Phương pháp đổi biến số trong tích phân - Nguyễn Thanh Trung

Phương pháp đổi biến số 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 1 1/28/2010 
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: 
Dạng I : 
b
a
f(x)dx . 
Đặt x (t)  với  là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn[ ; ]  và a ( );b ( )      
Khi đó 
b
a
f(x)dx f( (t)) '(t)dt


    
Các bài toán dạng I: 
a) 2 2f(x) k x  Đặt x ksin t với t [ ; ]
2 2
 
  
Ví dụ : Tính 
1
2
0
4 x dx 
Ta đặt x 2sin t với t [ ; ]
2 2
 
  
x 2sin t dx 2 cos tdt
x 0 t 0
x 1 t
6
  
  

  




Vậy 
1 6
2
0 0
6 6 62
00 0
4 x dx 4 cost cos tdt
14 cos tdt 2 [1 cos2t]dt 2(t s in2t)
2
3
3 2

  
 
    

 
 
  
b) 
2 2
1f(x)
k x


 Đặt x ksin t với t ( ; )
2 2
 
  
Ví dụ : Tính 
1
2
2
0
1 dx
1 x
 
Ta đặt x sin t với t ( ; )
2 2
 
  
Phương pháp đổi biến số 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 2 1/28/2010 
x sin t dx cos tdt
x 0 t 0
x t
1
2 6
  
  

  




Vậy 
1
62
2
0 0
6
0
cos t1 x dx dt
cos t
dt
6


 

 
 

c) 
2 2
1f(x) ;
x k


 Đặt x k tan t; t ( ; )
2 2
 
   
Ví dụ : Tính 
2 3
2
0
1 dx
x 4
x 2 tan t với t ( ; )
2 2
 
  
1 2x 2 tan t dx 2. dt 2(1 tan t)dt2cos t
     
x 0 t 0
x 2 3 t
3
   

 
  
Vậy 
2 3 23
2 2
0 0
3
0
1 2(1 tan t)dtdx
  x 4      4(1 tan t)   
1 dt
2 6




 

 
 

Dạng II : 
b
a
f( (x)) '(x)dx  . 
Đặt t (x) dt '(x)dx     với (a); (b)      và F(t) là 1 nguyên hàm của f(t). 
Phương pháp đổi biến số 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 3 1/28/2010 
Khi đó 
(b)(b)b
a (a) (a)
f( (x)) '(x)dx f(t)dt F(t)

 
     
Bài tập: 
1. Tính các tích phân : 
a) 
1
2
0
1 x dx b) 
1
2
0
1 dx
4 x
 c) 
1
2
0
1 dx
x 4
2. Tính các tích phân : 
a) 
0
2
1
1 dx
x 2x 4  
 b) 
1 3
8
0
x dx
x 1
 c) 
1
2
0
1 dx
x x 1 
3. Tính các tích phân 
a) 
2
2
0
sin x dx
cos x 3


 b) 
1 5
22
4 2
1
x 1 dx
x x 1


 
4. Tính các tích phân 
a) 
1
0
1 dx
2x 1 b)
1
2
0
2x 1 dx
x x 1

 
 c) 
1 x
x
0
e dx
e 1
5. Tính các tích phân 
a) 
4
0
tan xdx

 b) 
2
4
co t xdx


 c) 
24
0
1 2sin xdx
1 sin2x


 
6. Tính các tích phân 
a) 
36
0
3sinx 4sin xdx
1 cos3x


 b) 
e
1
ln xdx
x c) 
e 5
1
ln xdx
x 
7. Tính các tích phân 
a) 
2e
e
l dx
x ln x b) 
e
1
sin(ln x)dx
x c) 
e
1
lnx dx
x 1 lnx
d) 
3
2
e
e
l dx
x ln x.ln(ln x) e) 
e
1
lnex dx
1 x ln x f) 
e
2
1
1 dx
xcos (1 lnx)
8. Tính các tích phân 
Phương pháp đổi biến số 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 4 1/28/2010 
a) cosx
0
e sin xdx

 b) 
2
sin x
0
e cosxdx

 c) 
2
1
x
0
xe dx 
d) 
1 x x
x x
0
e e dx
e e




 e) 
ln10 x
3 x
ln3
e dx
e 2
 f) 
1
x
0
1 dx
e 1
9. Tính các tích phân 
a) 
2
2
0
cos xdx

 b)
2
2
0
sin xdx

 c) 3
0
sin xdx

 
d) 
2
3
0
cos xdx

 e) 
2
2
0
sin x cosxdx

 f) 
2
5 3
0
cos xsin xdx

 
g) 
2
4
0
sin xdx

 h) 
2
2
0
cos 4xdx

 i) 
2
2 4
0
sin x cos xdx

 
10. Tính các tích phân 
a) 
1
2
0
x x 1dx b)
1
33 4
0
x x 1dx c) 
1
3 2
0
x x 1dx 
d) 
1
0
x x 1dx e) 
9
4
x dx
x 1
 f) 
7
3
3
0
x 1 dx
3x 1


 
11. Tính các tích phân 
a) 
1
2
1
2
1 dx
x(x 1) b) 
2
2
0
x(x 1) dx c) 
ln 2 2x 1
x
0
e 1dx
e
 
 
d) 
3 2
3
0 2
x dx
(x 1)
 e) 
1 x
x
0
e (1 x) dx
1 xe


 f) 
1
x
0
1 dx
e 1