Phân loại một số giới hạn cơ bản thường gặp về dãy số

ải : Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của n có số mũ cao nhất trong 
dãy nu , sau ñó dùng các kết quả nêu trên ñể tính. 
Ví dụ 1: Tính 
3
1 3 2
3 7 1
lim
4 3 2
n n
L
n n
− +
=
− +
. 
Giải: Khi n →+∞ thì 0n ≠ nên chia cả tử và mẫu của 
3
3 2
3 7 1
4 3 2
n n
n n
− +
− +
 cho 3n ta ñược 
3
3 3 3
1 3 2
3 3 3
3 7 1
lim
4 3 2
n n
n n nL
n n
n n n
− +
=
− +
2 3
3
7 1
3 3 0 0 3
lim
3 2 4 0 0 44
n n
n n
− + − +
= = =
− +− +
(Ghi chú: 
2 3 3
7 1 3 2
lim lim lim lim 0
n n n n
= = = = ) 
Ví dụ 2: Tính 
7 6
2 8 3
3 8 3
lim
5 2
n n
L
n n n
− +
=
+ +
Nhận xét: Số mũ cao nhất của n trong giới hạn trên là 8n nên ta chia cả tử và mẫu cho 8n . 
Giải: 
7 6
8 8 8
2 8 3
8 8 8
3 8 3
lim
5 2
n n
n n nL
n n n
n n n
− +
=
+ +
2 8
5 7
3 8 3
lim
1 2
5
n n n
n n
− +
=
+ +
0 0 0
0
5 0 0
− +
= =
+ +
. 
Ví dụ 3: Tính 
5
3 2
3 2 4
lim
4 3
n n
L
n n
− + +
=
+ +
Nhận xét: Số mũ cao nhất của n trong giới hạn trên là 5n nên ta chia cả tử và mẫu cho 5n . 
Giải: 
5
5 5 5
3 2
5 5 5
3 2 4
lim
4 3
n n
n n nL
n n
n n n
−
+ +
=
+ +
4 5
3 4 5
2 4
3
lim
1 4 3
n n
n n n
− + +
=
+ +
. 
Vì 
4 5
2 4
lim 3 3 0
n n
 − + + = − < 
 
 và 
3 4 5
1 4 3
lim 0
n n n
 + + = 
 
 nên 
4 5
3
3 4 5
2 4
3
lim
1 4 3
n nL
n n n
− + +
= = −∞
+ +
Giúp học sinh tự học Toán – Biên soạn: ðỗ Cao Long 
 2/6 
Các em học sinh cần lưu ý: Không ñược viết theo cách sau 
4 5
3
3 4 5
2 4
3 3 0 0 3
lim
1 4 3 0 0 0 0
n nL
n n n
− + + − + + −
= = = = −∞
+ ++ +
 (Sai). 
Từ ba ví dụ trên ta có nhận xét: 
Với dãy số 
( )
( )n
f n
u
g n
= , trong ñó ( ) ( ),f n g n là các ña thức ẩn số n, ta có 
♣ Nếu ( ){ } ( ){ }bËc bËcf n g n> thì lim nu = ±∞ ; 
♣ Nếu ( ){ } ( ){ }bËc < bËcf n g n thì lim 0nu = ; 
♣ Nếu ( ){ } ( ){ }bËc = bËcf n g n thì lim n
a
u c
b
= = (hằng số khác 0). Trong ñó a là hệ số 
của n có số mũ cao nhất trong ( )f n ; ñó b là hệ số của n có số mũ cao nhất trong ( )g n . 
Dạng 2: Giới hạn dãy số 
( )
( )n
f n
u
g n
= , trong ñó ( ) ( ),f n g n là các biểu thức có chứa căn. 
Ta biết, ña thức ( ) 11 1 0...k kk kp x a x a x a x a−−= + + + + có bậc là k ; 
Ta quy ước (ñễ dễ tính toán, không phải là kiến thức chuẩn ): 
Biểu thức 11 1 0...
k k
k ka x a x a x a
−
−+ + + + có bậc là 2
k
; 
Biểu thức 13 1 1 0...
k k
k ka x a x a x a
−
−+ + + + có bậc là 3
k
. 
Ví dụ: 
ða thức ( ) 6 34 3 2p x n n n= − + có bậc là 6; 
Biểu thức 23 2 1n n+ + có bậc là 
2
1
2
= ; 3 3 7n n+ + có bậc là 
3
2
. 
Với dạng này ta cũng giải như Dạng 1, tức là chia cả tử và mẫu của dãy số cho n có bậc 
cao nhất. 
Chú ý: 2 2; k kn n n n= = và 3 33 3; k kn n n n= = dùng ñể ñưa các lũy thừa vào trong 
dấu căn. 
Chẳng hạn: ( )2 3 21 1n n n n n n+ = + = + ; ( ) 32 6 7 63 3. 2 2 2n n n n n n+ = + = + ; 
3 3 3
3 3
5 23 35 5
2 2 1
2. 2.
n n n
n nn n
= = = 
Ví dụ 4: Tính 
2
4 2
2 3
lim
3 2 1
n n n
L
n
+ + +
=
− +
. 
Nháp: 
Căn 2 2 3n n+ + có bậc bằng 
2
1
2
= ; n có bậc bằng 1 nên bậc cao nhất của 2 2 3n n n+ + + 
là 1; 22 1n + có bậc là 1 nên 23 2 1n− + có bậc cao nhất là 1. 
Vậy ta chia cả tử và mẫu cho 1 2n n n= = ñể tính. 
Giúp học sinh tự học Toán – Biên soạn: ðỗ Cao Long 
 3/6 
Giải: 
Ta có 
2
4 2
2 3
lim
3 2 1
n n n
n nL
n
n n
+ +
+
=
+
−
2
2
2
2
2 3
1
lim
3 2 1
n n
n
n
n n
+ +
+
=
+
−
2
2
2 3
1 1
lim
3 1
2
n n
n n
+ + +
=
− +
Suy ra 4
1 1 0 0 2
2
0 2 0 2
L
+ + +
= = = −
− + −
. 
Ví dụ 5: Tính 
3
5
2 3 2
lim
1 3 4
n n n
L
n n
+ + +
=
+ +
. 
Nháp: 
Bậc cao nhất của 32 3 2n n n+ + + là 
3
1,5
2
= ; 
bậc cao nhất của ( )2 2 31 3 4 1 3 4 3 4n n n n n n n+ + = + + = + + là 3
2
. 
Vậy ta chia cả tử và mẫu của dãy số cho 3n (có bậc bằng 
3
2
) 
Giải: 
3
3 3
5
3 3
2 3 2
lim
1 3 4
n n n
n nL
n n
n n
+ +
+
=
+
+
2 3
3 3
3
3 3
3 2
2
lim
1 3 4
n n n
n n
n n
n n
+ +
+
=
+
+
2 3
3 2
1 3 2
2 1
lim
1 4
3
n n n
n n
+ + +
=
+ +
Suy ra 5
2. 0 1 0 0 1
0 3 0 3
L
+ + +
= =
+ +
Ví dụ 6: Tính 
3 7
6 2
3 2 1
lim
3 7
n n
L
n n
− + +
=
+ +
Nháp: 
Bậc cao nhất của 3 73 2 1n n− + + là 
7
3
; bậc cao nhất của mẫu là 2, suy ra bậc cao nhất trong 
dãy là 
7
3
. Vậy ta cần chia cả tử và mẫu cho 3 7n . 
Giải: 
Ta có 
3 7
3 7
6 2
3 3 37 7 7
3 2 1
lim
3 7
n n
nL
n n
n n n
− + +
=
+ +
7
3
7
6 3
3 3 3
7 7 7
3 2 1
lim
1
3. 7.
n n
n
n n
n n n
− + +
=
+ +
3
6 7
3 3 3
4 7
2 1
3
lim
1 1 1
3. 7.
n n
n n n
− + +
=
+ +
Vì 3 33
6 7
2 1
lim 3 3 0 3 0
n n
 
− + + = − + = − <  
 
 và 3 3 3
4 7
1 1 1
lim 3. 7. 0
n n n
 
+ + =  
 
 nên 
3
6 7
6
3 3 3
4 7
2 1
3
lim
1 1 1
3. 7.
n nL
n n n
− + +
= = −∞
+ +
. 
Giúp học sinh tự học Toán – Biên soạn: ðỗ Cao Long 
 4/6 
Dạng 3: Giới hạn dãy ( ) ( )nu f n g n= ± , trong ñó ( ) ( ),f n g n là các ña thức ẩn số n. 
Sử dụng phép biến ñổi dùng biểu thức liên hợp như sau. 
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f n g n f n g n f n g n
f n g n
f n g n f n g n
− + −
− = =
+ +
 ; 
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f n g n f n g n f n g n
f n g n
f n g n f n g n
+ − −
+ = =
− −
{Dùng hằng ñẳng thức ( )( ) 2 2a b a b a b− + = − } 
Khi ñó ta ñưa ñược dạng này về Dạng 2. 
Ví dụ 7: Tính ( )27 lim 3L n n n= + + − 
Giải: 
( )( )
( )
2 2
7
2
3 3
lim
3
n n n n n n
L
n n n
+ + − + + +
=
+ + +
( )
2
2 2
2
3
lim
3
n n n
n n n
+ + −
=
+ + +
2 2
2
3
lim
3
n n n
n n n
+ + −
=
+ + +
7 2
3
lim
3
n
L
n n n
+
=
+ + +
. 
{Nháp: Cả tử và mẫu ñều có bậc cao nhất bằng 1, nên ta chia cả tử và mẫu cho 1n n= } 
7 2
3
lim
3
n
n nL
n n n
n n
+
=
+ +
+
2
2
3
1
lim
3
1
n
n n
n
+
=
+ +
+ 2
3
1
lim
1 3
1 1
n
n n
+
=
+ + +
1 0 1
21 0 0 1
+
= =
+ + +
Ví dụ 8: Tính ( )28 lim 3 2 1 3L n n n= + + + 
Giải: 
( )( )2 2
8 2
3 2 1 3 3 2 1 3
lim
3 2 1 3
n n n n n n
L
n n n
+ + + + + −
=
+ + −
( ) ( )
2 2
2
2
3 2 1 3
lim
3 2 1 3
n n n
n n n
+ + −
=
+ + −
2 2
2 2
3 2 1 3 2 1
lim lim
3 2 1 3 3 2 1 3
n n n n
n n n n n n
+ + − +
= =
+ + − + + −
{Nháp: Cả tử và mẫu ñều có bậc cao nhất bằng 1, nên ta chia cả tử và mẫu cho 1n n= } 
8 2
2 1
lim
3 2 1 3
n
n nL
n n n
n n
+
=
+ +
−
2
2
1
2
lim
3 2 1
3
n
n n
n
+
=
+ +
− 2
1
2
lim
2 1
3 3
n
n n
+
=
+ + −
Vì 
1
lim 2 2 0 2 0
n
 + = + = > 
 
 và 
2
2 1
lim 3 3 3 0 0 3 0
n n
 
+ + − = + + − =  
 
, và do 
2
2 1
3 3
n n
+ + > nên 
2
2 1
3 3 0, n
n n
+ + − > ∀ . Suy ra 8
2
1
2
lim
2 1
3 3
nL
n n
+
= = +∞
+ + −
Giúp học sinh tự học Toán – Biên soạn: ðỗ Cao Long 
 5/6 
Dạng 4: Giới hạn của dãy có chứa số mũ là n 
Lưu ý các phép biến ñổi: 
nn
n
a a
b b
 =  
 
; ( ). . nn na b a b= ; lim 0nq = nếu 1q < . 
Ví dụ 9: Tính 9
2 4.3
lim
5 7.3
n n
n
L
+
=
−
. 
Nhận xét: Trong các lũy thừa 2 ,3n n thì 3n có “cơ số” bằng 3 là cơ số lớn nhất. Vậy ta sẽ chia 
cả tử và mẫu cho 3n và sử dụng tính chất nêu trên ñể tính. 
Giải: 
9
2 3
4.2 4.3 3 3lim lim
1 35 7.3
5. 7.
3 3
n n
n n n n
n nn
n n
L
++
= =
−
−
2
4
3
lim
1
5. 7
3
n
n
  + 
 =
  − 
 
0 4 4
5.0 7 7
+
= = −
−
. 
Vì 
2 1
1; 1
3 3
< < nên 
2 1
lim lim 0
3 3
n n
   = =   
   
. 
Nhận xét: ðể giải các bài toán tìm giới hạn dạng này, chúng ta chia cả tử và mẫu cho lũy 
thừa có “cơ số” lớn nhất. 
Ví dụ 10: Tính 10
3.2 5.7
lim
4 3.5
n n
n n
L
−
=
+
. 
{Nháp: Trong các lũy thừa 2 , 4 ,5 ,7n n n n thì lũy thừa có cơ số lớn nhất trong dãy trên là 7n } 
Giải: 
Chia cả tử và mẫu của dãy số ñã cho cho 7n ta có: 
10
2 7
3. 5.3.2 5.7 7 7lim lim
4 54 3.5
3.
7 7
n n
n n n n
n nn n
n n
L
−−
= =
+
+
2
3. 5
7
lim
4 5
3.
7 7
n
n n
  − 
 =
   +   
   
. 
Vì 
2 4 5
0 ; ; 1
7 7 7
< < nên 
2 4 5
lim lim lim 0
7 7 7
n n n
     = = =     
     
 nên 
2
lim 3. 5 3.0 5 5 0
7
n   − = − = − <     
 và 
4 5
lim 3. 0 3.0 0
7 7
n n    + = + =    
     
 ñồng thời 
4 5
3. 0,
7 7
n n
n   + > ∀ ∈   
   
ℕ . 
Suy ra 10
2
3. 5
7
lim
4 5
3.
7 7
n
n nL
  − 
 = = −∞
   +   
   
. {Theo ñịnh lý 2, tr117, SGK} 
Dạng 5: Sử dụng các ðịnh lý về giới hạn. 
lim
lim 0
lim
n n
n n
u a u
v v
= 
⇒ =
= +∞
; { }
lim
lim 0 lim
0, 0
dÊu cña 
n
n
n
n
n
u a
u
v a
v
v n
= 

= ⇒ = ∞
> ∀ ≥ 
Ví dụ 11: Cho các dãy ( ) ( ),n nu v thỏa mãn lim 3nu = − ; lim nv = +∞ 
Giúp học sinh tự học Toán – Biên soạn: ðỗ Cao Long 
 6/6 
và 0, 3,n nv u n≠ < − ∀ ∈ℕ . Hãy tính các giới hạn sau 
 a) 11
2
lim
3
n
a
n
u
L
u
+
=
−
 b) 11
2
lim
3
n
b
n
u
L
u
=
+
 c) 11
5
lim
2 3
n
c
n
v
L
v
+
=
−
Giải: 
a) 11
2 lim lim 2 3 2 1
lim
3 lim lim3 3 3 6
n n
a
n n
u u
L
u u
+ + − +
= = = =
− − − −
b) Vì ( )lim 2 lim 2.lim 2. 3 6 0n nu u= = − = − < và ( ) ( )lim 3 lim3 lim 3 3 0n nu u+ = + = + − = , 
ñồng thời 3,nu n< − ∀ ∈ℕ nên 3 0,nu n+ < ∀ ∈ℕ . 
Suy ra 11
2
lim
3
n
b
n
u
L
u
+
= = +∞
−
. 
Nhận xét: Với bài b) này, nếu không chú ý ñến 3 0,nu n+ < ∀ ∈ℕ và ( )lim 2 6 0nu = − < thì 
một số em học sinh sẽ ñi ñến kết quả 11bL = −∞ (Sai). 
c) Do 0,nv n≠ ∀ ∈ℕ nên chia cả tử và của 
5
2 3
n
n
v
v
+
−
 mẫu cho nv , ta ñược 
11
5
lim
2
3.
n
n n
c
n
n n
v
v v
L
v
v v
+
=
−
5
1
lim
2
3
n
n
v
v
+
=
−
1 0 1
0 3 3
+
= = −
−
. Vì lim nv = +∞ nên 
2 5
lim lim 0
n nv v
= = . 
Bài tập tự luyện 
Bài 1: Tính các giới hạn sau 
a) 
8
2 6 8
4 12 1
lim
5 6
n n
n n n
+ −
+ −
 b) 
5 4
6 5
3 2 7