Phương trình bậc hai và hệ thức Vi ét

Phương trình bậc hai và hệ thức vi ét
A/ Lý thuyết:
1/ Công thức nghiệm:
 Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ) (1)
Ta có= b2 – 4ac (= b’2 – ac)
vô nghiệm < 0 (< 0)
có nghiệm kép = 0 (= 0) x1 = x2 = (x1= x2 = )
có hai nghiệm phân biệt > 0 (> 0)
x1 = ( x1 = ) ; x2 = ( x2 = )
có nghiệm 0 ( 0)
2/ Hệ thức Vi – ét: 
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì: 
 S = x1 + x2 = và P = x1.x2 = 
3/ Hệ quả (nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai): 
Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ). 
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = 
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 = 
4/ Hệ thức Vi – ét đảo:
Nếu hai số x, y thoả mãn x + y = S và x.y = P thì hai số x, y là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0.
( áp dụng: để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng và dùng để lập phương trình bậc hai khi khi biết trước hai nghiệm )
5/ Chú ý (Điều kiện cần và đủ ):
Để PT (1) có hai nghiệm trái dấu a.c < 0
 Để PT (1) có hai nghiệm cùng dấu 
Để PT (1) có hai nghiệm cùng dương 
Để PT (1) có hai nghiệm cùng âm 
6. ẹieàu kieọn veà nghieọm soỏ cuỷa phửụng trỡnh baọc hai:
 	 ẹũnh lyự : Xeựt phửụng trỡnh : (1) 
F Pt (1) voõ nghieọm hoaởc 
F Pt (1) coự nghieọm keựp 
F Pt (1) coự hai nghieọm phaõn bieọt 
F Pt (1) coự hai nghieọm 
F Pt (1) nghieọm ủuựng vụựi moùi x 
 ẹaởc bieọt 
 Neỏu pt(1) coự heọ soỏ a,c thoaỷ a.c < 0 thỡ pt(1) luoõn coự hai nghieọm phaõn bieọt.
7. So saựnh moọt soỏ vụựi caực nghieọm cuỷa tam thửực baọc hai ()
B/ Bài tập
Bài 1: Cho phương trình: 2x2 + mx – 5 = 0.
Tìm m để phương trình có một nghiệm là 1. Tìm nghiệm còn lại.
Tìm m để phương trình có một nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 2: Cho phương trình: x2 + 2(m - 1)x – 2m +5 = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn:
* = 2.
* x1 + x2 + 2x1x2 6.
Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2x + m + 2.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thảo mãn:
* x1 + x2 + 2x1x2 6.
* x1 + x2 + 4x1x2 = 10.
Bài 4: Cho phương trình: x2 – 8x + m + 5 = 0.
Giải phương trình với m = 2.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.
Tìm m để phương trình có một nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia. Tìm các nghiệm trong trường hợp này.
Bài 5: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m = 0.
Chứng tỏ rằng(CTR) phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. CTR: A = x1 + x2 –x1x2 không phụ thuộc vào m.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 
 x12 + x22 - 3x1x2 = 6
Bài 6: Cho phương trình: x2 – (2m – 1)x + m2 – m – 2 = 0.
CTR: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để 2x1x2 + x1 + x2 3
Bài 7: Cho phương trình: x2 + 2x + 2m + 5 = 0.
Tìm m để phương trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt?
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tính A = x12 + x22 theo m.
Tìm m để A = 10.
Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là y1 = , y2 = 
Bài 8: Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m = 0.
Giải phương trình với m = 3.
CTR: Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x12x2 + x1x22 = 10.
Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2x + m – 2 = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu?
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 
Bài 10: Cho phương trình: 3x2 – 4x + m – 1 = 0.
Giải phương trình với m = 6.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?
Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn x1 = 3x2.
Bài 11:
Cho phương trình: x2 – 4x + m = 0.
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Với giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22
Bài 12: Cho phương trình: x2 – 3x - m + 2 = 0 (1)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu? Cùng dấu?
Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm thảo mãn: x12 + x22 = 8.
Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm gấp đôi các nghiệm của phương trình (1).
Bài 13:
Cho phương trình: x2 – 2(a – 1)x + 2a - 5 = 0.
CMR: Phương trình luôn có nghiệm với mọi a.
b)Tìm a để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x2 < 1 < x1
Bài 14:
Cho phương trình: x2 + (m +1)x + m - 1 = 0.
CMR: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để A = x12x2 + x1x22 – 4x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 15: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:
 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (1). 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Bài tập 16 : Cho phương trình (1)
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
 Bài tập 17: 
Cho phương trình (1) (với m là tham số)
a) Giải phương trình trên với m = 2 
b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m
c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x, x Tìm m để biểu thức 
 đạt giá trị lớn nhất 	
Bài tập 18: Cho phương trình : 
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m 
Gọi 2 nghiệm là x và x tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 19:
Cho phương trình 
Tìm giá trị dương của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia 
Bài tập 20 : 
Xét phương trình : (1) với m là tham số 
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt
2. Gọi các nghiệm của phương trình (1) là . Hãy tính theo m giá trị của biểu thức M = 
Bài tập 21: 
Cho phương trình ( mlà tham số) 
a) Chứng minh : Phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Trong trường hợp m > 0 và là các nghiệm của phương trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu thức 
Bài tập 22 : 
Xét phuương trình mx+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số
a ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x , x thoả mãn 
b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm số hữu tỉ
Bài tập 23 : Tìm hai số x y biết x + y = 25 và xy = 12 
Bài tập 24 : Cho phương trình x- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm 
a) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức 
b) Tìm a để tổng các bình phương 2 nghiệm số đạt GTNN ? 
Bài tập 25 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phương trình 
1. 7 x+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu 
2. 12 x+70x + k+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu 
3. x- ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1 
Bài tập 26 : Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh 
1. mx - 2(m +1)x + m + 2 = 0
2. (m -1) x + 3m + 2m + 1 = 0
3. (1 – 2m) x + (2m +1)x -2 = 0
Bài tập 27 : Cho phương trình x- 2m + m - 4 = 0
1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau . Tính 2 nghiệm đó 
2. Định m để phương trình có 2 nghiệm thực dương 
Bài tập 28 
 Cho phương trình x - mx +1 = 0 ( m là tham số )
1. Giải phương trình trên khi m = 5 
2. Với m = , giả sử phương trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là 
 Không giải phương trình , hãy tính giá trị của biểu thức 
Bài tập 29 : Cho phương trình : 
Tính (Với x , xlà 2 nghiệm của phương trình)
Bài tập 30 : a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
b) Gọi 2 nghiệm là x , x , Tìm GTNN của biểu thức 
Bài tập 31 : 
1) Chứng tỏ rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt x, x
Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là và 
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dương ?
Bài tập 32 : 
Cho phửụng trỡnh: (1)
 Tỡm m ủeồ phửụng trỡnh (1) coự 2 nghieọm x1, x2 thoỷa maừn 
Bài tập 33 : 
Xaực ủũnh m ủeồ phửụng trỡnh : coự nghieọm