Phân loại và phương pháp giải Toán 12 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Lê Văn Đoàn

́ đã cho liên tục và xác định trên.
* Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị) có hai ngiệm phân biệt.
có 2 nghiệm phân biệt.
.
d/ Tìm tham sốđể: có cực đại và cực tiểu.
* Hàm số đã cho liên tục và xác định trên.
* Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị)có 2 nghiệm phân biệt.
có 2 nghiệm phân biệt.
.
Thí dụ 2. Tìm tham số m để:
a/ Hàm số có cực trị.
b/ Hàm số 
Có 3 cực trị.
Có cực tiểu mà không có cực đại.
c/ Hàm số không có cực trị.
d/ Hàm số có đúng một cực trị.
Bài giải tham khảo
a/ Tìm tham số m để: có cực trị.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên.
* Ta có: .
* Để hàm số có cực trị thì phương trình có nghiệm .
có nghiệm.
có nghiệm
.
b/ Tìm tham số m để: 
Có 3 cực trị.
Có cực tiểu mà không có cực đại.
* Hàm số đã cho liên tục và xác định trên.
* Ta có: .
Hàm số có 3 cực trịcó 2 nghiệm phân biệt, .
.
Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm .
c/ Tìm tham số m để: không có cực trị.
* Hàm số đã cho liên tục và xác định trên.
* Hàm số không có cực trịvô nghiệm hoặc có nghiệm kép
.
d/ Tìm tham số m để: có đúng một cực trị.
* Hàm số đã cho liên tục và xác định trên.
* Ta có: 
* Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khicó nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm.
Không có tham số m thỏa yêu cầu bài toán.
Thí dụ 3. Chứng mình rằng hàm số: 
a/ luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị .
b/ luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị .
c/ luôn đạt cực trị tại với mọi giá trị và biểu thức không phụ thuộc vào .
Bài giải tham khảo
a/ Chứng minh rằng: luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị .
* Hàm số đã cho liên tục và xác định trên.
* Ta có: và. Do đó, luôn có hai nghiệm phân biệt
 và .
* Bảng xét dấu: 
* Dựa vào bảng biến thiên, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị (đpcm).
b/ Chứng minh rằng: luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị .
* Hàm số đã cho liên tục và xác định trên.
* Ta có: . Cho .
.
* Do đó, thìluôn có hai nghiệm phân biệt: và .
* Bảng biến thiên:
* Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua nghiệmnên hàm số đạt cực đại tại. Hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi đia qua ngiệmnên hàm số đạt cực tiểu tại.
Hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu (đpcm).
c/ Chứng minh rằng: luôn đạt cực trị tại với mọi giá trị và biểu thức không phụ thuộc vào .
* Hàm số đã cho liên tục và xác định trên.
* Ta có: và 
luôn có 2 nghiệm phân biệtvà.
Hàm số luôn có hai cực trị .
* Ta lại có: .
* TừvàĐpcm.
Thí dụ 4. Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa yêu cầu theo sau của bài toán (định lí Viét)
a/ Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm sao cho: .
b/ Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị , đồng thời hai điểm cực trị này thỏa: .
c/ Cho hàm số . Tìm để đồ thị của hàm số có hai cực trị đều dương.
d/ Tìm để đồ thị của hàm số có điểm cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
Bài giải tham khảo
a/ Cho hàm số: . Tìmđể hàm số đạt cực trị tại hai điểm sao cho: .
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên.
* Để hàm số có hai cực trị thì có hai nghiệm phân biệt.
.
* Khi có cực trị, hoành độ cực trị là nghiệm của phương trình.
* Ta có: 
* Theo định lý Viét: 
* Thayvào, ta được:.
* Kết hợp ta được : và thỏa yêu cầu bài toán.
b/ Cho hàm số:. Tìmđể đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị , đồng thời hai điểm cực trị này thỏa: .
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên.
* Để hàm số có 2 điểm cực trị có 2 nghiệm phân biệt.
* Theo định lý Vi-ét và yêu cầu bài toán ta có: 
* So lại với điều kiện là các giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán.
c/ Cho hàm số: . Tìmđể đồ thị của hàm số có hai cực trị đều dương.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên.
* Ta có: .
* Để đồ thị hàm số có hai cực trị dương có hai nghiệm dương phân biệt: 
.
* Vậy là những giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán.
d/ Tìmđể đồ thị của hàm số: có điểm cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên.
* Hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
có 2 nghiệmthỏa.
.
Thí dụ 5. Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa yêu cầu theo sau của bài toán.
a/ Cho hàm số . Tìmđể khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.
b/ Cho hàm số . Gọi là hai điểm cực trị, định để diện tích bằng 2. Vớivừa tìm được, tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB.
c/ Cho hàm số . Tìm tham sốđể hàm số có 3 cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị này là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
d/ Cho hàm số . Tìm tham sốđể hàm số có 3 cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị này lập thành một tam giác đều.
e/ Cho hàm số . Tìm tham sốđể hàm số có 3 cực trị, đồng thời các điểm cực trị A,B,C của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
f/ Cho hàm số . Tìm tham sốđể hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách từ hai điểm ấy đến đường thẳngbằng nhau.
Bài giải tham khảo
a/ Cho hàm số: . Tìmđể khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên.
* Để hàm số có hai cực trị thì có hai nghiệm phân biệt.
có hai nghiệm phân biệt.
có nghiệm
* Gọi hoành độ cực trị của hàm số là , nó cũng chính là 2 nghiệm của phương trình.
* Theo định lý Viet: 
* Giả sử là các điểm cực trị của hàm số. Ta có: 
 (thay vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị)
[thay vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị:]
* Theo đề bài, ta có: 
* Thayvào, ta được: 
* So lại với thỏa yêu cầu bài toán.
b/ Cho hàm số: . Gọi là hai điểm cực trị, địnhđể diện tích bằng 2. Vớivừa tìm được, tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên.
* Ta có: . Cho .
Do đó hai điểm cực trị là.
* Ta có: .
.
* Mà .
* Gọilà khoảng cách từ O đến đường thẳng AB, khi đó:và 
O
A
B
d
.
Khi . Khi .
c/ Cho hàm số:. Tìm tham sốđể hàm số có 3 cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị này là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên.
* Ta có: .
* Để hàm số có 3 cực trịcó 3 nghiệm phân biệtcó 2 nghiệm phân biệt .
* Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là.
.
* Do A, B, C lập thành tam giác vuông cân.
* So với, ta được: .
d/ Cho hàm số:. Tìm tham sốđể hàm số có 3 cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị này lập thành một tam giác đều.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên.
* Ta có: .
* Để hàm số có 3 cực trị thìcó ba nghiệm phân biệtcó 2 nghiệm phân biệt .
* Khi đó: .
* Do 3 điểm cực trị lập thành tam giác đều
. Kết hợp với thỏa yêu cầu bài toán.
e/ Cho hàm số:. Tìm tham sốđể hàm số có 3 cực trị, đồng thời các điểm cực trị A,B,C của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên.
* Ta có: .
* Để hàm số có 3 cực trị thìcó ba nghiệm phân biệtcó 2 nghiệm phân biệt .
* Khi đó, ba điểm cực trị là: .
.
.
f/ Cho hàm số: . Tìm tham sốđể hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách từ hai điểm ấy đến đường thẳngbằng nhau.
* Hàm số đã cho liên tục và xác định trên.
* Để hàm số có cực đại và cực tiểucó 2 nghiệm phân biệt
có 2 nghiệm phân biệt. .
* Gọi là nghiệm của, đó chính là hoành độ cực trị. Khi đó, phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị là: .
 Hai điểm cực trị của đồ thị là: .
* Theo định lí Viét: .
* Theo đề: 
. Kết hợp vớithỏa yêu cầu bài toán.
Thí dụ 6. Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa yêu cầu theo sau của bài toán.
a/ Tìm tham sốđể hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía so với trục tung.
b/ Cho hàm số . Tìm tham số thựcđể hàm số có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị này nằm về hai phía so với trục hoành.
c/ Cho hàm số . Tìm tham số thựcđể hàm số có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị này nằm về hai phía so với đường thẳng .
d/ Tìmđể đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị ở về hai phía khác nhau của một đường tròn (phía trong và phía ngoài): .
Bài giải tham khảo
a/ Tìm tham sốđể hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía so với trục tung.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên.
* Để hàm số có hai cực trịcó 2 nghiệm phân biệt.
Cách giải 1.
 Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị)có 2 nghiệm phân biệt thỏa: .
Cách giải 2.
Gọi là hai nghiệm của.
Để 2 cực trị nằm về 2 phía so với trục tung.
b/ Cho hàm số. Tìm tham số thựcđể hàm số có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị này nằm về hai phía so với trục hoành.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên.
* Để hàm số có 2 cực trịcó 2 nghiệm phân biệt .
có 2 nghiệm phân biệt.
* Phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị: .
* Để 2 điểm cực trị này nằm về hai phía so với trục hoành
.
* Kết hợp với thỏa yêu cầu bài t