Phương pháp hàm số trong bài toán tham số về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình


−
+
=
x
x
x
x
xx
x
xf 
 Suy ra hàm số )(xf nghịch biến 2>∀x 
 1)(lim)( >⇔>⇔
+∞→
txfxf
x
 Cách 2: Ta có 2>x . 
 Mà 4
2
2
−
+
=
x
x
t
2
24
−
+
=⇔
x
x
t 
1
)1(2
2)2(
4
4
4
−
+
=⇔
+=−⇔
t
t
x
xxt
 Do ñó: 



>
−<
⇔


−<
>
⇔>−⇔
>
−
⇔>
−
+
1
1
1
1
01
0
1
4
2
1
)1(2
2
2
4
44
4
t
t
t
t
t
tt
t
x ∞− 
2
1
− 1 
'y — 0 + 
y ∞+ 12 
2
3
− 
5
 Mặc khác 10 >⇒> tt 
 Lúc ñó : (*) )()(
12
2
22
1 2
tfmg
t
tt
mt
t
m =⇔
+
+
=⇔=−




 +⇒ 
 Xét hàm số 
12
2
)(
2
+
+
=
t
tt
tf 
• Miền xác ñịnh : ( )+∞= ,1D 
• ðạo hàm : 
( )
⇒>
+
++
= 0
12
222
)('
2
2
t
tt
tf hàm số ñồng biến 
• Giới hạn : +∞=
+∞→
)(lim tf
t
• Bảng biến thiên: 
 Vậy ñể phương trình có nghiệm : 11)( >⇔> mmg 
g) 03)cot(tancottan 22 =++++ xxmxx 
ðặt xxt cottan += 2cottan 222 ++=⇒ xxt 
Tìm ñiều kiện cho t : 
2cot.tan2cottancottan ≥⇔≥+=+= txxxxxxt 
 (vì )1cot.tan =xx 
Lúc ñó : )()(101
2
2 tfmg
t
t
mmtt =⇔
+
=−⇔=++ 
Xét hàm số 
t
t
tf
1
)(
2 +
= 
• Miền xác ñịnh: ),2()2,( +∞∨−−∞=D 
• ðạo hàm : Dx
t
t
tf ∈∀>
−
= 0
1
)('
2
2
• Giới hạn : ±∞=+=
±∞→±∞→ t
t
tf
tt
1
lim)(lim
2
• Bảng biến thiên : 
x 1 ∞+ 
'y + 
y ∞+ 
 1 
x ∞− 2− 2 ∞+ 
'y + + 
y 
2
5
− ∞+ 
 ∞− 
2
5 
6
 Vậy ñể phương trình có nghiệm: 





>
−<
2
5
2
5
m
m
Bài 2.Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt 
 a) mxxxx =−+−++ 626222 44 
 b) 6164164 4 3434 =++−+++− mxxxmxxx 
 Bài làm : 
a) mxxxx =−+−++ 626222 44 (1) 
 ðiều kiện : 60
06
02
≤≤⇔



≥−
≥
x
x
x
 Xét hàm số xxxxy −+−++= 626222 44 
• Miền xác ñịnh: [ ]6,0=D 
• ðạo hàm 
xxxx
y
−
−
−
−+=
6
1
)6(2
1
2
1
)2(2
1
'
4 34 3
0
6
1
2
1
)6(2
1
)2(2
1
0'
4 34 3
=
−
−+
−
−⇔=
xxxx
y 
0
6
1
2
1
)6(2
1
6
1
2
1
2
1
6
1
2
1
44444
=








−
++







−
+
−
+





−
−⇔
xxxxxxxx
44 6
1
2
1
xx −
=⇔ 
xx −=⇔ 62 
2=⇔ x 
• Bảng biến thiên: 
ðể (1) có hai nghiệm phân biệt: )44(3)66(2 44 +<≤+ m 
x 0 2 6 
'y + 0 — 
y )44(3 4 + 
)66(2 4 + 12124 + 
7
 b) 6164164 4 3434 =++−+++− mxxxmxxx 
ðặt )0(1644 34 ≥++−= tmxxxt 
Lúc ñó : 066 22 =−+⇔=+ tttt 




−=
=
⇔
)(3
)(2
lt
nt
Với mxxxmxxxt −=+−⇔=++−⇔= 16164161642 3434 (*) 
Xét hàm số : xxxxf 164)( 34 +−= 
• Miền xác ñịnh: RD = 
• ðạo hàm : 
 1684)(' 23 +−= xxxf 
 016840)(' 23 =+−⇔= xxxf 
 


=
−=
⇔
2
1
x
x
• Giới hạn 
 +∞=+−=
+∞→+∞→
)164(lim)(lim 34 xxxxf
xx
 +∞=+−=
−∞→−∞→
)164(lim)(lim 34 xxxxf
xx
• Bảng biến thiên: 
Vậy ñể có hai nghiệm khi : 271116 − mm 
3.Tìm m ñể phương trình xmx cos12 =+ có ñúng 1 nghiệm thuộc )
2
,0(
π 
Bài làm: 
Biến ñổi phương trình: 1cos2 −= xmx (1) 
Nhận xét: (1) có nghiệm khi 0≤m 
( vì 0>m lúc ñó 0,0 VPVT ) 
Lúc ñó (1) m
x
x
x
x
m −=






⇔
−
=⇔
2
2
2
2
4
2
sin2
1cos 
x ∞− -1 2 ∞+ 
'y — 0 + 0 + 
y ∞+ ∞+ 
 16 
 -11 
8
 m
x
x
2
2
2
sin
2
2
−=






⇔ (2) 
 ðặt 
2
x
t = . Vì 




∈⇒




∈
4
,0
2
,0
ππ
tx 
 (2) m
t
t
m
t
t
2
sin
2
sin
2
2
2
−=




⇔−=⇔ 
 Xét hàm số: 
t
t
tf
sin
)( = 
• Miền xác ñịnh 




=
4
,0
π
D 
• ðạo hàm Dt
t
ttt
t
ttt
tf ∈∀<
−
=
−
= 0
)tan.(cossincos.
)('
22
( vì tttDt ⇒∈ tan,0cos ) 
Do ñó hàm )(tf nghịch biến 
• Giới hạn : 
 1sinlim)(lim
00
=




=
→→ t
t
tf
tt
• Bảng biến thiên: 
Vậy ñể phương trình có ñúng một nghiệm : 
22
2
2
4
2
1
12
8
1
sin8
1)(
22
ππππ
−<<−⇔<−<⇔<




<⇔<< mm
t
t
tf 
4.Tìm m ñể phương trình mxxm +=+ 22 có ba nghiệm phân biệt 
Bài làm: 
Biến ñổi phương trình: xxm =−+ )12( 2 
122 −+
=⇔
x
x
m (vì 222 ≥+x ) 
Xét hàm số 
12
)(
2 −+
=
x
x
xf 
• Miền xác ñịnh : RD = 
t 0 
4
π 
)(' tf – 
)(tf 1 
π
22 
9
• ðạo hàm : 
222
2
)12(2
22
)('
−++
+−
=
xx
x
xf 
 220)(' 2 =+⇔= xxf 
 2±=⇔ x 
• Giới hạn 
 1
1
)12(
lim
12
lim)(lim
2
2
2
=








+
++
=







−+
=
+∞→+∞→+∞→ x
xx
x
x
xf
xxx
 1
1
)12(
lim
12
lim)(lim
2
2
2
−=








+
++
=







−+
=
−∞→−∞→−∞→ x
xx
x
x
xf
xxx
• Bảng biến thiên: 
Vậy ñể phương trình có 3 nghiệm phân biệt: 22 <<− m 
Loại 2: Bài toán tìm m ñối với bất phương trình 
Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x 
a) 12562 >++− mxxx 
b) 0139. ≥+− xxm 
c) 04. 4 ≥+− mxxm 
Bài làm : 
a) Xét hàm số : mxxxxfy 256)( 2 ++−== 




<<−++−=
≥∨≤+−+=
=
)51(5)3(2)(
)51(5)3(2)(
)(
2
2
2
1
xxmxxf
xxxmxxf
xf 
 ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x 
{ } 1)3(),5(),1(min1)(min 111 >−⇔>⇔ mfffxf 
 51
056
10
1
2
1
1)3(
1)5(
1)1(
2
1
1
1
<<⇔
















<+−
>
>
⇔
>−
>
>
⇔ m
mm
m
m
mf
f
f
 Vậy với 51 << m bất phương trình có nghiệm ñúng với mọi x 
x ∞− 2− 2 ∞+ 
'y — 0 + 0 — 
y 1− 2 
 2− 1 
10
b) ðặt )0(3 >= tt x 
Lúc ñó : )()(1101.
2
22 tfmg
t
t
mtmtttm ≥⇔
−
≥⇔−≥⇔≥+− 
Xét hàm số 
2
1
)(
t
t
tf
−
= 
• Miền xác ñịnh ( )+∞= ,0D 
• ðạo hàm : 
4
22
)('
t
tt
tf
−
= 



=
=
⇔=−⇔=
2
0
020)(' 2
t
t
tttf 
• Giới hạn : 02lim)(lim
4
2
=




 −
=
+∞→+∞→ t
tt
tf
xx
• Bảng biến thiên: 
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x )(max)( tfmg ≥⇔ 
4
1
≥⇔ m 
c) Biến ñổi bất phương trình có dạng : xxm 4)1( 4 ≥+ 
 )()(
1
4
4
xfmg
x
x
m ≥⇔
+
≥⇔ 
 Xét hàm số 
1
4
)(
4 +
=
x
x
xf 
• Miền xác ñịnh RD = 
• ðạo hàm 
( )24
4
1
124
)('
+
−
=
x
x
xf 
4 3
1
0)(' ±=⇔= xxf 
• Giới hạn : 0)(lim =
±∞→
xf
x
• Bảng biến thiên: 
x 0 2 ∞+ 
'y + 0 — 
y 
4
1 
∞− 0 
11
Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x 
 4 27)(max)( ≥⇔≥⇔ mxfmg 
Bài 2: Tìm m ñể bất phương trình có nghiệm 
a) 13 +≤−− mxmx 
b) xxx m
222 sincossin 3.32 ≥+ 
c) 062342 >−++− mxxx 
Bài làm : 
a) 13 +≤−− mxmx 
ðiều kiện : 3≥x 
ðặt )0(3 ≥−= txt 
Lúc ñó : 1)3( 2 +≤−+ mttm
2
1
1)2(
2
2
+
+
≤⇔+≤+⇔
t
t
mttm 
 )()( tfmg ≤⇔ 
Xét hàm số: 
2
1
)(
2 +
+
=
t
t
tf 
• Miền xác ñịnh [ )+∞= ,0D 
• ðạo hàm 
( )22
2
1
22
)('
+
+−−
=
t
tt
tf 
 310)(' ±−=⇔= xtf 
• Giới hạn : 0
2
1
lim)(lim
2
=
+
+
=
+∞→+∞→ t
t
tf
tt
• Bảng biến thiên : 
ðể bất phương trình có nghiệm: 
4
13
)(max)(
+
≤⇔≤ mtfmg 
y 0 4 27
 4 27− 0
x 0 31+− ∞+ 
'y + 0 — 
y 
4
13 + 
2
1 0 
12
x ∞− 
4 3
1
− 
4 3
1 ∞+ 
'y — 0 + 0 — 
b) xxx m
222 sincossin 3.32 ≥+ (*) 
Chia 2 vế của (*) cho x
2sin3 ta có: 
 )1(
9
1
.3
3
2
3
3
3
2
22
2
22 sinsin
sin
sin1sin
mm
xx
x
xx
≥




+




⇔≥+




 − 
Xét hàm số 
xx
y
22 sinsin
9
1
.3
3
2





+




= là hàm nghịch biến 
Lúc ñó : 
00sinsin11
2
9
1
.3
3
2
9
1
.3
3
2
9
1
.3
3
2
1sin0
22





+




≤




+




≤




+




⇔≤≤
xx
x 
 41 ≤≤⇔ y 
ðể (1) có nghiệm 4max ≤⇔≥ mmy 
c) 062342 >−++− mxxx (*) 
 Xét hàm số 6234)( 2 −++−= mxxxxf 





≤≤−++−=
≥∪≤+−+=
=⇔
)31(9)2(2)(
)31(5)3(2)(
)(
2
2
2
1
xxmxxf
xxxmxxf
xf 
 Vậy (*) có nghiệm 0)(max >⇔ xf { } 0)2();3();1(max 222 >+⇔ mfff 










<<⇔
>+−
>+
>−
⇔
>+
>
>
⇔ 51
056
056
062
0)2(
0)3(
0)1(
2
2
2
2
m
mm
m
m
mf
f
f
Bài 3: Tìm tất cả m ñể bất phương trình 
3
3 123
x
mxx −≤−+− thoả mãn với 1≥x 
Bài làm: 
 Biến ñổi bất phương trình về dạng:
3
3 123
x
xmx −+≤ 
4
36 12
3
x
xx
m
−+
≤⇔ 
 Xét hàm số 
4
36 12
)(
x
xx
xf
−+
= 
• Miền xác ñịnh : [ )+∞= ,1D 
• ðạo hàm : Dx
x
xx
x
xx
xf ∈∀>
+−
=
+−
= 0
4)1(2422
)('
5
33
5
36
• Giới hạn : +∞=+−=
+∞→+∞→ 5
36 422
lim)(lim
x
xx
xf
xx
• Bảng biến thiên : 
13
 ðể bất phương trình nghiệm ñúng với 1≥x 
)()(min mgxf ≥⇔ 
3
2
23 ≤⇔≤⇔ mm 
Bài 4: Tìm tất cả m ñể bất phương trình m
x
x
≥
−1log
log
2
2
2
2 nghiệm ñúng với mọi 0>x 
Bài làm: 
 ðặt xt 22log= 
 Tìm ñiều kiện cho t : Vì 10 >⇔> tx 
 Lúc ñó : )()(
1
mgtfm
t
t
≥⇔≥
−
 Xét hàm số 
1
)(
−
=
t
t
tf 
• Miền xác ñịnh ( )+∞= ,1D 
• ðạo hàm : 
( )3 212
2
)('
−
−
=
t
t
tf 
20)(' =⇔= ttf 
• Giới hạn : 
( )
=
−
−
=
+∞→+∞→
3 212
2
lim)(lim
t
t
tf
tt
∞+ 
( )
+∞=
−
−
=
++ →→ 3 211 12
2
lim)(lim
t
t
tf
tt
• Bảng biến thiên : 
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi 0>x 
⇔ 0)()( >∀≥ tmgtf mmgtf ≥⇔≥⇔ 1)()(min 
Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình m
xx
<





+−− )32(log 24
4
3 nghiệm ñúng với mọi 
( )0,2−∈x 
y ∞+
 2 
x 1 2 ∞+ 
'y — 0 + 
y ∞+ ∞+ 
1 
x 1 ∞+ 
'y + 
14
Bài làm: 
 ðiều kiện : 130322 +−− xxx 
 Nhận xét : ñề bài yêu cầu thoả mãn ( )0,2−∈x 
 Do ñó ta xét giao của hai tập hợp trên : ( )0,2−∈x 
 Xét hàm số : )32(log)( 24 +−−= xxxf 
• Miền xác ñịnh ( )0,2−=D 
• ðạo hàm 
)32.(2ln2
22
4ln
)32ln(
)('
2
'2
+−−
−−
=




 +−−
=
xx
xxx
xf 
10)(' −=⇔= xxf 
• Bảng biến thiên: 
Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi 
)0,2(−∈x mmxf <




⇔<⇔
3log4
4
3
)(max 
Loại 3: Bài toán tìm m ñối với hệ phương trình 
Bài 1: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm: 





=+
=+−
)2(2
)1(0
xyy
myx
Bài làm: 
Từ (2) suy ra: 




+−
=
≥−
y
yy
x
y
44
02
2 
Lúc ñó (1) có : )()(44044
2
yfmg
y
y
mmy
y
yy
=⇔
−
=⇔=+−
+− 
Xét hàm số 
y
y
yf
44
)(
−
= 
• Miền xác ñịnh ( ] { }0\2,∞−=D 
• ðạo hàm 04)('
2
>=
y
yf .Hàm số ñồng biến trên D 
• Giới hạn 
x 2− 1− 0 
)(' xf + 0 — 
)(xf 1 
 3log4 3l