Ôn thi Tốt nghiệp môn Toán - Chuyên đề: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

độ giao điểm của hai đồ thị trên chính là nghiệm của phương trình :
 = x + 2m (*) . Để 2 đồ thị trên cắt nhau tại 2 điểm phân
 biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt .
 Ta có 
 = x + 2m 
 Xét phương trình x2 + ( 2m – 7)x – (8m + 1) = 0 có 
 = (2m – 7)2 + 4(8m + 1) >0 m
 Vậy với mọi giá trị của m đồ thị 2 hàm số trên luôn cắt nhau tại 2 điểm
 phân biệt. 
 Ví Dụ 9 : 
 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = mx3 + 3x2 – (1 – 2m)x – 1 cắt trục 
 hoành tại 3 điểm phân biệt.
 Giải : 
Để đồ thị hàm số y = mx3 + 3mx2 – (1 – 2m)x – 1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình mx3 + 3mx2 – (1 – 2m)x – 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
 (x + 1)(mx2 + 2mx – 1) = 0 (*) có 3 nghiệm phân biệt .
 (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình mx2 + 2mx – 1= 0 có 2 nghiệm phân biệt khác – 1 
Vậy với m thuộc các khoảng ( ; - 1) , và (0 ; ) thì hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 
VI. Dùng đồ thị biện luận phương trình:
 f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) 	(1)
 + Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát 
 + Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường 
 thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox.
 Phương pháp: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C)
 và đường thẳng (d). Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số 
 nghiệm.
Ví Dụ 10 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 có đồ thị là (C) 
 Dựa vào đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
 x3 – 3x2 + 4 – m = 0 (*)
 Giải : 
 Đồ thị (C) Tù vÏ Ta có : 
 x3 – 3x2 + 4 – m = 0 
 x3 – 3x2 + 4 = m . Nên số nghiệm của 
 Phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị 
 hàm số y = x3 – 3x2 + 4 và đường thẳng y = m.
Dựa vào đồ thị, ta suy ra số nghiệm của phương trình (*) như sau :
Nếu m > 4 hoặc m < 0 : phương trình (*) có một nghiệm 
Nếu m = 4 hoặc m = 0 : phương trình (*) có 2 nghiệm 
Nếu 0 < m < 4 : phương trình (*) có 3 nghiệm .
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm m để đồ thị các hàm số y = và y = - m + x cắt nhau tại 2
 điểm phân biệt. 
Bài 2 : Tìm m để đồ thị các hàm số : 
y = x3 + 3x2 + mx + 2m và y = -x + 2 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
y = (x – 1)(x2 – mx + m2 – 3) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt .
y = x3 + 2x2 – m2x + 3m và y = 2x2 + 1 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
Bài 3: Cho hàm số có đồ thị (C)
 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt 
 đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
Bài 4 :
 a) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 + 2 có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C),
 hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình :– x3 + 3x2 + 1 – m = 0
 b)Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1. Dựa vào đồ thị (C), hãy biện luận
 theo m số nghiệm của phương trình : - x4 + 2x2 + 1 = 
Bài 5 : 
 a) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 có đồ thị là (C) 
 Dựa vào đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
 x3 – 3x2 + 4 = m2 – 1 
 b) Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1 có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C), hãy biện
 luận theo m số nghiệm của phương trình : x4 – 2x2 – 1 + m = 0 
Buổi 4
VII. Bài toán tiếp tuyến : 
 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
 trong các trường hợp: 
 Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tọa độ M(x0 ; y0):
 B1 : Tìm đạo hàm f’(x) hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x0)
 B2 : Phương trình tiếp tuyến : y = f’(x0)(x – x0) + y0 
 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0
 B1: Tìm đạo hàm f’(x) hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x0), tìm y0
 B2: Phương trình tiếp tuyến : y = f’(x0)(x – x0) + y0 
 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ y0
 B1 : Tìm đạo hàm f’(x)
 B2: giải phương trình f(x0) = y0 tìm được x0, f’(x0) 
 B3: Phương trình tiếp tuyến : y = f’(x0)(x – x0) + y0 
 Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc 
 l là k.
 B1: Tìm f’(x), gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm
 B2: Hệ số góc của tiếp tuyến là k nên:
 f’(x0) = k (*) 
 B3: Giải phương trình (*) tìm x0 tìm được y0 Phương trình tiếp tuyến.
 Chú ý : 
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = a.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = – .
 Ví Dụ 10: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình 
 tiếp tuyển của (C) tại điểm M (1; 5)
 Giải : 
 Ta có : y’ = 3x2 + 6x 
 hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là y’(1) = 9
 phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(1; 5) là:
 y = 9(x – 1) + 5 = 9x – 4 .
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
 tuyển của (C) 
 a) Tại điểm có hoành độ x0 = –1.
 b) Tại điểm có tung độ y0 = 5
 c) Song song với đường thẳng y = 9x + 2009 .
 Bài 17: Cho hàm số y = –x4 + 2x2 + 1 có đồ thị (C) 
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 2.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M( 2; - 7).
 Bài 2 : 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 – 3, biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất.
Bài 3: 
Cho hàm số số y = - x3 + 3x2 – 2, có thị hàm số là ( C), Viết phương
 trình tiếp với đồ thị ( C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương 
 trình y// = 0.
Cho hàm số y = – x3 + 3mx – m có đồ thị là (Cm).Viết phương trình tiếp tuyến với (C1) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình .
Bài 4 :
 Cho hàm số y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 có đồ thị là (Cm).
 Viết phương trình tiếp tuyến của (C2) tại điểm M(0; -1).
Buổi 5 + 6 :
Bài tập luyện tập :
Bài 1: Cho hàm số 	(1)
 a) Tìm các điểm mà giá trị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m.
 b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hs (1) luôn có cực
 trị.
 c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs (1) khi m = 0.
 d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại 3 điểm phân biệt.
Bài 2 : Cho hàm số 	(C)
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C).
	b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của hs (C) tại các giao điểm của nó
 với trục ox.
	c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) vứi đồ thị (P) của hàm số :
 .
Bài 3 : Cho hàm số 
	a) Xá định a để hàm số luôn đồng biến.
	b) Với giá trị nào của a hàm số có cực đại, cực tiểu.
	c) Xác định a để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
	d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với .
Bài 4: Cho hàm số .
	a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hs luôn đồng biến trên các 
 khoảng xác định của nó.
	b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua điểm A(-1; ).
	c) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(-3; 1).
	d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
	e)Viết pt tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
 Bài 5 : Cho hàm số có đồ thị (C).
	a) Khảo sát hàm số.
	b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
	c) Một đường thẳng (d) đi qua O có hệ số góc m. Với giá trị nào của m 
 thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O; A; B.
Bài 6: Cho hàm số có đồ thị (C),
	a) Khảo sát hàm số.
	b) Viết pt tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A(3; -2).
	c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; (d) ; Oy.
Bài 7: Cho hàm số có đồ thị (C),
	a) Khảo sát hàm số.
	b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; trục hoành và đường 
 thẳng x = - 2.
	c) Chứng minh rằng với mọi đường thẳng y = kx cắt(C) tại hai
 điểm phân biệt.
Bài 8 : Cho hµm sè 
	a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè.
	b) ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i t©m ®èi xøng.
	c) Dùa vµo ®å thÞ (C) biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:
	d) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C), trôc hoµnh vµ c¸c ®­êng
 th¼ng x = 1, x = 2.
Bài 9: Cho hµm sè .
	a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè.
	b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; trục hoành, trục tung và
 đường thẳng x = 1.
	c) Mét ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I( 0; 1) cña (C) cã hÖ sè gãc k. BiÖn
 luËn theo k sè giao ®iÓm cña (C) vµ ®­êng th¼ng (d). T×m to¹ ®é giao 
 ®iÓm trong tr­êng hîp k = 1.
Bài 10: Cho hµm sè , m lµ tham sè, ®å thÞ 
 lµ ().
	a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi m = 3.
	b) Gäi A lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ (C) vµ trôc tung. ViÕt pt tiÕp tuyÕn (d) 
 cña (C) t¹i ®iÓm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) vµ tiÕp
 tuyÕn (d).
	c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó () c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt.
Bài 11 : Cho hµm sè .
	1) T×m m ®Ó :
	a) Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.
	b) Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2.
	2) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè khi m = -1.
	3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục tung và đường thẳng 
 x = -2.
Bài 12: Cho hµm sè .
	a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè khi m = -2. ViÕt pt 
 tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i ®iÓm I(0; -4).
	b) T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu.
Bài 13 : Cho hµm sè , cã ®å thÞ (C).
	a) Kh¶o s¸t hµm sè.
	b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (C) vµ ®­êng th¼ng (d) : y = 3x - 2.
	c) TiÕp tuyÕn cña (C) t¹i O c¾t (C) t¹i A. T×m to¹ ®é ®iÓm A.
	d) BiÖn luËn theo k vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña (C) vµ ®­êng th¼ng y = kx.
	e) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.
	f) ViÕt pt tiÕp tuyÕn víi (C) song song víi ®­êng th¼ng : y = 7x.
	g) ViÕt pt tiÕp tuyÕn víi (C) vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng : y = x.
Bài 14 : Cho hµm sè .
	a) Kh¶o s¸t hµm sè khi m = 0. Gäi (C) lµ ®å thÞ.
	b) T×m m ®Ó hµm sè cã 3 cùc trÞ.
Bài 15 : Cho hµm sè , m lµ tham sè, ®å thÞ lµ
 ().
	a) BiÖn luËn theo m sè cùc trÞ cña hµm sè.
	b) Kh¶o s¸t hµm sè khi m = 5.
	c) Gäi (C) lµ ®å thÞ ë c©u b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), 
 trục Ox và đường thẳng x = 5.
Bài 16 : Cho hàm số có đồ thị (C).
	a) Kh¶o s¸t hµm sè.
	b) T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm cã to¹ ®é nguyªn	
c) ViÕt pt ®­êng th¼ng (d) ®i qua A( -2; 2) cã hÖ sè gãc k. BiÖn luËn theo
 k sè giao ®iÓm cña (C) vµ (d).
Bài 17 : Cho hàm số có đồ thị (C).
Kh¶o s¸t hµm sè.
Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng y = -x + m lu«n c¾t ®å thÞ t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.
Bài 18 : Cho hµm sè ( m