Phương pháp giải Toán 12 theo chuẩn KTKN - Chủ đề: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có bổ sung bài toán luyện tập

Chủ đề I : A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: 8 bước( 8 dấu :+ )
I / Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) .
1) Tập xác định : +/ D = R . 
2) Sự biến thiên : 
 +/ Chiều biến thiên : 
y’ = 3ax2 + 2bx + c .
y’ = 0 xi = ? ; f(x1) = ? ; f(x2) = ? .
 +/ trên các khoảng (.) và (..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
 Trên khoảng (.) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ., yCT = .
Hàm số đạt cực Đại tại x = ., yCĐ = .
(Chú ý 1 : giả sử f(x1) > f(x2) , thì yCĐ = f(x1) , yCT = f(x2) )
+ / Giới hạn ở Vô cực :
 ? ; ? .
+/ Bảng biến thiên : 
x
- ∞ ?
?
 ? + ∞
y’
 ?
?
?
y
 ?
?
?
3) Đồ thị :
+ ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d .
Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? ., Các điểm khác : 
 +) Đồ thị : y
 0
 x
Chú ý 2 : Vẽ đồ thị hàm số bậc 3 tổng quát ( y’ = 0, có 2 nghiệm x1 < x2 ).
Khi đó đồ thị ( C ) qua 5 điểm A(x1; f(x1)) ; B(x2; f(x2)) ; I (xI ; yI) (điểm Uốn – trung điểm AB ), Điểm M(2x1 – xI ; y2 ) ; điểm N(2x2 – xI ; y1 ) . M và N đối xứng qua I .
Điểm (x;y)
M
A
I
B
N
x
xM
x1
xI
x2
xN
y
y2
y1
yI
y2
y2
II / Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) .
1) Tập xác định : +/ D = R . 
2) Sự biến thiên : 
 +/ Chiều biến thiên : 
y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b ) .
y’ = 0 . 
 +/ trên các khoảng (.) và (..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
 Trên khoảng (.) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ., yCT = .
Hàm số đạt cực đại tại x = ., yCĐ = .
(Chú ý 1 : giả sử f(x1) > f(x2) , thì yCĐ = f(x1) , yCT = f(x2) )
+ / Giới hạn ở Vô cực :
 ? ; ? .
+/ Bảng biến thiên : 
x
- ∞ ?
?
 ? + ∞
y’
 ?
?
?
y
 ?
?
?
3) Đồ thị :
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng.
Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? . Các điểm khác 
Đồ thị : 
 y
 0
 x
III / Hàm số : 
1) Tập xác định : +/ D = R /{ - . }
2) Sự biến thiên : 
 +/ Chiều biến thiên : 
y’ = .
y’ > 0 ( y < 0 ) , D
 +/ : Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (.) và (..) 
 +/ Cực trị : Hàm số không có cực trị .
+ / Tiệm cận và Giới hạn :
 và => tiệm cận ngang : y = . 
? Và ? => tiệm cận đứng : x = . 
+/ Bảng biến thiên : 
x
- ∞ ?
 ? + ∞
y’
 ?
?
y
 ?
?
3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = .
Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = , Đồ thị nhận giao điểm I(;) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng .
 Lấy điểm A(xA ; yA ) , xA = xI +1 , B (xB ; yB ) xB = xA + 2 . A’ , B’ đối xứng A , B qua I .
 y
 0
 x
B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ y = ax3 + bx2 + cx + d ( C )
 2/ y = ax4 + bx2 + c ( C )
BÀI 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a’x3 + b’x2 + c’x + n = 0 (2).
(2) ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; ( ax4 + bx2 + c = k.m )
Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = k.m (vẽ d)
Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ của ( C ).
Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại :
Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) .
Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).
Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p 
HƯỚNG DẪN :
1/ Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) :
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
 y = k(x – x0 ) + y0 ( * )
k = f’(x0) ; thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm .
2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
 y = k(x – x0 ) + y0 ( * )
k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 . 
Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
3/ Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
 y = k(x – x0 ) + y0 ( * )
Trong đó k.k’ = -1 k = . 
thế k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 . 
Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
4/ Các dạng khác : cho biết x0 hoặc y0 tìm các yếu tố còn lại suy ra có (*)
3/ ( C )
Bài toán : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ?
Hướng dẫn : Số giao điểm của f(x;m ) với ( C ) , bằng số nghiệm phương trình : f( x ) = f ( x ; m ) . Từ đó ta tìm ra điều kiện của m cần tìm .
C / CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG CHỦ ĐỀ KSHS VÀ VẼ ĐỒ THỊ, BIỆN LUẬN , VIẾT PTTIẾP TUYẾN .
Bài 1 : Cho hàm số 
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2). Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
Bài 2: Cho hàm số có đồ thị là (Cm).
1). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = -1.
2). Dựa vào đồ thị (C), tìm k để phương trình có đúng hai nghiệm.
Bài 3 Cho (C): ; 
1). Khảo sát và vẽ (C). 
2) Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục Oy. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A.
3/ Tìm m để đường thẳng (d): y = - x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đths biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x - 4y=0.
Bài 5 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = -x3 + 3x – 1, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình: . 
Bài 6 : Cho hàm số , m là tham số, có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = -2.
2). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: y = 24x + 9
3). Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình: 
Bài 7 Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C0) của hàm số. 
2). Tìm tất cả đường thẳng qua A(-1; 3) và cắt (C0) tại 3 điểm phân biệt.
3). Chứng tỏ (Cm) luôn đi qua điểm cố định. Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) 
tại điểm cố định này. Tìm m để tiếp tuyến qua O.
Bài 8 Cho hàm số: : y = x4 -2mx2 + 2m+m4
1). Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) khi m = 1, suy ra đồ thị hàm số .
2). Dùng đồ thị ( C) tìm k để phương trình x4 -2x2 + k -2 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
3). Viết pttt của ( C) biết tiếp tuyến qua M có hoành độ x0 = 
4). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều
* * *
MONG ĐƯỢC SỰ GÓP Ý CỦA ĐỒNG NGHIỆP . CHÂN THÀNH CẢM ƠN