Phương pháp Giải phương trình - Hệ phương trình (Sử dụng đạo hàm)

 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM) 
Bài 1: Giải phương trình 
 13232 122 +++=+ + xxxxx 
Giải: 
Ta có xxf xx ++= 32)( tăng trên R, nên phương trình tương đương 
 )1()2( += xff x 12 +=⇔ xx 
Hàm số )1(2)( +−= xxg x xác định trên R 
 ( )exxgxg x 22// loglog0)(12ln2)( ≥⇔≥⇒−= 
Vậy phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm trên ( ))(loglog; 22 e∞− v ( )∞+;)(loglog 22 e 
Thử trực tiếp tìm được hai nghiệm là 1;0 == xx 
Bài 2: Giải phương trình 
 1514312log 1143125 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−++−− −−−++−− xxxxxxxx 
Giải : 
Điều kiện 1≥x .Đặt 0114312 ≥−−−++−−= xxxxt (chứng minh) 
phương trình tương đương 15)1(log5 −=+ tt 
⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎩⎨
⎧
=
+=⇔−=−
+=⇔
⎩⎨
⎧
+=
+=⇔
ty
t
ty
y
t
y t
yt
t
y
t 15
(*)55
15
15
15
0=⇔ t 
0114312 =−−−++−−⇔ xxxx 
52 ≤≤⇔ x 
Bài 3: Giải phương trình 
 3 24 42442
2
1 −+−= xxxx 
Giải : 
021224 234 =−+−−⇔ xxxx 
Xét hàm số 12412421224 23/234 +−−=⇒−+−−= xxxyxxxxy 
Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số có trục đối xứng x =1 
Do đó đặt 1+= Xx , ta có phương trình 
⎢⎢⎣
⎡
+±=
−±=⇔=+−
1141
1141058 24
x
xXX 
Bài 4: Giải phương trình 
 ( ) xxx coscos 4.342)cos1( =++ 
Giải : 
Đặt 11cos ≤≤−= yyx ( ) yyy 4.342)1( =++⇔ 
Đặt ( ) 142
4.4ln.6)(1
42
4.3)( 2
/ −+=⇒−−+= y
y
y
y
yfyyf 
 1
( )2/ 424.4ln.160)( yyyf +=⇔= 
Đây là phương trình bậc hai theo y4 , nên có không quá 2 nghiệm. Vậy theo định lý Roolle 
phương trình 0)( =yf có không quá 3 nghiệm. 
Ta có 1,
2
1,0 === yyy là 3 nghiệm của phương trình 0)( =yf 
Suy ra phương trình có nghiệm πππππ 2
3
2,
2
,2 kxkxkx +±=+== 
Bài 5: Giải phương trình 
 13
1
24log 2626
2
2008 −−=++
+ xx
xx
x 
Giải : 
241
2008
2008
1
24 226
26
2
224
126
+=++⇔=++
+
+
++
xxx
xx
x
x
xx
 vì hàm số xxxf 2008.)( = tăng trên R 
Giải phương trình 013013 326 ≥−−⇔=−− uuuxx phương trình chỉ có nghiệm trong (0,2) 
Đặt 
2
0cos2 π<<= ttu 
2
13cos =⇒ t 
Suy ra phương trình có nghiệm 
9
cos2 π±=x 
Bài 6: Giải phương trình 
xx
xx
cossin
2
5.sin
2
5.cos ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
Giải : 
Cosx = 0 và sinx = 0 không là nghiệm . Xét 
2
πkx ≠ 
xx
xx
cos
2
5
sin
2
5 cossin ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⇔ 
Xét hàm số 0,12
5
)( ≠<
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
= tt
t
tf
t
. Hàm số )(tf nghịch biến 
Suy ra ππ kxxx +=⇔=
4
cossin 
Bài 7: Giải phương trình 
 322
32
54log)2(
2
2
2 +=+
++++ x
x
xxx 
Giải : 
Đk 032 >+x [ ] 322log3221)2(log1)2( 2222 +++=+++++⇔ xxxx 
Đặt )0(log)( 2 >+= ttttf 
Tương tự 
 2
Phương trình có nghiệm 1−=x 
Bài 8: Giải phương trình 
xx
xx 20072007
19751975
cos
1
sin
1cossin −=− 
Giải : 
x
x
x
x 2007
1975
2007
1975
cos
1cos
sin
1sin −=− 
1cos;1sin == xx không là nghiệm của phương trình 
Đặt hàm số )1;0()0;1(1)( 2007
1975 ∪−∈−= t
t
ttf 
Ta có 020071975)( 2008
1974/ >+=
t
ttf nên hàm số tăng trên mỗi khoảng 
)(:)0;1( tft −∈ chỉ nhận giá trị dương 
)(:)1;0( tft∈ chỉ nhận giá trị âm 
Nên ππ kxxxxfxf +=⇔=⇔=
4
cossin)(cos)(sin 
Bài 9: Giải phương trình 
 xxxxxx 4422 cos2cos3sin.sin22cos.
2
cossin.
2
sin −+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ππ 
Giải : 
( ) xxxxxx 442222 cos2cos2coscos22cos.
2
coscos.
2
cos −+−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇔ ππ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−⇔ xxxxxx 224224 cos.
2
coscos2cos2cos.
2
cos2cos22cos ππ 
Xét hàm số 10.
2
cos2)( 2 ≤≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−= tttttf π . )(tf giảm 
3
cos2cos)(cos)2(cos 2222 πkxxxxfxf =⇔=⇔= 
Bài 10: Giải phương trình 
 [ ] 35)37634(log337634)37634(2 2223293342 =+−+++−+−+− xxxxxxxx 
 Giải : 
Đặt )87(376342 ≥+−= txxt 
)256.256(log256.22.35).2(log.2 32
32562833
2
3 ttt tt ==⇔ 
Hàm số ).2(log.2)( 323 tttf tt= đồng biến trên [ )∞+;1 
4;3025637634256 2 ==⇔=+−⇔=⇔ xxxxt 
Bài 11: Giải phương trình 
 )16cos2cos4(log2cos
2
1
2
1 3
4
2sin2
−−+=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ xxx
x
 Giải : 
 3
Đặt )1
3
1(2cos ≤<= yxy 
)13(log
2
12 4
1 −+=+⇔ − yyy 
Đặt )1(132)13(log2 ≤−=⇔−= tyyt t 
Ta có hệ ty
y
ty ty
t
y
+=+⇔
⎩⎨
⎧
−=
−+=
22
132
122 
Xét hàm số uug u += 2)( , hàm số đồng biến trên R 
 0132)(132 =+−=⇔−=⇔ ttft tt 
Xét hàm số 132)( +−= ttf t , sử dụng định lý Roll cm phương trình có không quá 3 nghiệm 
Phương trình có nghiệm )(31 Ltt == , suy ra phương trình có nghiệm πkx = 
Bài 12: Giải phương trình 
 11 7.4.128343.864 −− +=− xxxx 
Giải : 
Đặt 17.2;4;2 −=−== xx cba 
03333 =−++⇔ abccba 00
2
)()()()(
222
=++⇔=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−+−++⇔ cbaaccbbacba 
07.242 1 =+−⇔ −xx 
Xét hàm số 7ln.7.
7
24ln.4)(7.242)( /1 xxxx xfxf +−=⇒+−= − 
Phương trình 0)(/ =xf có nghiệm duy nhất nên theo định lí Lagrange phương trình 0)( =xf 
không có quá 2 nghiệm phân biệt 
Phương trình có nghiệm 2;1 == xx 
Bài 13: Giải phương trình 
 )32(log)22(log 232
2
322
−−=−− ++ xxxx 
Giải : 
Điều kiện xvx <−< 31 
)32(log)22(log 2347
2
348 −−=−−⇔ ++ xxxx 
Đặt 347 +=a và 322 −−= xxt 
tt aa log)1(log 1 =+⇔ + 
Đặt ty alog= 
1
1
1
1
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+⇔
yy
aa
a 1=⇔ y là nghiệm duy nhất 
Phương trình có nghiệm 34111 +±=x 
Bài 14: Giải hệ phương trình 
 4
( )( )( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=
+=
4loglog
4loglog
4loglog
35
35
35
xz
zy
yx
Giải : 
Hệ phương trình không đổi qua phép hoán vị vòng quanh zyx ==⇒ 
Từ đó ta có ( )4loglog 35 += xx , đặt xt 5log= 
1
3
14
3
5 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⇔
tt
Phương trình có đúng 1 ngiệm 2=t do hàm số 1
3
14
3
5)( =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
tt
tf nghịch biến 
Hệ phương trình có 1 nghiệm 25=== zyx 
Bài 15: Giải hệ phương trình 
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−+
−−=−
−
04122
2
322
222
2
21
xyxxyx
xyyx
x
Giải : 
Từ phương trình (2) 2
211)2(
x
xyxyx −=⇔=+⇔ 
(1) 22
2
2
212
2
12 2
21
2
21
x
x
x
x x
x
x
x −=−⇔ +
−
+
−
xét hàm số 0
2
12ln2)(
2
2)( / >+=⇒+= tt tfttf 
22
2
2
21
2
1
x
x
x
x −=−⇔ 
Hệ phương trình có 1 nghiệm 
4
3,2 −== yx 
Bài 16: Giải hệ phương trình 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+++=++
+
+=−
1)2(log2)62(log3
1
1
23
2
222
yxyx
y
xe xy 
Giải : 
Đk 062 >++ yx và 02 >++ yx 
(1) 1)1ln(1)1ln( 2222 +++=+++⇔ yyxx 
Hàm số 1ln)( >+= ttttf đồng biến trên );0( ∞+ 
yxyx ±=⇔+=+⇔ 11 22 
.Nếu 3;31)6(log)2( 3 −==⇔=−⇔−= yxxyx 
 5
.Nếu yx = 
 (2) uxx 6)1(log2)2(log3 23 =+=+⇔ 
 ⎪⎩
⎪⎨
⎧ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇔=+
=+⇔ 1
9
8
9
1
21
32
3
2 uu
u
u
x
x 
Hàm số 
uu
ug ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
9
8
9
1)( nghịch biến trên R, suy ra 1=u là nghiệm duy nhất 
Hệ phương trình có 2 nghiệm 
4
3,2 −== yx và 7;7 == yx 
Bài 17: Giải hệ phương trình 
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++
−=−
+
++
2
7
2
32
)2(342
2
2
128
12
yx
xy
yx
y
x
Giải : 
Đk 0; ≥yx 
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
+=+⇔
++
++
732
43232
12
12)4(12
yx
yx
yx
yx
Hàm số xxf x 32)( 12 += + đồng biến trên [ )∞;0 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
⇔=+
=⇔=+
=⇔
5
1
5
4
1
4
)1()(
)4()(
y
x
yx
yx
fyxf
yfxf
Bài 18: Giải hệ phương trình 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−−=
−−=
)52coscos8(logcos
)52coscos8(logcos
)52coscos8(logcos
2
2
2
zyz
yxy
xzx
Giải : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
++=
++=
++=
⇔
4228
4228
4228
2
2
2
ZY
YX
XZ
Z
Y
X
Hàm số ( )422
8
1)( 2 ++= ttf t đồng biến trên ⎥⎦
⎤⎜⎝
⎛ 1;
2
1 
( )422
8
1 2 ++===⇔ XZYX X 
Giải bằng đồ thị ⎢⎣
⎡
===
===⇔
)(2
1
lZYX
ZYX
Hệ phương trình có 2 nghiệm πππ 2;2,2 mzlykx === 
 6
Bài 19: Giải hệ phương trình 
⎩⎨
⎧
+=+
+=+
2)(coslog)sin31(log
2)(sinlog)cos31(log
32
32
xy
yx
Giải : 
Đk 0sin;cos ≥yx 
)(sinlog)sin31(log)(coslog)cos31(log 3232 yyxx =+=++⇒ 
Hàm số tttf 32 log)31(log)( ++= 03ln
2
2ln)31(
3)(/ >++=⇒ tttf đồng biến trên 0>∀t 
xy cossin =⇒ 
Thay vào phương trình (1) 2)(coslog)cos31(log 32 +=+⇒ xx 
Lập BBT hàm số vvvg 32 log)31(log)( −+= với ( ]1,0cos ∈= xv phương trình chỉ có 2 nghiệm 
3
1cos,1cos == xx 
Bài 20: Giải hệ phương trình 
3 4
2 2 3
28
2 18 2
x y y
x y xy y
⎧ − =⎪⎨ + + =⎪⎩
Giải: 
 Hệ tương đương 
( )3 3
2
28 (1)
0
( ) 18 2 (2)
y x y
x y
y x y
⎧ − =⎪ ⇒ > >⎨ + =⎪⎩
 (2)
43 8x y
y
⇒ = − , thay vào (1) được: 
3
4
33 8 28y y y
y
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 (3) 
 Đặt 0t y= > , (3) trở thành: ( )34 32 2 6 9 343 8 28 3 8 28 0t t t t t tt
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− − = ⇔ − − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 Xét hàm ( )39 34( ) 3 8 28f t t t t= − − + ta có: 
 ( )8 2 34'( ) 9 9 3 8 28 0, 0f t t t t t= + − + > ∀ > 
 Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0;+∞) phương trình f(t) = 0 nếu có nghiệm 
trên Khoảng (0;+∞) thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Từ đó suy ra hệ phương trình đă cho nếu 
có nghiệm (x0, y0) thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất của hệ. 
 Nếu chọn x = 2y thì từ (1) ta có: 4 4 2 2 2y y x= ⇔ = ⇒ = . Rỏ ràng cặp số (2 2; 2) 
thỏa (2). 
 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2 2; 2) . 
Bài 21: Tìm số nghiệm của nằm trong khoảng )2;0( π của phương trình 
2
5)sin10sin12sin8( 246cos2
2 +=+− exxxe x 
Giải : 
7
0 1
1
t
g'
g
1-
3
6
0+ _
-5 f
u0 1
6
t
f' 0+ _
0
Đặt 10sin 2 ≤≤== tyxt 
2
5)10128( 23)1(2 +=+−⇔ − etxtxte t 
Xét hàm số )10128()( 23)1(2 tttexf t +−= − [ ] )(..2)10128(2)102424()( )1(2232)1(2/ tgetttttexf tt −− −=+−−+−=⇒ 
Với )112412(2)(522248)( 2/23 +−=⇒−+−= tttgttttg 
Lập bảng biến thiên, suy ra phương trình 0)( =tg có nghiệm duy nhất 
6
310, −<<= uut 
Lập bảng biến thiên hàm số )(tf , suy ra phương trình 0)( =tf có nghiệm duy nhất 
uvvt <<= 0, 
Suy ra phương trình vx ±=sin có 4 nghiệm phân biệt )2,0( π∈x 
 8