Ôn thi Tốt nghiệp THPT - Chuyên đề: Thể tích của khối đa diện

hẳng b nằm trong (P). Khi đĩ, điều kiện cần và đủ để b vuơng gĩc với a là b vuơng gĩc với hình chiếu a’ của a trên (P).
ĐL3: Nếu d vuơng gĩc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
ĐL4: ĐL5: ĐL6: 
2. HAI MẶT PHẲNG VUƠNG GĨC
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuơng gĩc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đĩ vuơng gĩc với nhau.
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuơng gĩc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuơng gĩc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuơng gĩc với mặt phẳng (Q). 
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuơng gĩc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuơng gĩc với (Q) sẽ nằm trong (P)
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuơng gĩc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuơng gĩc với mặt phẳng thứ ba.
3. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: là khoảng cách từ điểm đĩ đến hình chiếu của nĩ trên đường thẳng, mặt phẳng. 
 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đĩ H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: là khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đĩ của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: 
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
là độ dài đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng đĩ.
d(a;b) = AB
4. GĨC
1. Gĩc giữa hai đường thẳng a và b 
là gĩc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b (a' //a, b' //b). 
2. Gĩc giữa đường thẳng a khơng vuơng gĩc với mặt phẳng (P) 
là gĩc giữa a và hình chiếu a’ của nĩ trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuơng gĩc với mặt phẳng (P) thì ta nĩi rằng gĩc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.
Cách xác định gĩc
Gĩc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P)
Khi đĩ gĩc giữa d và (P) là gĩc giữa d và d/ 
Xác định gĩc giữa SB và (ABC)
Ta cĩ AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC)
 SB,ABC=SB,AB=SBA
3. Gĩc giữa hai mặt phẳng 
là gĩc giữa hai đường thẳng lần lượt vuơng gĩc với hai mặt phẳng đĩ. 
 Hoặc là gĩc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuơng gĩc với giao tuyến tại 1 điểm
Xác định gĩc giữa (SBC) và (ABC)
Ta cĩ : 
SBC∩SABC=BCSM⊥BCAM⊥BC⇒SBC,SABC=SM,AM=SMA
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì 
trong đĩ là gĩc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NĨN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
3
I/ CÁC CƠNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN :
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V = B.h
(B: Sđáy ; h: chiều cao)
Thể tích khối hộp chữ nhật:
Thể tích khối lập phương:
với a là độ dài cạnh
V = a.b.c
(a,b,c là ba kích thước)
V = a3
(a là độ dài cạnh)
2. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:
V=Bh
(B: Sđáy ; h: chiều cao)
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN
4. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT:
cĩ chiều cao h và cĩ diện tich 2 đáy là B1 và B2 thì thể tích của nĩ là
V=1 3B1+B2+B1.B2h
5. KHỐI NĨN
6. KHỐI TRỤ
7. KHỐI CẦU
Chú ý:
Đường chéo của hình vuơng cạnh a là d = a, 
	Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a, 
	Đường chéo của hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước a, b, c là d = ,
Trong tam giác đều cạnh a, đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác cĩ độ dài là . Các đường này xuất phát từ 1 đỉnh là trùng nhau nên trọng tâm, trực tâm, tâm đường trịn ngoại tiếp - nội tiếp tam giác là trùng nhau. (Chú ý: đường trung trực)
Loại 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
 Sử dụng cơng thức: V=B.h
 Để tính được thể tích của hình lăng trụ ta thường thực hiện theo các bước:
B1: Xác định các yếu tố của giả thiết (như khoảng cách, gĩc giữa đường thẳng với mặt phẳng, gĩc giữa 2 mặt phẳng,...) theo các phương pháp đã biết.
B2: Dựa vào cong thức, ta phân tích V thành các biểu thức chứa những đoạn thẳng phải tính.
B3: Tính những đoạn thẳng ấy bằng cách sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác, tính chất đồng dạng,...
B4: Suy ra giá trị của V.
· Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên.
· Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích các đáy.
 Cho hình lăng trụ:
Lăng trụ đứng 
Lăng trụ xiên 
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều.
 Dạng 1: Khối lăng trụ đứng cĩ chiều cao hay cạnh đáy 
B 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuơng cân tại A cĩ cạnh BC = a và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
B 2: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' cĩ cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ.
B 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
 B 4: Cho hình hộp đứng cĩ đáy là hình thoi cạnh a và cĩ gĩc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp . 
B 5: Một tấm bìa hình vuơng cĩ cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi gĩc tấm bìa một hình vuơng cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật khơng cĩ nắp. Tính thể tích cái hộp này. 
 Dạng 2: Lăng trụ đứng cĩ gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
B 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một gĩc 600 .Tính thể tích lăng trụ.
B 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A với AC = a , = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một gĩc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ.
B 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh avà đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một gĩc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . 
B 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a và = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một gĩc 30o .Tính thể tích của hình hộp.
Dạng 3: Lăng trụ đứng cĩ gĩc giữa 2 mặt phẳng 
B 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một gĩc 600 .Tính thể tích lăng trụ.
B 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một gĩc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
B 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' cĩ cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một gĩc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. 
B 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' cĩ AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một gĩc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một gĩc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật. 
 Dạng 4: Khối lăng trụ xiên 
B1: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 cĩ đáy là hình thoi ABCD cạnh a, A=600. Chân đường vuơng gĩc hạ từ B1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của đáy. Cho BB1=a
a) Tính gĩc giữa cạnh bên và đáy. b) Tính thể tích hình hộp
B 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một gĩc 600 .
	1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
	2) Tính thể tích lăng trụ .
B7 (SGK)
	LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
	với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp.
Lưu ý:
 1) Khối chĩp đều: Hình chĩp đều là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Tính chất:
Đáy là 1 đa giác đều. 
Hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh xuống đáy là tâm của đáy (chân đường cao trùng với tâm của đáy). Đối với đáy là tam giác thi tâm là trọng tâm, đối với đáy là tứ giác thì tâm là giao điểm của 2 đường chéo.
Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau. Đường cao vẽ từ đỉnh của 1 mặt bên gọi là trung đoạn của hình chĩp đều. 
Các cạnh bên hợp với đáy các gĩc bằng nhau. 
Các mặt bên hợp với đáy các gĩc bằng nhau. 
Hình chĩp cĩ các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp mặt đáy.
Hình chĩp cĩ các mặt bên cùng tạo với đáy những gĩc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường trịn nội tiếp mặt đáy.
2) Hình chĩp cĩ cạnh bên vuơng gĩc với đáy 
Cạnh bên của hình chĩp vuơng gĩc với đáy ,điều đĩ cĩ nghĩa cạnh bên đĩ chính là chiều cao của khối chĩp. 
Hình chĩp cĩ một mặt bên vuơng gĩc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đĩ và đáy.
Hình chĩp cĩ hai mặt bên cùng vuơng gĩc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến của hai mp đĩ.
	 Cho hình chĩp
Hình chĩp cĩ cạnh bên vuơng gĩc với mặt đáy.
Đa giác đáy:
Tam giác: vuơng, cân, đều, .
Tứ giác : Vuơng, chữ nhật, 
Hình chĩp đều.
Hình chĩp tam giác đều
Hình chĩp tứ giác đều
_
B
_
AA
_
C
_
D
_
M
_
O
+ Diện tích xungt quanh: Tổng diện tích các mặt bên
+ Diện tích tồn phần :diện tích đáy.
Các khối chĩp đặc biệt :
Khối tứ diện đều:
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều
+ O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO (BCD) 
Khối chĩp tứ giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
+ Đa giác đáy là hình vuơng tâm O
+ SO (ABCD)
Dạng 1: Khối chĩp cĩ cạnh bên vuơng gĩc với đáy 
Phương pháp:
	+ Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.
	+ Tìm diện tích đáy bằng các cơng thức quen biết.
 Dạng 1: Khối chĩp cĩ cạnh bên vuơng gĩc với đáy 
B 1: Cho hình chĩp SABC cĩ SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuơng gĩc với (SBC). Tính thể tích hình chĩp .
B 2: Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với AC = a biết SA vuơng gĩc với đáy ABC và SB hợp với đáy một gĩc 60o.
	1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuơng . 
	2)Tính thể tích hình chĩp .
 B 3: Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuơng gĩc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một gĩc 60o. Tính thể tích hình chĩp .
B 4: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cĩ cạnh a và SA vuơng gĩc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy mộ