2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 
sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7/ Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường dùng :
 Các bước giải một phương trình lượng giác:
B1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của phương trình có nghĩa
B2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình đã cho về phương trình đã biết cách giải .
B3: Giải phương trình và chọn phù hợp.
B4: kết luận
a/ Phương pháp1: Biến đổi pt về phương trình đã biết cách giải 
b/ Phương pháp 2: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tich1 số .
c / Phương pháp3: Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn phụ. 
B. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI:
 I . PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 
Bài 1: Giải các phương trình sau :
 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,
 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7
Bài 2 : giải các phương trình sau :
 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 
 2/ ĐS : x = k3p , x= ± +k3p , x = ± +k3p 
 3/ 1+ sinsinx - cos sin2x = 2cos2 ( ) ĐS: sinx =1 v sin = 1 
 4/ 1+ 3tgx = 2sin 2x HD : đặt t = tgx , ĐS : x = - + k p 
 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = ĐS : x = k2p , x = ± +k2p 
 6/ sin2x(cotgx +tgx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 
 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 
 8/ cos 3x – cos 2x = 2
 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tgx HD :đặt t = tg 
 10/ sin2x+ 2tgx = 3
 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x 
 12/ tg3( x - ) = tgx - 1 ĐS : x = kp v x = + kp 
 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về phương trình bậc hai theo sinx.
 14/ sin2x + cos 2x + tgx = 2 ĐS : x = + kp 
 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 
 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
 Giải các phương trình sau :
 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 .
 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx.
 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x= + 
 5/ sin3(x - ) = sinx ĐS : x = +kp 
 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ĐS :x = ± + kp v x= + 
 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 .
 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
 III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG .
 Giải các phương trình sau :
 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 
 3/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
 5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ 
 7/ tgx + tg2x + tg3x + cotgx+cotg2x +cotg3x = 6 8/ + 2tg2x + 5tgx + 5cotgx + 4 = 0
 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1 
 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ). 
IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC .
 Giải các phương trình sau:
 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 
 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 
 5/ sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x 
 9/ 3sin3x - cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/ 
 11/ sin2tg2x – cos2 = 0 12/ cotgx – tgx + 4sinx = 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tg2x + tg2x ) . 
 15/ 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 
 19/ tgx +cosx – cos2x = sinx (1+tgx.tg) 20/ cotgx – 1 =
 21/ 3 –tgx(tgx + 2sinx)+ 6cosx = 0 22/ cos2x + cosx(2tg2x – 1) = 2
 23/ cotgx – tgx +4sin2x = 24/ 
 25/ cotgx = tgx + 26/ 
 27/ tg2x – tgx =cosx.sin3x 28/ (sinx + cosx)3 - (sin2x +1) +sinx +cosx – = 0
 29/ 30/ sin2x + sin22x + sin23x = 2
 31/ 1 + sinx +cosx +sin2x +cos2x = 0 32/ 
 33/ tg2x + cotgx = 8cos2x 34/ sinx+sin2x+sin3x -( cosx +cos2x+cos3x ) =0
 35/ sin4x + cos4x – cos2x +sin22x = 0 36/ 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1
 37/ 2cosx.cos2x.cos3x + 5 = 7cos2x 38/ (cos4x – cos2x)2 = 5 + sin3x 
 39/ sinx.sin2x +sin3x = 6cos3x HD :đặt t = tgx. 40/ sin22x – cos28x = sin(10x +)
 41/ 2cos3x + cos2x +sinx = 0 42/ cos33x.cos2x – cos2x = 0 
 43/ 1+ sinx + cosx +sin2x + cos2x = 0 44/ cos4x + sin4x + cos(x -)sin(3x -)- = 0
 45/ 5sinx –2 = 3(1 – sinx ) tg2x 46/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – cos2x
 47/ cotgx – tgx + 4sin2x = 48/ sin2()tg2x – cos2
 49/ cox + cos2x + cos3x = sinx +sin2x + sin3x . 50/ cos3x + sin7x = 2sin2(+) – 2cos2
 51/ sin3x +sinxcosx = 1- cos3x 52/ sin3x + cos2x = 2(sin2xcosx – 1)
 53/ 4cosx – 2cos2x – cos2x – cos4x = 0 , 54/ 
 55/ 2(cos4x – sin4x) + cos4x – cos2x = 0, 56/ 2(cos4x + sin4x) = cos()
 57/ 2cosxcos2x = 1+ cos2x +cos3x 58/ 4(cos4x + sin4x) +sin4x = 2
 59 / sin2x + cos2x = 1 -sin2x +2cos2x 60/ cos4x + sin4x –cos2x +sin22x = 0 , 
 61/ cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 62/ cos7x +sin8x = cos3x – sin2x , 
 63/ sin2x +cosx +2sin(x+)+3 = 0 64/ 
65/ cotgx + sinx(1+tgxtg) = 4 66/ 
V. CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA TAM SỐ 
 1/Cho phương trình . Tìm m đđể phương trình cĩ nghiệm.
 2/ Định m để phương trình : có nghiệm 
 3/ Cho phương trình:.Tìm m để phương trình có nghiệm
 thuộc 
 4/ . Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ta có: 
 5/ Cho phương trình : . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm