Phương pháp hàm số trong giải phương trình, bất phương trình và hệ

Phương pháp hàm số trong giải phương trình.
Bất phương trình và hệ
I.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT-BPT-HPT: 
Định lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D  thì số nghiệm của pt trên D : f(x)=k không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x)=k có nghiệm x=a, tức là f(a)=k. Do f đồng biến nên
*x>a suy ra f(x)>f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
*x<a suy ra f(x)<f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
Vậy pt f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến) 
Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb)và liên tục trên D  thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một. 
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a.
*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a.
Vậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp pt F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt  có m nghiệm, khi đó pt   có nhiều nhất là m+1 nghiệm.
Định lí này là hệ quả của Định lí Roll.
Định lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục  trên D thì 
 f(x) > f(y) x > y (x < y)
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
 .
 .
.
.
Giải:
1) Với bài toán này  nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau.
ĐK: 
Xét hàm số  , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và nên hàm số f(x) luôn đồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1)=4
*Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vô nghiệm
*Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1)=4 nên pt vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Chú ý:* vì các hàm số y=ax+b với a>0  là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra VT của pt là hàm đồng biến.
* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương.
2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm đồng biến và pt có nghiệm x=1. Do đó pt này có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1) 
3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x^2+1=(2x^2)+1, do vậy nếu đặt thì phương trình đã cho trở thành:
, trong đó là một hàm liên tục và có nên f(t) luôn đồng biến. Do đó
Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2.
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy: , do vậy nếu đặt , khi đó phương trình trở thành:
, trong đó với t>0 . Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy . 
Có nhiều phương trình để giải nó ta dự đoán được một số nghiệm và sau đó ta chứng minh ( dựa vào định lí 3) số nghiệm của phương trình không vượt quá số nghiệm ta vừa dự đoán. Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 
.
.
Giải: 
1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0 và x=1. Ta chứng minh phương trình đã cho có không quá hai nghiệm. Để có điều này ta cần chứng minh hàm số có g''(x)>0 (vì khi đó theo đ/l 3 suy ra g'(x) có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng vì 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.
2) Đk: x>-1/2.
, trong đó là hàm liên tục và đồng biến. Do đó
Xét hàm số , ta có: , suy ra pt g’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn đến pt g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x=0 và x=1 là hai nghiệm của pt g(x)=0
nên phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất
.
Giải:
Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau
 * Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0
 * Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số .Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2)<0, dẫn đến pt f(x)=0 luôn có nghiệm
Giả sử là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó . Từ đây ta suy ra được . Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x>=1
Ta có nên f(x) là hàm đồng biến.
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình.
*Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó  là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.
   Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán về  phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó hi vong các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những dạng phương trình nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến . Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình.
Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:
.
.
Giải:
1) ĐK: .
Xét hàm số 
Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6. 
Do đó 
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của Bpt là: .
2) ĐK: .
Xét hàm số , ta có
suy ra f(x) là hàm đồng biến 
Mặt khác: 
Do vậy Bpt 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là  
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:   
Giải: 
Từ (2) ta suy ra được |x|,|y|<=1.
, trong đó
với |t|<=1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1]
nên . Thay x=y vào (2) ta có được 
là ngiệm của hệ đã cho.
Ví dụ 6: Giải hệ pt: .
Giải: Từ pt(1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số
Từ (2) và (3) ta có : 
(vì hàm số f(t)=sint-3t là hàm liên tục và nghịch biến trên .)
Thay x=y vào (2) ta được nghiệm của hệ là: .
Chú ý: *Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương pháp, là một phương trình của hệ có dạng f(x)=f(y), dẫn đến ta khảo sát tính đơn điệu của hàm số f(t)
* Một chú ý khi sử dụng tính đơn điệu là chúng ta chỉ có được 
  khi f(t) liên tục và đơn điệu
Ví dụ 7:Giải hệ phương trình: .
Giải: Đặt t=2x-y. Khi đó (1) trở thành: 
(*)
Ta thấy vế trái (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến và t=1 là một nghiệm của (*). Do vậy (*) có nghiệm duy nhất t=1
t=1 hay 2x=y+1, thay vào (2) ta được: (Vì hàm là hàm liên tục và đồng biến, đồng thời f(-1)=0).
Vậy nghiệm của hệ là:(x;y)=(0;-1).
Ví dụ 8: Giải hệ: .
.
Giải:  Xét hàm số 
Khi đó hệ có dạng : .
ta có: nên f(t) là hàm đồng biến
Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ và x=Max{x,y,z} khi đó, ta suy ra 
Vậy , thay vào hệ ta được phương trình: 
. Ta dễ dàng chứng minh được phương trình này có nghiệm duy nhất x=1
Vậy x=y=1 là nghiệm của hệ đã cho.
Bài tập:
  Bài 1: Giải các phương trình sau:  
 Bài 2: Giải các bất phương trình sau
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
 .
 .
 .
 .
.
.
.
.
.
.
Bài 4: Giải và biện luận phương trình