Ôn thi Đại học và Cao đẳng - Giải một số bài toán bằng phương pháp tọa độ - Đỗ Thành Lâm

Tìm m để phương trình sau co đúng một nghiệm: (1)
Giải:
Nghiệm của hệ phương trình (nếu có) là tọa độ điểm chung của:
mặt cầu (S): , (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = 1
và mặt phẳng 
Do đó hệ (1) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi (S) và (a) tiếp xúc nhau
Û Û 
TH1:m = 3 nghiệm của hệ là hình chiếu vuông góc H của O trên (a1): 2x – y + 2z – 3 = 0 
 đường thẳng D qua O và vuông góc với (a1) có phương trình 
 giá trị của tham số t tương ứng với điểm chung của (a1) và D là t = Þ H 
TH2: m = -3. Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của O trên (a2): 2x – y + 2z + 3 = 0
 	Þ H’ (tương tự như TH1)
Vậy khi m = 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là 
 khi m = - 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là 
Giải hệ phương trình: (2)
Giải: 
Nghiệm của hệ phương trình (nếu có) là toạ độ điểm chung của:
Mặt cầu (S):, (S) có tâm I(3; -1; 1) bán kính R = 3
và 	 (a): x + 2y + 2z + 6 = 0
ta có 	 
Þ (S) và (a) tiếp xúc nhau
Þ Hệ (2) có nghiệm duy nhất và nghiệm của hệ là hình chiếu vuông góc H của I trên (a)
Đường thẳng D qua I và vuông góc với (a) có phương trình 
 giá trị của tham số t tương ứng với giao điểm của (a) và D là t = -1 Þ H (2; -3; -1)
vậy hệ (2) có nghiệm duy nhất ( x = 2; y = -3; z = -1)
Giải hệ phương trình: (3)
Giải: 
Nghiệm của hệ là tọa độ điểm chung của:
Mặt cầu (S): và đường thẳng D:
D qua M(0; 4; 0) và có VTCP = (-2; 6; 3)
Þ D có phương trình tham số: 
Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung của (S) và D là nghiệm của phương trình:
 Û 
Þ D và (S) có hai điểm chung và 
Vậy hệ (3) có hai nghiệm và 
Chứnh minh rằng hệ phương trình sau vo nghiệm: 
Giải: xét f(x,y,z) = x2 + y2 + 2z2
Đặt: (vô lí)
Vậy hệ vô nghiệm.
Giải hệ phương trình: 
Giải: 
Cách 1: Mặt cầu (S): , tâm O bán kính R = và mp(a): x + y + z – 3 = 0 tiếp xúc với nhau vì 
Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất, 
dễ thấy nghiệm đó là x = y = z = 1 và nghiệm này cũng thỏa (3)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y = z = 1
Cách 2: Xét: f(x,y,z) = x + y + z
Đặt: 
Đẳng thức xảy ra khi cùng phương với hay: (4)
Thế (4) vào (3) ta được x = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 1; y = 1; z = 1)
Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất: 
Giải: 
Số nghiệm của hệ pt là số điểm chung của:
Hình tròn (H): , (H) có tâm I(1; 0) bán kính R = 
và đường thẳng D: x – y + a = 0
Do đó hệ có nghiệm duy nhất 	Û	D tiếp xúc với (H), 
 	Û	
 	Û	
Tìm a để hệ sau có nghiệm: 
Giải: điều kiện 
Nghiệm của hệ phương trình nếu có là tọa độ điểm chung của:
Đường tròn: (C): , tâm O(0; 0) bán kính R =
và nửa mặt phẳng: (a):
Vì O thong nằm trong nữa mặt phẳng (a) nên hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
 	, D: 	 Û	
Kết hợp với điều kiện được 
Tìm a để hệ phương trình sau có hai nghiệm: 
Giải: 
Nghiệm của hệ phương trình nếu có là tọa độ điểm chung của:
Đường tròn: (C): , tâm Ibán kính R =
và đường thẳng D: x + ay - a = 0
Do đó hệ có hai nghiệm 	Û	
	Û	
	Û	
	Û	
Giả sử và là hai nghiệm của hệ phương trình 
 	Chứng minh rằng: 
Giải: 
Vì và là hai nghiệm của hệ phương trình 
nên A và B nằm trên đường tròn (C): , bán kính R = 
 	Þ	AB	2R
 	Û	(đpcm)
Cho ba số thực x, y, z thỏa: . Tìm GTLN và GTNN của 
Giải: 
Xét mặt cầu (S): , tâm O, bán kính R = 1
và mặt phẳng (a): = 0
Đường thẳng D qua O và vuông góc với (a) có phương trình 
giá trị tham số t tương ứng với giao điểm của D và (S) là t = ± 
Þ D và (S) cắt nhau tại 2 điểm: A và B
; 	
Lấy M(x; y; z) Î (S), 
Luôn có 	 Û Û 
Vậy Fmin = 6 đạt khi x = y = ; z = 
	 Fmax = 6 đạt khi x = y = ; z = 
Chứng minh rằng: "a, b, c Î R, ta có: abc(a + b + c) £ a4 + b4 + c4
Giải: 
Ta có: VT = a2bc + ab2c + abc2 và xét hai véctơ 
Þ	 
Từ 	 Þ	VT = a2bc + ab2c + abc2 £ a2b2 + b2c2 + c2a2	 (1)
xét thêm: và Þ 
Do 	(2)
Từ (1) và (2)	 Þ	 abc(a + b + c) £ a4 + b4 + c4
Đẳng thức xảy ra 	Û	
Chứng minh rằng nếu : a > c > 0 và b > c > 0 thì: 
Giải:
 Xét 
Mà 	Þ	
Đẳng thức xảy ra 	Û	
Cho 0 < x, y, z < 1. Chứng minh rằng x(1 – y) + y(1 – z) + z(1 – x) < 1
Giải: 
Ta chọn M, N, P theo thứ tự là ba điểm trên ba cạnh AB, BC, CA của tam giác đều ABC có cạnh bằng 1.
Ûx(1 – y).sinA+z(1 –x)sinB+y(1 – z)sinC < .1.sin600
Û	x(1 – y) + z(1 –x) + y(1 – z) < 1 (đpcm)
Đặt AM = x; CP = y; BN = z thì 0 < x, y, z < 1 và SDAMP + SDMBN + SDNCP < SDABC