Ôn thi vào lớp 10 Môn Toán

ủa tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm,từ đó tìm được nghiệm thứ2
V. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối cỏc bài toỏn dạng này điều quan trọng nhất là các em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đó cho về biểu thức cú chứa tổng nghiệm và tớch nghiệm để ỏp dụng hệ thức VI-ẫT rổi tớnh giỏ trị của biểu thức
1.Phương pháp: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : () và 	
Dạng 1. 
Dạng 2. 
Dạng 3. 
Dạng 4. 
Dạng 5. Ta biết 
Dạng 6. =
Dạng 7. = =. 
Dạng 8. = = 
Dạng 9. = = ..
Dạng 10. 	
 Dạng 11. 	=	
Dạng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
Dạng13 
2. Bài tập áp dụng: Khụng giải phương trỡnh, tớnh giỏ trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh
	1. 	(34)	2. 	
	3. 	4. 	(46)
b) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh:
	1. 	2. 	
c) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh:
	1. 	2. 	(138)
d) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh:
	1. 	(3)	2. 	(1)
	3. 	(1)	4. 	
 5. 
e) Cho phương trỡnh cú 2 nghiệm x1 ; x2 , khụng giải phương trỡnh, tớnh
HD: 
VI. TèM HỆ THỨC LIấN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHễNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm cỏc bài toỏn loại này,các em làm lần lượt theo cỏc bước sau:
1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1 và x2
 (thường là a ạ 0 và D ³ 0)
2- Áp dụng hệ thức VI-ẫT: 
3- Sau đú dựa vào hệ thức VI-ẫT rỳt tham số theo tổng nghiệm, theo tớch nghiệm sau đú đồng nhất cỏc vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm khụng phụ thuộc vào tham số.Đó chính là hệ thức liờn hệ giữa cỏc nghiệm x1 và x2 không phụ thuộc vào tham số m.
Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh : (1) cú 2 nghiệm . Lập hệ thức liờn hệ 	giữa sao cho chỳng khụng phụ thuộc vào m.
(Bài này đã cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận bước 1)
Giải:
Bước2: Theo hệ th ức VI- ẫT ta cú :
Bước2: Rỳt m từ (1) ta cú :
	(3)
Rỳt m từ (2) ta cú :
	(4)
Bước 3: Đồng nhất cỏc vế của (3) và (4) ta cú:
Vớ dụ 2: Gọi là nghiệm của phương trỡnh : . Chứng minh rằng biểu thức khụng phụ thuộc giỏ trị của m.
Theo hệ thức VI- ẫT ta c ú :
	ĐK:() ;Thay vào A ta c ú:
	Vậy A = 0 với mọi . Do đú biểu thức A khụng phụ thuộc vào m
 1 
	Bài tập ỏp dụng:
1. Cho phương trỡnh : . Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa sao cho độc lập đối với m.
Hướng dẫn: 
 B1: Dễ thấy . Do đú phương trỡnh đó cho luụn cú 2 nghiệm phõn biệt x1 và x2 
 B2: Theo hệ thức VI- ẫT ta cú
 B3: Từ (1) và (2) ta cú:
 2
 Cho phương trỡnh : .
Tỡm hệ thức liờn hệ giữa và sao cho chỳng khụng phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy do đú phương trỡnh đó cho luụn cú 2 nghiệm phõn biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ẫT ta cú
Từ (1) và (2) ta cú:
VII.TèM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRèNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với cỏc bài toỏn dạng này các em làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1 và x2 
(thường là a ạ 0 và D ³ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đó cho, ỏp dụng hệ thức VI-ẫT để giải phương trỡnh (cú ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xỏc định của tham số để xỏc định giỏ trị cần tỡm.
Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh : 
	Tỡm giỏ trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trỡnh c ú 2 nghiệm x1 và x2 l à :
Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú: 	và từ giả thiết: . Suy ra:
	(thoả món điều kiện xỏc định )
Vậy với m = 7 thỡ phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh : .
	Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trỡnh cú 2 nghiệm là :
Theo hệ thức VI-ẫT ta cú: 	và từ giả thiết . Suy ra
Vậy với m = 2 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Bài tập ỏp dụng
	1. Cho phương trỡnh : 
	Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
	2. Cho phương trỡnh : 
	Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức: 
	3. Cho phương trỡnh : . 
	Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Hướng dẫn cỏch giải: 
	Đối với cỏc bài tập dạng này ta thấy cú một điều khỏc biệt so với bài tập ở Vớ dụ 1 và vớ dụ 2 ở chỗ: 
+ Trong vớ dụ thỡ biểu thức nghiệm đó chứa sẵn tổng nghiệm và tớch nghiệm nờn ta cú thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ẫT để tỡm tham số m.
+ Cũn trong 3 bài tập trờn thỡ cỏc biểu thức nghiệm lại khụng cho sẵn như vậy, do đú vấn đề đặt ra ở đõy là làm thế nào để từ biểu thức đó cho biến đổi về biểu thức cú chứa tổng nghiệm và tớch nghiệm rồi từ đú vận dụng tương tự cỏch làm đó trỡnh bày ở Vớ dụ 1 và vớ dụ 2.
BT1: 	- ĐKX Đ: 
	-Theo VI-ẫT: 
	- Từ Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trỡnh sau: 
BT2: - ĐKXĐ: 
- Theo VI-ẫT: 
- Từ : . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta cú phương trỡnh : (thoả món ĐKXĐ)
BT3: - Vỡ với mọi số thực m nờn phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm phõn biệt.
- -Theo VI-ẫT: 
- Từ giả thiết: . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta được phương trỡnh: (thoả món )
VIII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI
	Cho phương trỡnh:	 (a ạ 0) .Hóy tỡm điều kiện để phương trỡnh cú 2 nghiệm: trỏi dấu, cựng dấu, cựng dương, cựng õm .
Ta lập bảng xột dấu sau:
Dấu nghiệm
x1
x2
D
Điều kiện chung
trỏi dấu
P < 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P < 0.
cựng dấu,
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0
cựng dương,
+
+
S > 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S > 0
cựng õm
S < 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S < 0.
Vớ dụ: Xỏc định tham số m sao cho phương trỡnh:
	 cú 2 nghiệm trỏi dấu.
Để phương trỡnh cú 2 nghiệm trỏi dấu thỡ 
Vậy với thỡ phương trỡnh cú 2 nghi ệm trỏi dấu.
Bài tập tham khảo:
	1. cú 2 nghiệm cựng dấu.
	2. cú 2 nghiệm õm.	
	3. cú ớt nhất một nghiệm khụng õm.
IX. TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tớnh chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luụn phõn tớch được:
	 	(trong đú A, B là cỏc biểu thức khụng õm ; m, k là hằng số)	(*)
Thỡ ta thấy : 	 (v ỡ ) 	
	 (v ỡ)	
Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh : 
	Gọi và là cỏc nghiệm của phương trỡnh. Tỡm m để :
	 cú giỏ trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ẫT: 
Theo đ ề b ài : 	
Suy ra: 
Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh : 
	Gọi và là cỏc nghiệm của phương trỡnh. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau:
Ta cú: Theo hệ thức VI-ẫT thỡ : 
Cỏch 1: Thờm bớt để đưa về dạng như phần (*) đó hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
	Vỡ 	
	Vậy m = 1
Với cỏch thờm bớt khỏc ta lại cú:
	Vỡ 
	Vậy 
Cỏch 2: Đưa về giải phương trỡnh bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tỡm điều kiện cho tham số B để phương trỡnh đó cho luụn cú nghiệm với mọi m.
	(Với m là ẩn, B là tham số)	(**)
Ta cú: 
Để phương trỡnh (**) luụn cú nghiệm với mọi m thỡ D ³ 0
hay 	
	Vậy: 	 m = 1
Bài tập ỏp dụng
	1. Cho phương trỡnh : .Tỡm m để biểu thức cú giỏ trị nhỏ nhất.
2. Cho phương trỡnh . Tỡm m sao cho nghiệm thỏa món điều kiện.
3. Cho phương trỡnh : xỏc định m để phương trỡnh cú 2 nghiệm thỏa món
a) đạt giỏ trị lớn nhất
b) đạt giỏ trị nhỏ nhất
4. Cho phương trỡnh : . Với giỏ trị nào của m, biểu thức dạt giỏ trị nhỏ nhất.
5. Cho phương trỡnh . Xỏc định m để biểu thức đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Bài tập 
Bài tập 1:
Biến đổi các phương trình sau thành phương trình bậc hai rồi giải
a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) – 15 b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2 
e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) – 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) – 1 h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
Bài tập 2: Cho phương trình: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0
a) Giải phương trình với m = - 2; 	
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x = -1
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 3 Cho phương trình: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + 5 = 0
a) Giải phương trình với m = 3; 	
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x = - 4; 	
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 4:
Cho phương trình: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = 0
a) Giải phương trình với m = -2; 	
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x = -3
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 5: Cho phương trình: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
a) Giải phương trình với m = -1và m = 3
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 4
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = x2
Bài tập 6: 
Cho phương trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phương trình với m = -2 
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2 
Bài tập 7: 
Cho phương trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0
a) Giải phương trình với m = -3 
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = - 4
c) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = - 2x2
Bài tập 8: 
Cho phương trình : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
a) Giải phương trình với m = - 4 
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 3x2 
Bài tập 9:
Biết rằng phương trình : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm 
x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 10:
Biết rằng phương trình : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm 
x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
x = -1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 11: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0 
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m 
Bài tập 12: Cho phương trình bậc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm g