Phương pháp hàm số trong giải Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình - Đặng Mai

Phương pháp hàm số trong giải Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
Đặt vấn đề.
Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình là một chủ đề hay và rất quan trọng trong chương trình học của học sinh THPT. Có rất nhiều phương pháp giải phương trình, mỗi phương pháp đều có những nét riêng. Trong quá trình giảng dạy của mình, đặc biệt trong quá trình dạy HSG và dạy ôn thi đại học tôi nhận thấy phương pháp hàm số là một phương pháp hay, độc đáo. Phương pháp này phát huy rất tốt tư duy sáng tạo, khả năng phân tích, phán đoán của học sinh, đồng thời nó đòi hỏi ở người vận dụng kĩ năng phân tích, lập luận, tính toán chính xác, khoa học. Với những ưu điểm đó, tôi chọn đề tài này để viết sáng kiến kinh nghiệm và trao đổi với đồng nghiệp.
B. Phương pháp hàm số trong giải Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
I. Kiến thức cơ sở.
Định lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên D  thì số nghiệm của f(x)=k trên D không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x)=k có nghiệm x=a, tức là f(a)=k và f đồng biến trên D nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x)=k vô nghiệm
* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x)=k vô nghiệm
Vậy phương trình f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải phương trình : F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến) 
Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và hàm số y=g(x) luôn nghịch biến (hoặc đồng biến) và liên tục trên D  thì số nghiệm trên D của phương trình f(x)=g(x) không nhiều hơn một. 
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của phương trình f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a.
*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a.
Vậy phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục  trên D thì 
Để giải phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số thông thường ta làm theo các bước:
Tìm điều kiện của ẩn.
Chọn hàm số f(x).
Xét sự đơn điệu của hàm số f(x).
Dựa vào bảng biến thiên hoặc tính đơn điệu để kết luận.
II. Một số bài toán áp dụng.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
 .
Giải:
1) Với bài toán này  nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau.
Tập xác định: 
Xét hàm số 
 , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và
 nên hàm số f(x) luôn đồng biến trên D.
Mặt khác, ta thấy f(1)=4
*Nếu x > 1 suy ra f(x) > f(1) = 4 nên pt vô nghiệm
*Nếu x < 1 suy ra f(x) < f(1) = 4 nên pt vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh đó cho.
Chú ý:
* Với các hàm số y=ax+b với a > 0  là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra VT của phương trình là hàm đồng biến.
* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương.
2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của phương trình là một hàm đồng biến và phương trình có nghiệm x =1. Do đó phương trình này có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1) 
3) Với đường lối như hai bài trên thì khá khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x2+1=(2x2)+1, do vậy nếu đặt thì phương trình đã cho trở thành:
trong đó là một hàm liên tục và có nên f(t) luôn đồng biến. Do đó
Vậy phương trình có nghiệm x =1, x =-1/2.
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:
 (2x2 + 4x + 5) – (x2 + x + 3) = x2 + x + 3
do vậy nếu đặt u = x2 + x + 3, v = 2x2 + 4x + 5 khi đó v – u = x2 + x + 3 và u, v > 0
 khi đó phương trình trở thành:
trong đó f(t) = log3t + t với t >0 . Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy . 
Có nhiều phương trình để giải nó ta dự đoán được một số nghiệm và sau đó ta chứng minh số nghiệm của phương trình không vượt quá số nghiệm ta vừa dự đoán. Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 
Giải: 
1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0 và x=1. Ta chứng minh phương trình đã cho có không quá hai nghiệm. Để có điều này ta cần chứng minh hàm số g(x) = 2003x + 2005x – 4006x – 2 có g''(x)>0 (và khi đó g'(x) có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng với g”(x) = 2003xln22003 + 2005xln22005 >0 
Vậy phương trình đó cho có hai nghiệm x=0 và x=1.
2) Đk: x> -1/2.
(*) ó 3x + x = 1+2x + log3(1+2x) ó 3x + log33x = 1+2x + log3(1+2x) ó f(3x) = f(1+2x) với 
f(t) = t + log3t là một hàm liên tục và đồng biến trên (0; + ¥)
 Do đó
Xét hàm số , ta có: , suy ra phương trình g’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn đến phương trình g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x=0 và x=1 là hai nghiệm của phương trình g(x)=0 nên phương trình đó cho có hai nghiệm x=0 và x=1.
Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán về  phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó hi vọng HS có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những dạng phương trình nào có thể sử dụng tính đồng biến, nghịch biến để giải . Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình.
Ví dụ 3 : Giải các bất phương trỡnh sau:
Giải:
1) ĐK: .
Xét hàm số 
Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6. Do đó f(x) ≤ f(1) ó x ≥ 1. Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của Bpt là:. 
2) ĐK: .
Xét hàm số ta có
suy ra f(x) là hàm đồng biến, lại có f(1) = , nên f(x) < f(1) ó x <1
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là  -2 ≤ x < 1
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
Giải: 
Từ (2) ta suy ra được |x|,|y| ≤1. ta có (1) óx3 – 3x = y3 – 3y ó f(x) = f(y) trong đó f(t) = t3 – 3t
với |t| ≤1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1] nên f(x) = f(y) ó x = y 
Thay x = y vào (2) ta có được x = y = ± 1/ 2.
Ví dụ 5: Giải hệ pt:
Giải: Từ phương trình (1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số
Từ (2) và (3) ta có 0 < x, y < 
(vì hàm số f(t)=sint -3t là hàm liên tục và nghịch biến trên (0; )
Thay x =y vào (2) ta được nghiệm của hệ là: x = y = 
Chú ý:
*Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương pháp, là một phương trình của hệ có dạng f(x)=f(y), dẫn đến ta khảo sát tính đơn điệu của hàm số f(t)
* Một chú ý khi sử dụng tính đơn điệu là chúng ta chỉ có được f(x) = f(y) ó x = y khi f(t) liên tục và đơn điệu trên D
Ví dụ 6:Giải hệ .
.
Giải:  Xét hàm số f(t) = t3 + 3t – 3 + ln(t2 – t + 1) trên R
Khi đó hệ có dạng : .
ta có:
nên f(t) là hàm đồng biến. Ta giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ và x=Max{x,y,z} khi đó, ta suy ra y = f(x) ≥ f(y) = z => z = f(y) ≥ f(z) = x. 
Hay x ≥ y ≥ z ≥ x suy ra x = y = z, thay vào hệ ta được phương trình: 
 x3 + 3x – 3 + ln(x2 – x + 1) =0. Ta dễ dàng chứng minh được phương trình này có nghiệm duy nhất x=1
Vậy x = y = z =1 là nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của m pt luôn có hai nghiệm thực phân biệt (KB, 2007).
Giải: 
Ta có (*) ó (x-2)(x3 +6x2 – 32 – m) = 0 ó x= 2 hoặc x3 +6x2 – 32 – m = 0 (1). Phương trình (*) luôn có một nghiệm x = 2, ta chứng minh (1) luôn có một nghiệm với mọi m > 0. Thật vậy, xét hàm f(x) = x3 +6x2 – 32 trên (2; +¥), ta có f’(x) = 3x2+ 12x > 0 với mọi x > 2. Ta có bảng biến thiên:
x 
2 +¥ 
f’(x)
+
 f(x) 
 + ¥ 
0
Dựa vào bảng biến thiên ta có với mọi m >0 pt (1) luôn có duy nhất một nghiệm.
Vậy (*) luôn có hai nghiệm thực phân biệt. 
III. Một số bài tập tương tự.
  Bài 1: Giải các phương trình sau:  
 Bài 2: Giải các bất phương trình sau
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
 .
 .
 .
 .
.
. 
Bài 4: Giải và biện luận phương trỡnh
Bài 5. xác định m để pt sau có nghiệm 
 (KB, 2004).
C. Kết luận.
Trên đây, tôi trình bày một số ví dụ áp dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. Nhìn chung, đây là một dạng toán hay nhưng cũng tương đối khó khăn trong việc phát hiện ra dấu hiệu áp dụng và giải đối với nhiều học sinh. Để học sinh làm tốt các bài toán dạng này giáo viên cần cho HS rèn luyện nhiều, đồng thời cần phân tích dấu hiệu áp dụng đối với mỗi bài toán để tập cho HS cách nhìn nhận, phân tích các bài toán khác. Tuy nhiên, do quỹ thời gian và kiến thức còn hạn chế nên đề tài trên có thể có khiếm khuyết, tôi rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp để tôi có thể nhìn nhận và hoàn thiện hơn kiến thức của mình, nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
	Giao Thuỷ, ngày 18 tháng 04 năm 2011
	Người viết
	Đặng Thị Mai.