Phương pháp giải phương trình và bất phương trình có chứa mũ và logarit

HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT 
 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT 
TÓM TẮT GIÁO KHOA 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 
1. Các định nghĩa: 
• (n n
n thừa số
a a.a...a= 	
 Z ,n 1,a R)+∈ ≥ ∈
• 1a a= a∀
• 0a 1= a 0∀ ≠
• n n
1a
a
− = { }(n Z , n 1, a R / 0 )+∈ ≥ ∈ 
• 
m
n mna a= ( ) a 0;m, n N> ∈
• 
m
n
m n m
n
1 1a
a
a
− = = 
2. Các tính chất : 
 22
• m n m na .a a +=
• 
m
m n
n
a a
a
−= 
• m n n m m.n(a ) (a ) a= =
• n n n(a.b) a .b=
• 
n
n
n
a a( )
b b
= 
3. Hàm số mũ: Dạng : ( a > 0 , axy a= ≠ 1 ) 
• Tập xác định : D R=
• Tập giá trị : ( ) T R+= xa 0 x> ∀ ∈R
a=
a=
• Tính đơn điệu: 
 * a > 1 : y đồng biến trên R x
 * 0 < a < 1 : y nghịch biến trên x R
• Đồ thị hàm số mũ : 
• 
 a>1 
 y=ax 
y
x1
 0<a<1 
 y=ax
y
x1
Minh họa: 
f(x)=2^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y f(x)=(1/2)^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
y=2x y=
x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
1 
1 x
y y
x1
OO
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Định nghĩa: Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0 
dn M
alog N M a N= ⇔ = 
 23
 Điều kiện có nghĩa: có nghĩa khi Nalog ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≠
>
0
1
0
N
a
a
2. Các tính chất : 
• alog 1 0=
• alog a 1=
• Malog a M=
• log Naa N=
• a 1 2 a 1 a 2log (N .N ) log N log N= +
• 1a a 1 a 2
2
Nlog ( ) log N log N
N
= − 
 24
a• alog N . log Nα = α Đặc biệt : 2a alog N 2. log N= 
3. Công thức đổi cơ số : 
• a a blog N log b. log N=
• ab
a
log Nlog N
log b
= 
 * Hệ quả: 
• a
b
1log b
log a
= và ka
1log N log N
k
= a 
4. Hàm số logarít: Dạng ( a > 0 , a ay log x= ≠ 1 ) 
• Tập xác định : +=D R
• Tập giá trị =T R
• Tính đơn điệu: 
* a > 1 : y l đồng biến trên aog x= +R 
* 0 < a < 1 : y l nghịch biến trên aog x= +R 
• Đồ thị của hàm số lôgarít: 
Minh họa: 
0<a<1
 y=logax 
1 x
y
O
 a>1 
 y=logax 
1
y
x
O
f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
 y=log2x 
x
y
x
y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
xy
2
1log=
1O 1O
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 
 1. Định lý 1: Với 0 < a 1 thì : a≠ M = aN ⇔ M = N 
 2. Định lý 2: Với 0 N (nghịch biến) 
 3. Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN ⇔ M < N (đồng biến ) 
 4. Định lý 4: Với 0 0;N > 0 thì : log≠ a M = loga N ⇔ M = N 
 5. Định lý 5: Với 0 N (nghịch biến) 
 6. Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến) 
 25
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM = aN (đồng cơ số) 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) x 1 2x 19 27+ +=
 2) 
2x 3x 22 4− + = 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 3 4 2) 2x 8 x 5.3 27 0+ +− + = x x x6.9 13.6 6.4 0− + = 3) x x( 2 3 ) ( 2 3 ) 4− + + = 
 4) 2 −− 5) 6) 32 222 =−+ xxxx 027.21812.48.3 =−−+ xxxx 07.714.92.2 22 =+− xxx
 Bài tập rèn luyện: 
 1) 4)32()32 =−+ xx( + ( 1±x ) 
 2) 8 + (x=0) xxx 27.218 =
+=+ xxx
+=+ xxx
 3) 125 (x=0) 13250
 4) 25 (x=0) 12210
 5) x x8 ) ( 3 8 ) 6+ + − =( 3 ( )2±=x 
 6) (x=0) xxx 8.21227 =+
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : alog M log Na= (đồng cơ số 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
1) 22 1
2
1log log (x x 1)
x
= − − 
2) [ ]2log x(x 1) 1− = 
3) 2 2log x log (x 1) 1+ − =
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 2
2 2
6 4 3
log 2x log x
+ = 2) 051loglog 2323 =−++ xx 
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM ≥
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
3 6x
4x 11
2x 6x 8
1) 2 1
12) 2
2
−
− −
+ +
>
⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
x x
2x 1 x
1) 9 2.3 3
2) 5 5 4+
< +
> + 
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : ( ) a alog M log N ≥
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
 1) 22 2log (x x 2) log (x 3)+ − > + 
 2) 20,5 0,5log (4x 11) log (x 6x 8)+ < + + 
 3) 21 3
3
log (x 6x 5) 2 log (2 x) 0− + + − ≥ 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số 
 Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 
 22 2log x log x 2 0+ − ≤ 
VII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH: 
 Ví dụ : Giải các hệ phương trình 
 1) 
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log (9x ) log y 3
⎧ − + − =⎪⎨ − =⎪⎩
 6) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−
= −−
4)(log)(log
)
3
1()3(
22
2
yxyx
yxyx
 2) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=−−
25
11log)(log
22
4
4
1
yx
y
xy
 7) 
y
3
3 4 x( x 1 1)3
x
y log x 1
⎧ −+ − =⎪⎨⎪ + =⎩
 3) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+
−=
+
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
 8) ⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=−
2)(log
11522.3
5 yx
yx
 4) ⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
+=−
102
1
yx
xxy 9) x 4 y 3 0
log x log y 04 2
− + =
− =
⎧⎨⎩
 5) 10) 
⎩⎨
⎧
=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
3
644.2
yx
yx
------------------------------Hết--------------------------- 
 26