Phép dời hình & đồng dạng 11

h của M qua IÑ  d: 5x – 2(y + 8) = 0  5x – 2y – 16 = 0. 
(C) có tâm J(6; –2), bán kính R = 6. Gọi J là ảnh của J qua IÑ  J(–4; 0)  (C): 
2 2( 4) 36x y   . 
THPT Tân Bình – Bình Dương. PHÉP DỜI HÌNH & ĐỒNG DẠNG 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 5 
§5. PHÉP QUAY. 
1) ĐỊNH NGHĨA: 
 Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O 
thành M sao cho OM = OM và góc lượng giác (OM, OM) =  được gọi là phép quay tâm O góc quay 
. Ký hiệu ( , )Q O  . 
 O là tâm quay,  là góc quay. Với  < 0 là quay thuận chiều kim đồng hồ. 
 ( ,2 ) ( )Q O M M  : Phép quay 
0360 là phép đồng nhất. 
 ( , ) ( ) ( )Q ÑO OM M M   : Phép quay 
0180 là phép đối xứng tâm. 
 1Vd 0 1 1 1( ,180 ) ( )Q O ABC A B C   ; 0 2 2 2( , 90 ) ( )Q O ABC A B C    ; 0 3 3 3( ,90 ) ( )Q O ABC A B C   . 
2) TÍNH CHẤT: 
 Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ: 
( , ) ( , )( ) , ( )O OQ M M Q N N    thì MN = MN. 
 Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến 
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác 
thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường 
tròn có cùng bán kính. 
 Nếu ( , ) ( )Q O d d  thì: 
 Góc (d, d) =  nếu 00 90  ; 
 Góc (d, d) =  –  nếu 0 090 180  . 
 2Vd Cho đường tròn (O) ngoại tiếp  đều ABC. Lấy 
điểm M trên cung nhỏ AB. Gọi M = 0( ,60 ) ( )Q A M . 
Chứng minh AMM đều và MA + MB = MC. 
Giải: 0( ,60 ) ( )Q A M M   AM = AM và 
 060MAM    AMM đều. 
Ta có góc(AMM) = 60 độ mà góc(AMC) = 60 độ nên M, M, C thẳng hàng  
MM +MC = MC. 
0 0( ,60 ) ( ,60 )
( ) , ( )Q Q
A A
M M B C M C MB     . Do đó MA + MB = MC. 
BÀI TẬP. 
1) Cho hình vuông ABCD tâm O. 
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 090 . 
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc quay 090 . 
 Hướng dẫn: 
a) Gọi E là điểm đối xứng của C qua D, khi đó 0( ,90 ) ( )Q A C E . 
b) 0 0( ,90 ) ( ,90 )( ) , ( )Q QO OC D B C  , khi đó ảnh của BC là đường thẳng CD. 
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương 
trình x + y – 2 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay 090 . 
 Hướng dẫn: 0( ,90 ) ( )Q O d d  , 0( ,90 ) ( )Q O A B  B(0; 2). Vì Ad nên Bd 
và Bd nên qua 0( ,90 ) ( )Q O B C  C(–2; 0)d. Vậy d ≡ BC: 1 2 02 2
x y x y     

. 
3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x; y). Tìm ảnh M của M qua phép quay tâm O góc quay . 
Áp dụng: M(2; –3) và  = – 090 . 
 Hướng dẫn: Ta có OM = OM = a, góc(Ox, OM) =  thì x = acos, y = asin. 
Gọi M(x; y), góc(Ox, OM) =  +  thì x = acos( + ) = acoscos – asinsin = xcos – ysin; 
y = asin( + ) = asincos + acossin = ycos + xsin. Vậy 
cos sin
sin cos
x x y
y x y
 
 
  
   
. M(–3; –2). 
O
B C
A
M
M'
O
D
B
C
A
THPT Tân Bình – Bình Dương. PHÉP DỜI HÌNH & ĐỒNG DẠNG 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 6 
§6. PHÉP DỜI HÌNH. 
1) ĐỊNH NGHĨA: 
 Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. 
F(M) = M, F(N) = N thì MN = MN. 
 Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là những phép dời hình. 
 Các phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình. 
 1Vd Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, 
CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau. 
Giải: 
Gọi G là trung điểm OF. Ta có ( )ÑEH AEJK BEGF và 
( )EOT BEGH FOIC nên hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau. 
2) TÍNH CHẤT: 
 Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm. 
 Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. 
 Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó. 
 Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 
 2Vd Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến ABC thành ABC thì nó cũng biến trọng tâm 
ABC tương ứng thành trọng tâm của ABC. 
Giải: Gọi F là một phép dời hình, ta có F(AB) = AB, F(BC) = BC. Gọi M, N trung điểm AB, BC  
M, N là trung điểm của AB, BC qua F. Do đó các trung tuyến CM, AN của ABC thành trung tuyến 
CM và AN của ABC. Vậy phép dời hình F biến trọng tâm G của ABC tương ứng thành trọng 
tâm G của ABC. 
3) KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU: 
 Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. 
BÀI TẬP. 
1) Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(–3; 2), B(–4; 5) và C(–1; 3). 
a) Chứng minh rằng các điểm A(2; 3), B(5; 4) và C(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép quay 
tâm O góc quay – 090 . 
b) Gọi 1 1 1A B C là ảnh của ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay 
tâm O góc quay – 090 và phép đối xứng trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của 1 1 1A B C . 
 Hướng dẫn: 
a) 0( 3;2), (2;3) . 6 6 0 ( , ) 90OA OA OAOA OA OA            
   
. Mặt khác OA = OA = 13 . Do 
đó phép quay tâm O, góc quay – 090 biến A thành A. Các trường hợp khác tương tự. 
b) Ta có 0( , 90 ) ( )OQ A A  (2; 3) (2; 3)Ox 1 Ñ (A ) = A  . Tương tự 1 1(5; 4), (3; 1)B C  . 
2) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): 2 2 2 4 4 0x y x y     . Tìm ảnh của (C) qua phép dời hình 
có được bằng các thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véctơ (3; 1)v  

 và phép đối xứng qua trục Oy. 
 Hướng dẫn: 
(C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Qua phép ( )vT I I   I(4; –3). Qua phép Oy Ñ (I ) = I  
 I(–4; –3)  (C): 2 2( 4) ( 3) 9x y    . 
3) Cho hình vuông ABCD. Gọi I là tâm hình vuông và E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, 
DA. Chứng minh rằng hai hình thang AEID và FBEH bằng nhau. 
 Hướng dẫn: 
Phép quay tâm I góc quay 090 biến FBEH thành EAHG. Phép đối xứng qua đường 
trung trực của AE biến EAHG thành AEID. Do đó hai hình thang AEID và FBEH 
bằng nhau. 
I
G
J O
H
F
E
K
A B
CD
I
G
F
E
H
A
C
B
D
THPT Tân Bình – Bình Dương. PHÉP DỜI HÌNH & ĐỒNG DẠNG 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 7 
§7. PHÉP VỊ TỰ. 
1) ĐỊNH NGHĨA: 
 Cho điểm O và số k  0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho OM kOM 
 
 được 
gọi là phép vị tự tâm O, tỷ số k. Ký hiệu ( , )O kV . ( , ) ( ) .O kV M M OM k OM   
 
 Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó. 
 Phép vị tự với k = 1 là phép đồng nhất. Phép vị tự với k = –1 là phép đối xứng tâm (tâm vị tự). 
 ( , ) 1( , )( ) ( )O k O
k
V M M V M M    . 
 1Vd Cho ABC. Gọi E, F lần lượt trung điểm của AB, AC. Tìm một phép vị tự biến A thành B; biến 
C thành A; biến B, C thành E, F và ngược lại. 
Giải: 
Ta có ( , 1) ( )EEB EA V A B   
 
; ( , 1) ( )FFA FC V C A   
 
. 
1 1( , ) ( , )
2 2
1 1( ) , ( )
2 2A A
AE AB V B E AF AC V C F     
   
. Vậy phép vị 
tự tâm A tỷ số k = 1
2
 biến B, C thành E, F. Ngược lại phép vị tự tâm A tỷ 
số k =2 biến E, F thành B, C. 
2) TÍNH CHẤT: 
 Phép vị tự tỷ số k biến hai điểm M, N lần lượt thành M, N thì M N kMN  
 
 và MN = |k|.MN. 
 Phép vị tự tỷ số k: 
 Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự giữa các điểm ấy. 
 Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng 
thành đoạn thẳng. 
 Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó theo k, biến góc thành góc bằng nó. 
 Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R. 
 2Vd Cho ABC có A, B, C lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến 
ABC thành ABC. 
Giải: Gọi G là trọng tâm ABC. Ta có 1( , )
2
1 ( )
2 G
GA GA V A A

    
 
, tương 
tự 1 1( , ) ( , )2 2
( ) , ( )
G G
V B B V C C
 
   nên phép vị tự tâm G, tỷ số k = – 12 biến 
ABC thành ABC. 
3) TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN: 
 Với hai đường tròn bất kỳ luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của 
phép vị tự đó được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn. 
 Bài toán: Cho hai đường tròn (I; R) và (I; R) phân biệt. Hãy tìm phép vị tự biến đường tròn (I; R) 
thành (I; R). 
Giải: Ta có ( , )O kV biến đường tròn (I; R) thành (I; R) thì 
Rk
R

 hay Rk
R

  và OI kOI 
 
. 
 Trường hợp I trùng I: Khi đó phép vị tự tâm I tỷ số k biến đường tròn (I; R) thành (I; R). 
 Trường hợp I  I và R  R: 
Lấy MM là đường kính của (I; R) và IM là bán kính (I; R) 
sao cho ,IM I M 
 
 cùng hướng. Gọi O = IIMM và O = 
IIMM. Khi đó phép vị tự tâm O tỷ số Rk
R

 hoặc phép vị 
tự tâm O tỷ số Rk
R

  biến đường tròn (I; R) thành (I; R). 
 Trường hợp I  I và R = R: Khi đó phép vị tự tâm O tỷ số k = –1 biến (I; R) thành (I; R). 
FE
B C
A
G
B'C'
A'B C
A
THPT Tân Bình – Bình Dương. PHÉP DỜI HÌNH & ĐỒNG DẠNG 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 8 
BÀI TẬP. 
1) Cho ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh của ABC qua phép vị tự tâm H, tỷ số ½. 
 Hướng dẫn: 
Ta có 1
2
1
2( , ) ( )HV A A HA HA   
 
  A là trung điểm HA. Tương tự B, 
C thứ tự là trung điểm của HB, HC. 
2) Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được 
một phép vị tự tâm O. 
 Hướng dẫn: Gọi ( , ) ( , )( ) , ( )O k O hV M M V M M    . Khi đó 
( , . ), . ( )O h kOM kOM OM hOM OM h kOM V M M         
     
3) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng : 2x – 3y + 6 = 0 và đường 
tròn (C): 2 2 2 6 6 0x y x y     . Viết phương trình đường thẳng d và đường tròn (C) là ảnh của d và 
(C) qua phép vị tự tâm M(2; 3) tỷ số k = –2. 
 Hướng dẫn: 
  ( , 2)MV d d   d//d  d: 2x – 3y + C = 0. Gọi A(0; 2) tùy ý  d. ( , 2) ( ) 2MV A A MA MA     
 
2 2( 2)
3 2(2 3)
x
y
   
 
   
 A(6;