Phương pháp luyện tập thể tích khối đa diện - Võ Thành Nhung

một góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 . Tính thể tích hộp chữ nhật. Đs: 
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ. Đs: V = 3a3
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ. Đs: 
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ. Đs: 
Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ. Đs: 
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a
 Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o .
A'B hợp với đáy ABC một góc 45o.
Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
 Đs: 1) ; 2) V = ; V = 
 Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính 
 thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o .
BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 .
Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .
 Đs: 1) V = 16a3 . 2) V = 12a3 .3) V = 
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
 Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2)Tam giác BDC' là tam giác đều.
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
 Đs: 1) ; 2) V = ; V = 
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng 
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
 Đs: 1) ; 2) V = ; V = 
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a
 Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:
1) AB = a
2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30o
3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300
 Đs: 1) ; 2) V = ; V = 	 
4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
	Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 đều cạnh a , biết cạnh bên là và hợp với đáy ABC một góc 60o .
 Tính thể tích lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không xác định được góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm 
chiều cao lăng trụ.
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ xiên . 
+ Dựng đường cao CC'.
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Xác định góc giữa cạnh bên với đáy : Hình chiếu của CC' trên (ABC) là gì?
+ Suy ra góc[CC';(ABC)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
+ Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Lời giải:
 Ta có là hình chiếu của CC' trên (ABC)
 Vậy 
 SABC = .Vậy V = SABC.C'H = 
	Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp 
 tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 .
	1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
	2) Tính thể tích lăng trụ .
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không xác định được góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài 
chiều cao lăng trụ.
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác đều ABC và tâm O của nó . 
+ Dựng đường cao OA'. Từ đó dựng các cạnh bên của lăng trụ.
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Xác định góc giữa cạnh bên AA' với đáy ABC : Hình chiếu của AA' trên (ABC) là gì? Suy ra góc[AA'';(ABC)] = ?
+Chứng minh BC AA' bằng cách Chứng minh BC mặt phẳng nào ? Tứ đó có thể BCCC' không ? tại sao? Vậy BB'C'C là hình gì?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
+ Tìm h = AA'' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Lời giải:
 1) Ta có là hình chiếu của AA' trên (ABC)
 Vậy 
 Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)
 tại trung điểm H của BC nên (đl 3 )
 mà AA'//BB' nên .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.
2) đều nên 
 Vậy V = SABC.A'O = 
 	 Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với 
 AB = AD =.Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy 
 những góc 450 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
 + Học sinh không vẽ được hộp có đáy là hình chữ nhật.
 + Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt bên với đáy hộp.
 + Học sinh không tạo ra được phương trình đại số có ẩn số là chiều cao của hộp.
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình chữ nhật ABCD và các cạnh bên của hình hộp . 
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
 + Xác định góc giữa mặt bên với đáy.Dựng đường cao A'H và HNAD 
 HMAB Suy ra góc[(ABB'A');(ABCD)] =? góc[(ADD'A');(ABCD)] = ? 
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
+ Tìm h = A'H không dùng trực tiếp tam giác vuông nào được ? Đặt x = A'H
+ Dùng hai tam giác nào bởi định lý gì để tạo ra phương trình theo x ?
Lời giải:
Kẻ A’H ,HM (đl 3)
Đặt A’H = x . Khi đó 
A’N = x : sin 600 = 
AN = 
Mà HM = x.cot 450 = x
Nghĩa là x = 
Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x 
 = 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABCD một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 
Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =336
Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và và biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.
 Đs: V =
 Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều A,B,C biết AA' = .Tính thể tích lăng trụ. Đs: 
 Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có 
 hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bêb 
 BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60o .
Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. Đs: 
Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC 1 góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .
Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'. Đs: 1) 2) 
 Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.
Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
Tính thể tích lăng trụ. Đs: 1) 30o 2) 
Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90o
 Đs: 
Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60o .
Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.
Tính thể tích của hộp. Đs: 2) . 3) 
Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc 
A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a.
 1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.
 2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.
 Đs: 1) 60o 2) 
LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
	Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) 
 và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: 
 + Học sinh không biết 2 mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc mặt phẳng thứ ba 
 thì giao tuyến vuông góc mặt phẳng thứ ba
+ Học sinh không xác định được AC vuông góc với (SBC).
+ Học sinh không vẽ được chóp có đáy là SBC và đỉnh là A.
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác ABC và cạnh bên AC(ABC) ? . 
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
 + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diện tích B của SBC bằng công thức nào ?
Lời giải:
 Ta có 
Do đó 
 Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với 
 AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
	1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông . 
	2)Tính thể tích hình chóp .
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: 
 + Học sinh không biết áp dụng định nghĩa đường thẳng vuông góc mặt phẳng và 
 áp dụng định lý 3 đường vuông góc .
 + Học sinh không biết tính cạnh góc vuông trong tam giác vuông cân .
 + Học sinh không xác định được góc giữa SB với đáy ABC.
 + Học sinh không tính được SA qua hệ thức lượng giác trong tam giác vuông.
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác ABC và cạnh bên SA(ABC) ? . 
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
 + Xác định góc[SB,(ABC)] = ? Tại sao