Phương trình đại số và bất phương trình đại số

 3: Cho phöông trình baäc hai: 2 2x 2(m 2)x m 12 0− + + + = . Giaù trò nguyeân nhoû nhaát cuûa tham soá m ñeå 
 phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät laø: 
 (A) m 1= (B) m 2= (C) m 3= (D) m 4= 
Baøi 4: Giaû söû x1, x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình: 2x 3x 10 0+ − = . Giaù trò cuûa toång 
1 2
1 1
x x
+ laø 
(A) 3
10
 (B) 3
10
− (C) 10
3
 (D) 10
3
− 
Baøi 5: Phöông trình: 2x mx m 1 0− + − = coù hai nghieäm döông phaân bieät khi 
(A) m 1> (B) m 1≥ (C) m 1 vaø m 2> ≠ (D) m 1 vaø m 2≥ ≠ 
ÑAÙP AÙN: 
Baøi 1: Phöông trình 2(m 1)x 2mx m 0− + + = coù hai nghieäm phaân bieät khi : 
 (A) m 0> (B) m 0≥ (C) m 0 vaø m 1> ≠ (D) m 0 vaø m 1≥ ≠ 
Baøi 2: Phöông trình : 2mx 2(m 3)x m 5 0+ − + − = voâ nghieäm khi : 
 (A) m 9> (B) m 9≥ (C) m 9< (D) m 9 vaø m 0< ≠ 
Baøi 3: Cho phöông trình baäc hai: 2 2x 2(m 2)x m 12 0− + + + = . Giaù trò nguyeân nhoû nhaát cuûa tham soá m ñeå 
 phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät laø: 
 (A) m 1= (B) m 2= (C) m 3= (D) m 4= 
Baøi 4: Giaû söû x1, x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình: 2x 3x 10 0+ − = . Giaù trò cuûa toång 
1 2
1 1
x x
+ laø 
(A) 3
10
 (B) 3
10
− (C) 10
3
 (D) 10
3
− 
Baøi 5: Phöông trình: 2x mx m 1 0− + − = coù hai nghieäm döông phaân bieät khi 
(A) m 1> (B) m 1≥ (C) m 1 vaø m 2> ≠ (D) m 1 vaø m 2≥ ≠ 
 8
II. Phöông trình truøng phöôngï: 
1.Daïng : 4 2 0 ( a 0 )ax bx c+ + = ≠ (1) 
2.Caùch giaûi: 
 ) Ñaët aån phuï : t = x2 ( 0≥t ). Ta ñöôïc phöông trình: 02 =++ cbtat (2) 
 Giaûi pt (2) tìm t. Thay t tìm ñöôïc vaøo t = x2 ñeå tìm x 
 Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (2) maø ta suy ra ñöôïc soá nghieäm 
 cuûa phöông trình (1) 
AÙp duïng: 
Ví du 1ï: 
Giaûi phöông trình : 
2
3 89x 2532x
2x
−= vôùi x 0;x 1> ≠ 
Ví duï 2: 
1) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì các phöông trình sau coù 4 nghieäm phaân bieät: 
a) mxx =−− 32 24 
b) 4 2( 2) 4 1 0x m x m− + + + = 
2) Cho phương trình: 4 2( 2) 4 1 0x m x m− + + + = 
 Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng 
III . Phöông trình baäc ba: 
 1. Daïng: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (1) ( 0a ≠ ) 
 2 .Caùch giaûi: AÙp duïng khi bieát ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình (1) 
)Böôùc 1: Nhaåm moät nghieäm cuûa phöông trình (1). Giaû söû nghieäm laø x = x0 
)Böôùc 2: Söû duïng pheùp CHIA ÑA THÖÙC hoaëc sô ñoà HOOÙCNE ñeå phaân tích veá traùi thaønh nhaân 
 töû vaø ñöa pt (1) veà daïng tích soá : 
 (1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0 
 0
2
0 (2)
x x
Ax Bx C
=⎡⇔ ⎢ + + =⎣
)Böôùc 3: Giaûi phöông trình (2) tìm caùc nghieäm coøn laïi ( neáu coù). 
Bổ sung kiến thức: 
 Định lý Bezu (Bơ-du) 
 “Đa thức P(x) có nghiệm 0x x= khi và chỉ khi P(x) chia hết cho 0x x− 
AÙp duïng: 
Ví duï 1: Giaûi caùc phöông trình sau: 
 a) 041292 23 =−+− xxx 
 b) 14223 −=+−+ xxxx 
 c) 3 22 7 28 12 0x x x+ − + = 
 9
Ví duï 2: 
Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì các phöông trình sau coù ba nghieäm phaân bieät 
 a) 223 23 −+=+− mmxxx 
 b) 3 2(2 1) 0x m x mx m− + + + = 
 c) 3 22( 1) (7 2) 4 6 0x m x m x m− + + − + − = 
 d) 3 2( 4) (4 ) 0mx m x m x m− − + + − = 
 e) 3 2 2(1 ) 3 2 0x m x mx m+ − − + = 
Ví dụ 3: Cho phương trình : 3 23 3 3 2 0x mx x m+ − − + = 
 Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt 1 2 3, ,x x x sao cho 
2 2 2
1 2 3A x x x= + + đạt GTNN. 
Chuù yù 
Ta coù theå aùp duïng phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû baèng kyû thuaät söû duïng sô ñoà HOOÙCNE, 
ñeå giaûi caùc phöông trình ña thöùc baäc cao (vôùi ñieàu kieän nhaåm ñöôïc moät nghieäm cuûa ña thöùc) 
 Ví duï: 
Giaûi các phöông trình: 
1) 018215 234 =−++− xxxx 
2) 4 3 27 6 0x x x x+ − − + = 
3) 4 3 22 4 5 6 0x x x x+ − − − = 
IV. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BOÁN QUY VEÀ BAÄC HAI BAÈNG PHEÙP ÑAËT AÅN PHUÏ 
1.Daïng I: 4 2 0 ( a 0 )ax bx c+ + = ≠ 
 ) Ñaët aån phuï : t = x2 
2. Daïng II. ( )( )( )( ) ( k 0 )x a x b x c x d k+ + + + = ≠ trong ñoù a+b = c+d 
 ) Ñaët aån phuï : t = (x+a)(x+b) 
Ví dụ : Giải phương trình: ( )( )( )( )1 3 5 7 9x x x x+ + + + = 
3.Daïng III: 4 4( ) ( ) ( k 0 )x a x b k+ + + = ≠ 
 ) Ñaët aån phuï : t = 
2
a bx ++ 
Ví dụ : Giải phương trình: ( ) ( )4 43 5 2x x+ + + = 
 10
4.Daïng IV: 4 3 2 0ax bx cx bx a+ + ± + = 
 Chia hai veá phöông trình cho x2 
 ) Ñaët aån phuï : t = 1x
x
± 
Ví dụ : Giải phương trình: 4 3 22 3 16 3 2 0x x x x+ − + + = 
 11
B. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ 
I. Baát phöông trình baäc nhaát: 
1. Daïng : (1) 0>+ bax (hoaëc ≤<≥ ,, ) 
2. Giaûi vaø bieän luaän: 
 Ta coù : (2) )1( bax −>⇔ 
 Bieän luaän: 
• Neáu 0>a thì 
a
bx −>⇔)2( 
• Neáu 0<a thì 
a
bx −<⇔)2( 
• Neáu 0=a thì (2) trôû thaønh : bx −>.0 
 * 0≤b thì bpt voâ nghieäm 
 * 0>b thì bpt nghieäm ñuùng vôùi moïi x 
AÙp duïng: 
Ví duï1: Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình : 21 mxmx +>+ 
Ví duï 2: Giaûi heä baát phöông trình sau: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+
≥−
≥+
013
04
092
x
x
x
Ví duï 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm: 
2x 1 x 4
5x 2m 1 x m
− ≤ +⎧⎨− + − < +⎩ 
II. Daáu cuûa nhò thöùc baäc nhaát: 
1. Daïng: 0)(a )( ≠+= baxxf 
2. Baûng xeùt daáu cuûa nhò thöùc: 
x ∞− 
a
b− ∞+ 
ax+b Traùi daáu vôùi a 0 Cuøng daáu vôùi a 
AÙp duïng: 
Ví duï : Xeùt daáu caùc bieåu thöùc sau: 
1) )32)(1)(3( xxxA −+−= 
2) 
)12)(2(
7
−−
+=
xx
xB 
 12
III. Daáu cuûa tam thöùc baäc hai: 
1. Daïng: 0)(a 2)( ≠++= cbxaxxf 
2. Baûng xeùt daáu cuûa tam thöùc baäc hai: 
3. Ñieàu kieän khoâng ñoåi daáu cuûa tam thöùc: 
 Ñònh lyù: Cho tam thöùc baäc hai: 0)(a 2)( ≠++= cbxaxxf 
• ⎩⎨
⎧
>
0a
0
 Rx 0)(xf 
• ⎩⎨
⎧
<
<Δ⇔∈∀<
0a
0
 Rx 0)(xf 
• ⎩⎨
⎧
>
≤Δ⇔∈∀≥
0a
0
 Rx 0)(xf 
• ⎩⎨
⎧
<
≤Δ⇔∈∀≤
0a
0
 Rx 0)(xf 
AÙp duïng: 
Ví duï1 : Cho )2(3)1(2)1()( 2 −++−−= mxmxmxf 
 Tìm m ñeå Rx ∈∀> 0)(xf 
Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì 
2
2
2x x 3a2 3
x x 4
− +− ≤ ≤+ + thoûa vôùi moïi x∈\ 
IV. Baát phöông trình baäc hai: 
 1. Daïng: 02 >++ cbxax ( hoaëc ≤<≥ ,, ) 
x ∞− 1x 2x ∞+ 
f(x) Cuøng daáu a 0 Traùi daáu a 0 Cuøng daáu a 
acb 42 −=Δ 
x ∞− 
a
b
2
− ∞+ 
f(x) Cuøng daáu a 0 Cuøng daáu a 
x ∞− ∞+ 
f(x) Cuøng daáu a 
0<Δ 
0=Δ 
0>Δ 
 13
 2. Caùch giaûi: Xeùt daáu tam thöùc baäc hai ôû veá traùi roài choïn nghieäm thích hôïp. 
AÙp duïng: 
Ví duï1 : Giaûi caùc heä baát phöông trình: 
a) 
⎩⎨
⎧
>++−
>−
011011
0113
2 xx
x
b) ⎪⎩
⎪⎨⎧ >++−
>+−
032
0273
2
2
xx
xx
Phương pháp: Giải từng bất phương trình của hệ rồi chọn nghiệm chung (phần giao của các tập 
nghiệm của từng bất phương trình trong hệ). 
Ví duï 2 : Giaûi baát phöông trình: x 5 2x 1 2
2x 1 x 5
+ −+ >− + 
Ví duï 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù hai nghieäm phaân bieät: 
 0)3(2)32(2 =+++− mxmx 
Ví duï 4: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá: 2
2
2x 3y 2x x 6
x 5x 4
−= + − +
− +
V. So saùnh moät soá α vôùi caùc nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai cbxaxxf ++= 2)( ( 0≠a ) 
 Ñònh lyù: 
[ ]1
1
1
1
Tam thöùc co ù hai nghieäm x thoûa 
 a.f( ) 0
 x
0
Tam thöùc co ù hai nghieäm x thoûa 
 a.f( ) 0
 x
S
2
2
2
2
2
,x
x
,x
x
0
⎡ ⎤ ⇔ α <⎢ ⎥< α <⎣ ⎦
⎡ ⎤⎧⎢ ⎥⎪Δ >⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎪⇔ α >⎨⎢⎢ ⎥< < α⎣ ⎦ ⎪⎢⎪ −α <⎢⎩⎣ ⎦
1
1
1
0
Tam thöùc co ù hai nghieäm x thoûa 
 a.f( ) 0
 x
S
2
Tam thöùc co ù hai nghieäm x thoûa
moät nghieäm thuoäc khoaûng ( ; ) vaø 
nghieäm
2
2
2
,x
x
0
,x
⎥⎥⎥
⎡ ⎤⎧⎢ ⎥⎪Δ >⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎪⇔ α >⎨⎢ ⎥⎢ ⎥α ⎢ ⎥⎩⎣ ⎦
α β [ ] 
 coøn laïi naèm ngoaøi ñoaïn [ ; ] 
f( ).f( ) 0
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⇔ α β <⎢ ⎥⎢ ⎥α β⎣ ⎦ 
AÙp duïng: 
Ví duï : Cho phöông trình: 02322 =−+− mmxx (1) 
 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm x1, x2 thoûa maõn 211 xx << 
 14
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN: 
Baøi 1: Cho phöông trình: mmx
x
xx 22
2
422 −+=−
+− (1) 
 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät (m>1) 
Baøi 2: Cho phöông trình: 053)1(2 =−++− mxmx (1) 
 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm döông phaân bieät ( 5 m 3 m 7
3
 ) 
Baøi 3: Cho phöông trình: 0
1
2
=−
++
x
mxmx (1) 
 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät ( 1 m 0
2
− < < ) 
Baøi 4: Cho phöông trình: 0124 =−+− mmxx (1) 
 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 4 nghieäm phaân bieät (m 1 m 2)> ∧ ≠ 
Baøi 5: Cho phöông trình: 0))(1( 2 =++− mmxxx (1) 
 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 3 nghieäm phaân bieät 1(m 0 m 4 m )
2
 ∧ ≠ − 
Baøi 6: Cho phöông trình : 0)1(3)1(2 =−+−+ mxmmx (1) 
 Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa 
9
711
2
2
2
1
=+
xx
 1(m )
2
= 
Baøi 7: Cho phöông trình: 0
3
2
3
1 23 =++−− mxmxx (1) 
 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù ba nghieämphaân bieät x1, x2, x3 thoûa maõn 1523
2
2
2
1 >++ xxx 
 (m 1 m 1) 
--------------------Heát-------------------- 
 15
TRAÉC NGHIEÄM KHAÙCH QUAN 
ÑEÀ SOÁ 1: 
Caâu 1: Taäp hôïp caùc giaù trò m ñeå phöông trình: x m 2mx 1
x 1 x 1
−− + =− − coù nghieäm laø 
 (A) 1 ;
3
⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠ (B) 
1;
3
⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠ (C) ( )1;+∞ (D) 
1 ;
3
⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠ 
Caâu 2: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá 2y 4x 3 x 5x 6= − + + − laø 
 (A) [ )1;+∞ (B) 3 ;
4
⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠ (C) 
3 ;1
4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ (D) 
6 3;
5 4
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Caâu 3: Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình: 
2
2
2x 3x 4 1
x 2
− + >+ laø 
 (A) ( ) ( ); 1 2;−∞ − +∞∪ (B) ( ) ( ); 2 1;−∞ − − +∞∪ 
(C) ( ) ( );1 2;−∞ +∞∪ (D) ( ) ( );2 4;−∞ +∞∪ 
Caâu 4: Phöông trình: 2 2(m 1)x x 2m 3 0+ − − + = coù hai nghieäm traùi daáu khi vaø chæ khi 
 (A) 2m
3
> (B) 3m
2
< (C) 3m
2
> (D) 3m
2
> − 
Caâu 5: Heä baát phöông trình : 
2x 1 0
x m 3
− >⎧⎨ − <⎩ voâ nghieäm khi vaø chæ khi 
 (A) 5m
2
< − (B) 5m
2
≤ − (C) 7m
2
< (D) 5m
2
≥ − 
ÑAÙP AÙN: 
Caâu 1: Taäp hôïp caùc giaù trò m ñeå phöông trình: x m 2mx 1
x 1 x 1
−− + =− − coù nghieäm laø 
 (A) 1 ;
3
⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠ (B) 
1;
3
⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠ (C) ( )1;+∞ (D) 
1 ;
3
⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠ 
Caâu 2: Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá 2y 4x 3 x 5x 6= − + + − laø 
 (A) [ )1;+∞ (B) 3 ;
4
⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠ (C) 
3 ;1
4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ (D) 
6 3;
5 4
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Caâu