Phương trình, hệ phương trình có nghiệm x, y - Nguyễn Phú Khánh

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Bài tập : Chứng minh rằng hệ phương trình
3
3
1 3 (1)
1 3 (2)
x y
y x
    
 có đúng 3 nghiệm
(1) (2) ta được
3 3 2 2 2 23( ) ( )( ) 3( ) ( )( 3) 0x y y x x y x xy y x y x y x xy y               
2 2 3 0
x y
x xy y
      
Trường hợp 1 : Vì
2 2 2
2 2 2 23 33 3 ( ) 3 04 4 2 4
y y y yx xy y x xy x             nên
2 2 3 0x xy y    vô nghiệm
Trường hợp 2 : x y thay vào phương trình (1) của hệ ta được 3 3 1 0 (3)x x  
Đặt 3 2
1( ) 3 1 '( ) 3 3 ; '( ) 0 1
xf x x x f x x f x x
           
Vì ( 1). (1) 3 0f f    nên phương trình (3)có 3 nghiệm phân biệt . Do đó hệ đã có có đúng 3 nghiệm.
Cách khác: 3( ) 3 1f x x x   là hàm đa thức nên liên tục trên  ; do đó 3( ) 3 1f x x x   liên tục
trên [ 2;2] và ( 2). ( 1) 3 0; ( 1). (1) 3 0; (1). (2) 3 0f f f f f f            do đó phương trình
( ) 0f x  có ít nhất 1 nghiệm trên mỗi khoảng ( 2; 1),( 1;1),(1;2)   .
Vậy phương trình (3)có 3 nghiệm phân biệt . Do đó hệ đã có có đúng 3 nghiệm.
Bài tập 1: Cho hệ phương trình :
1
1
x y m
y x m
      
1. Giải hệ với 3m  .
2. Định các giá trị m để hệ có nghiệm
Bài tập 2: Định m để các hệ phương trình sau có nghiệm
 1.
x
y
e y m
e x m
    
.
Bài tập 3 : Giải các hệ phương trình :
1.
sin sin
cos2 3 sin 1 0
x y x y
x y
      
.
Bài tập 4 : Giải các hệ phương trình :
1.
2 22 2
4 2 5x y
x x y y     
.
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2. 2
2
log (3 1)
log (3 1)
y x
x y
    
3.
2
2
1 1
1 3
x y
y x
      