Phương pháp hàm số trong giải toán - Đinh Bạt Vinh

0.
Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R
f’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0 " x ÎR. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.
Mặt khác phương trình có một nghiệm x =1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài tập 1: Giải phương trình: 
Bài tập 2: Giải phương trình: .
Ví dụ 2: Giải phương trình : 
Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với
 (*)
Xét hàm số f(t) = .Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ ¥)
 f’(t) = > 0 "t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ ¥)
Phương trình (*) Û f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5)
Û x2 +x + 3 = 2x2 + 4x + 5 Û x = - 1 v x = - 2.
Bài tập 1: Giải hệ phương trình 
Bài tập 2: Giải hệ phương trình 
Bài tập 3: Giải hệ phương trình 
Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 
Ví dụ 3: Giải phương trình 3x = 2x + 1
Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với 3x - 2x - 1 = 0.
Xét hàm số f(x) = 3x -2x - 1, f’(x) = 3xln3 - 2, f’’(x) = 3x (ln3)2 > 0 "x Î R.
 Mặt khác phương trình co hai nghiệm x = 0 và x =1. Vậy phương trình có đúng hai nghiệm x = 0 và x = 1.
Bài tập 1: Giải phương trình: 2009x + 2010x = 4017x + 2
Bài tập 2: Giải phương trình: 
Bài tập 3: Giải phương trình: 
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 
Giải: Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t - 2. f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0 "tÎ R. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R.
Giả sử x = max{x,y,z} hay x³ y và x ³ z suy ra x = f(y) ³ f( z) = y và x= f(y) ³ f(x) = z . Từ đó ta có y ³ z và y ³ x. Suy ra f(y) ³ f(z) hay z ³ x. Do đó x ³ y³ z³ x từ đó x = y = z = 1.
Bài tập 1: Giải hệ phương trình 
Bài tập 2: Giải hệ phương trình 
Bài tập 3: Giải hệ phương trình 
Ví dụ 5: Giải bất phương trình 
Giải: Tập xác định D = [- 6; 7] . Xét hàm số f(x) = .
Ta có f’(x) = " x Î (- 6; 7). 
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [- 6; 7] 
Mặt khác f(3) = 1. Do đó bất phương trình tương đương với f(x) ³ f(3) Û x ³ 3. 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [3; 7]
Bài tập 1: Giải bất phương trình 
Bài tập 2: Giải bất phương trình 
II - Sử dụng GTLN,GTNN của hàm số để tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b).
1) Định lý 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] Û 
2) Định lý 2: Bất phương trình f(x) ³ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] Û 
3) Định lý 3: Bất phương trình f(x) £ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] Û 
4) Định lý 4: Bất phương trình f(x) ³ m nghiệm đúng với mọi x Î [a;b] Û 
5) Định lý 5: Bất phương trình f(x) £ m nghiệm đúng với mọi x Î [a;b] Û 
 Chú ý: Định lý 1,2,3,4,5 dùng để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình, bất phương trình chứa tham số.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau 
a) Có nghiệm.
b) Có đúng 1 nghiệm.
c) có 2 nghiệm phân biệt.
Giải : Tập xác định D= [-7;3], Xét hàm số , ta có , f’(x) = 0 Û x= - 6 (Loại) v x = 2. 
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x).
x
 -7	 2	 3
f’(x)
	+ 0 -
f(x)
 15
 -30	 10
a) Phương trình có nghiệm khi Û - 30 £ m £ 15
b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi - 30 £ m < 10 hoặc m = 15.
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 10 £ m < 15.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 4(sin4x + cos4x) + (5 - 2m)cos2x + 9 - 3m = 0 
a) Có nghiệm.
b) Có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn 
Giải : Đặt t = cos2x với - 1 £ t £ 1 . Phương trình trở thành . 
Xét hàm số f(t) = 
Ta có , f’(t) = 0 Û t = (Loại) v t = . Bảng biến thiên
t
-1	 1/2	 1
f’(t)
	-	0	+
f(t)
	8	18/5
 7/2
a) Phương trình có nghiệm khi Û 7/2 £ m£ 8.
b) Khi x Î thì 2x Î hay . Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn khi phương trình ẩn t có hai nghiệm t thuộc đoạn hay 7/2 < m £ 18/5
Bài tập 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 
Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 
Bài tập 6: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn .
Bài tập 7: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn 
Bài tập 8: Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
Bài tập 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
Bài tập 10:Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng "x ³ 1
Giải: BPT . 
Ta có " x ≠ 0. 
Suy ra đồng biến trên khoảng (1; + ¥) .
YCBT 
Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x Î 
Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng 
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: có nghiệm.
Giải: Chú ý: Nếu tính rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn. 
Thủ thuật: Đặt 
Suy ra: và tăng; > 0 và giảm hay và tăng
 tăng. Suy ra có nghiệm 
Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 
Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 
Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 
Giải: Đặt ta có 
và 
Khi đó hệ trở thành 
Û là nghiệm của phương trình bậc hai
Hệ có nghiệm có 2 nghiệm thỏa mãn . 
Lập Bảng biến thiên của hàm số với 
t
– 2 
2
5/2
+
–
–
0
+
+
22
2
7/4
+
Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm 
	Bài tập 1: Chứng minh rằng " m > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 
Bài tập 2: Tìm m để hệ: (m là tham số).
có nghiệm thỏa mãn điều kiện 
III - Sử dụng tính đơn điệu, GTLN, GTNN của hàm số để chứng minh bất đẳng thức.
1) Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) < f(x) < f(b) với mọi x Î (a;b)
2) Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) > f(x) > f(b) với mọi x Î (a;b)
3) Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) £ f(x) £ f(b) với mọi x Î [a;b]
4) Định lý 4: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) ³ f(x) ³ f(b) với mọi x Î [a;b]
 Chú ý: Định lí 1,2,3,4 dùng để chứng minh bất đẳng thức bằng cách xét hàm số.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với 
Giải: Xét hàm số f(x) = , với 
 , "
Do đó hàm số f(x) đồng biến trên khoảng . Từ đó f(x) > f(0) Û . đpcm
Bài tập 1: Chứng minh rằng 
a) , với x ≠ 0.
b) , với x > 0.
c) , với x ≠ 0.
d) , với x > 0.
e) ex ³ 1 + x , " xÎ R.
f) , với x > 0 và x ≠ e.
g) , với x > 0 và x ≠ e.
h) , với .
Bài tập 2: Chứng minh rằng 
a) , với .
b) , với .
c) , với x > 0
d) , với .
e) , với xÎ (0;1)
Bài tập 3: Chứng minh rằng:
a) , với x > 0
b) , với x > 0.
c) , với x > 0.
d) , với x > 0.
Bài tập 4: Chứng minh rằng
a) , với x > 0.
b) , với x > 0.
c) , với x > 0.
d) với 
Bài tập 5: Chứng minh rằng:
a) , với .
b) , với .
Ví dụ 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để đạt GTNN, GTLN
Giải : 
m
m
m
m
+
+
m
m
Bài tập 1:Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để đạt GTNN
Bài tập 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm GTNN của 
Ví dụ 3: Tìm GTNN của , với x,y≠ 0.
Giải:
Bài tập 1: Tìm GTNN, GTLN của 
Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của 
Bài tập 3: Tìm GTNN, GTLN của , với x,y≠ 0.
Bài tập 4: Tìm GTLN,GTNN của 
Ví dụ 4: Cho x, y ≥ 0 thoả mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải: 
Nếu x = 0 thì từ giả thiết x2 + y2 = 1 ta có y = 1. Suy ra P = 1.
Nếu x ¹ 0 thì đặt y = tx, t ≥ 0 . Từ giả thiết ta có x2 + y2 = 1 Û x2 + t2x2 = 1 Û .
Ta có P = . 
Xét hàm số f(t) = , f ’(t) = , f ’(t) = 0 Û t = 0 v t = (Loại)
Bảng biến thiên
t
0 + ¥ 
f ’(t)
+
f(t)
 1
-1
Từ bảng biến thiên ta có Min(P) = - 1 đạt được khi t = 0 Û x = 1; y = 0.
Max(P) = 1 đạt được khi x = 0; y = 1.
Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 = 1. Tìm GTNN, GTLN của .
Bài tập 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện xy £ y - 1. Tìm GTNN của biểu thức 
Ví dụ 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1. Tìm GTLN,GTNN của A = x2 - xy + y2.
Giải: 
Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = 1. Tìm GTLN,GTNN của A = x4 + y4 - x2y2.
Ví dụ 6: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = xy(x + y). Tìm GTLN của 
Giải: 
Bài tập 1: Cho x,y dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của 
Bài tập 2: Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức .
Bài tập 3: Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức 
Ví dụ 7: Cho hai số x,y Î(0;1) thảo mãn x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức 
Giải:
Ví dụ 8: Cho . Chứng minh rằng: .
Giải:
Đồ thị với là một đoạn thẳng với 2 giá trị đầu mút và
Do đồ thị là một đoạn thẳng với và ; nên . Đẳng thức xảy ra 
Bài tập 1: Cho Chứng minh rằng: 
Bài tập 2: Chứng minh rằng: . 
Ví dụ 9: Cho x,y,z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải :
Áp dụng trình tự các bước sau.
+) , dấu bằng xảy ra khi x = y.
+) Nếu cho A, B > 0, m ³ n > 0 và A < 2B thì .
+) Nếu cho m ³ n > 0, .
+) 
+) 
+) đặt . Xét hàm số 
Bài tập 1: Cho a,b,c>0 và .Chứng minh 
Ta đã biết tiếp tuyến của hàm số y=f(x) tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị nên ta có nhận xét sau
Nhận xét:Nếu y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 
( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm x0 sao cho hoặc . 
Ví dụ 10: Cho và. Cmr : 
Giải: Bđt cần chứng minh 
 với 
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi. 
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là: y=8x-16
Ta có: 
 đpcm
Bài tập 1: Cho a,b,c>0 .Cmr: 
Bài tập 2: Cho a,b,c>0. Cmr : 
Bài tập 3: Cho . Cmr: 
IV - Ứng dụng của định lí Lagrăng
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại giá trị c Î (a;b) sao cho 
 Chú ý: Định lý Lagrăng dùng để chứng minh bất đẳng thức và dùng để chứng minh một phương trình có nghiệm x Î (a;b).
2) Hệ quả: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n. .Nếu pt có k nghiệm thì 
Pt có nhiều nhất (k+1) nghiệm .
Ví dụ 1: Cho các số thực a,b,c và số nguyên n>0 thoả mãn: 5c(n+2)+6(a+b)=0. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm trên 
Giải: Ta có: (*)
Xét hàm