Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

thu được . Hãy xét kết quả của bài toán khi ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật với ba kích thước là a,b,c
Bài làm
Vì ABCD.A'B'C'D' là tứ diện đều
Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNPQ
Trong đó M, N,P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB', AD', D'C,B'C.
Do AB'CD' là tứ diện đều nên B'D' vuông AC
Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông nên có diện tích là (a2:2)
Bài 21 ( BT 55a - tr 124 - sbt)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a Gọi C1là trung điểm của C'C
 tính góc giữa hai đường thẳng C1B và A'B'. Tính góc giữa hai mặt phẳng (C1AB) và (ABC)
Bài làm 
Vì AB//A’B’ nên góc giữa BC’’ và A’B’ là góc giữa BC’’ và AB, Dễ thấy AC’’=BC’’ nên ABC’’ là tam giác cân . từ đó 
 Vậy góc giữa AB và BC’’ là Gọi M là trung điểm của AB thì 
Từ đó 
Cũng từ kết quả trên, ta có và CMC’’ là tam giác vuông tại C
Nên góc giữa mplà 
Ta có 
Vậy hay góc giữa mp(ABC’’) và mp(ABC) bằng 30o
ĐỀ BÀI 
Bài 1: (VD – tr 101 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD) 
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD
a/ Chứng minh rằng và 
b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi , AB = a
Bài 2: (BT 16 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c
a/ Tính độ dài AD
b/ Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
c/ Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mp (ABC)
Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. 
a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn 
b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC
c/ Chứng minh rằng 
Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có , các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a/ AH, SK, BC đồng quy
b/ 
c/ 
Bài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
a/ Chứng minh rằng: . Tính SG
b/ Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P)
Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)
b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó. 
Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và , SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 
Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK)
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính AB, IJ theo a và x
b/ Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc?
Bài 9: (BT 16 – tr 117 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với BC
a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC
b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J
Bài 10: (BT 26 – tr 119 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
a/ Chứng minh rằng 
b/ Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng minh rằng 
Bài 11: (BT 27 – tr 119 – SBT)
Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuông góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh rằng
a/ ACH và BFK là các tam giác vuông
b/ và 
Bài 12: (BT 28 – tr 119 – SBT)
a/ Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc. 
b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC) . Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.
Bài 13: (BT 42 – tr 122 – SBT)
Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD)
a/ Chứng minh rằng và 
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) 
c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng 
Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT)
Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vuông góc.
Bài 15: (BT 44 – tr 122 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Tính:
a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp
b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp. 
Bài 16: (BT 46 – tr 123 – SBT)
Trong mp (P), cho hình thoi ABCD với AB = a, . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh rằng:
a/ Tam giác ASC vuông
b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau.
 Bài 17 : (BT 45 - tr 122- SBT)
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giác ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC . Chứng minh rằng :
Bài 18 (bt51a - tr 124 - SBT)
Trong mặt phẳng (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P) 
Lời giải
Bài 1: 
1.a/ * CMR: 
+) Ta có: (2 đường cao tương ứng)
 (do )
+) Xét có 
 * CMR: 
Cách 1: 
+) Vì 
+) Có (1đường thẳng với 2 cạnh của 1 tam giác thì với cạnh còn lại)
CM tương tự ta có: 
Vậy 
Cách 2:
+) Vì SB là hình chiếu của SC trên (SAB)
Lại có: 
+) SD là hình chiếu của SC trên (SAD)
Lại có 
Vậy từ (1) và (2) ta có: 
Cách 3: 
+) 
Mà với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) 
+) 
b/ CMR: 
Có 
Mặt khác: BD // MN 
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi , AB = a
+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC và AC
+) Vì có AS = AC = a
 góc cần tìm là 
+) vuông tại B có 
Bài 17 (Đề số 32 – tr 42- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam gíac cân với AB = AC = a và góc , cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm CC’. Chứng minh rằng tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Lời giải
+)SÏ tÝnh ®­îc :
VËy vu«ng t¹i A
+)Chó ý r»ng chÝnh lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña nªn ta cã:
Bài 18 (Đề số 34 – tr 45- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC, góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình lăng trụ bằng . Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BC vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ.
Lời giải
Gäi H lµ trùc t©m .Theo gi¶ thiÕt nªn AH lµ h×nh chiÕu cña trªn mp(ABC)
Ta cã 
 MÆt bªn lµ h×nh ch÷ nhËt
Trong ®Òu c¹nh a H lµ trùc t©m còng lµ träng t©m nªn 
Trong tam gi¸c vu«ng 
VËy 
Bài19 ( Đề CĐ Giao thông Vận tải 2007)(Đề số 35 – tr 46- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, biết AB = AC = AA’ = a (a > 0) .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC’.
Lời giải
Chonj trôc hÖ to¹ ®é 0xyz sao cho c¸c ®Ønh cña h×nh l¨ng trô cã to¹ ®é lµ:
A(0;0;0),B(a;0:0),
C(0;a;0),
cã
 chÐo nhau
KHo¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng AC vµ lµ:
Bài 20 ( Đề CĐ Khối A- 2007)(Đề số 37 – tr 49- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và Sa = 2a. Tính khoảnh cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Lêi gi¶i
Gîi M lµ trung ®iÓm cña BC ta cã ®Òu)
(1)
KÎ t¹i H, theo (1)
. VËy 
Cã AM lµ ®­êng cao cña ®Òu ABC c¹nh 
Cã AH lµ ®­êng cao cña vu«ng SAM ta cã 
 (®¬n vÞ dµi)
Bài 21 ( Đề CĐ cơ khí luyện kim - 2007)(Đề số 38 – tr 49- stt ĐTTS 2002-2003 đến 
2008-2009)
Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc BC, AD = a và khoảng cách từ D đến BC bằng a. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh BC vuông góc mặt phẳng (ADH) và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD, BC.
Lêi gi¶i
+)Theo gi¶ thiÕt ®Òu.
Vµ 
MÆt kh¸c: 
+)Trong mÆt ph¼ng (ADH) dùng 
V× 
KH lµ ®­êng vu«ng gãc chung cña AD vµ BC
Theo gt ta cã: c©n t¹i D
Mµ 
VËy 
Bài 22 ( Đề CĐ sư phạm VP K D-B - 2007)(Đề số 39 – tr 51- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, M và N là trung điểm BC và C’D’. mặt phẳng (AMN) cắt đường thẳng B’C’ ở P. Tính tỉ số 
Lêi gi¶i 
Nèi AM c¾t CD t¹i Q
Gäi 
 (TalÐt)
 ®ång d¹ng 
 ®ång d¹ng 
Bài 23 ( Đề CĐ khối -B - 2007)(Đề số 40 – tr 52- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Lêi gi¶i
c©n vµ 
 c©n vµ 
.VËy 
Bài 24 ( Đề CĐ khối -D - 2007)(Đề số 41 – tr 53- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và . Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD.
Lêi gi¶i
Goi H,K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD, ta cã:
 lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh bµng a
Gäi 
do vµ 
I lµ trung ®iÓm cña SK vµ M,N lÇn l­ît lµ trung diÓm