Ôn thi đại học Phương trình lượng giác

sin x cosx 2    
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
3. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) (ĐH Giao Thông - 2000) 2 2(sin x cosx)cosx 3 cos2x   
b) (ĐH KTCN TP.HCM - 2000) 2 2cos x 3sin 2x sin x 1   ĐS:
2
x k x k
3

     
c) (ĐH Văn Lang - 98) 4 44(sin x cos x) 3sin 4x 2   ĐS:
k k
x ; x
12 2 4 2
   
     
e) 
1
tan x sin 2x cos2x 2 2cosx 0
cosx
 
     
 
 ĐS: x k
4 2
 
  
f) 3 34sin xcos3x 4cos xsin3x 3 3cos4x 3   ĐS: x k x k
24 2 8 2
   
      
4. (ĐH Kinh Tế - 97) Tìm các nghiệm x 
2 6
;
5 7
  
 
 
 của PT cos7x 3sin7x 2   
ĐS: 
35 53 59
x ; ;
84 84 84
   
 
 
5. Cho PT 3sin 2x mcos2x 1  
a) Giải PT với m 1 ; b) CMR PT có nghiệm với mọi m 
ĐS: a) x k x k
6 2
 
      
6. (ĐH Hùng Vương - 98) Cho PT: cosx msin x 2  
a) Giải PT với m 3 ; b) Tìm m để PT có nghiệm 
ĐS: a) x k2 ; b) m 3
3

   
7. Giải và biện luận PT: 24m(sinx cosx) 4m 2(cosx sinx) 3     
8. (ĐH Mỏ_Địa chất - 98) Cho PT sin x mcosx 1 (1)  
a) Giải PT với m 3  ; b) Tìm m để PT 2(1) msinx cosx m (2)   
ĐS: 
7
a) x k2 x k2 ; b) m 0 m 1
2 6
 
         
9. Cho PT sin x 2mcosx 2m 1   
a) Giải PT với m 1  ; b) Tìm m để PT có nghiệm ;
2 2
  
  
 
ĐS: 
1
a) x k x arctan3 k ; b) m 0
4 2

          
10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 
2cosx sinx 1 cosx 2sinx 3
a) y ; b) y
sinx cosx 2 2cosx sinx 4
   
 
   
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
Dạng 4: PHƢƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS 
A. Các PT cơ bản: 
2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
4 3 2 2 3 4 2 2
1) sin sin cos cos
2) sin sin cos sin cos cos 0
3) sin sin cos sin cos cos sin cos 0
4) sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos 0
a x b x x c x d
a x b x x c x x d x
a x b x x c x x d x e x f x
a x b x x c x x d x x e x f x g x h
  
   
     
       
B. Cách giải 
1. Cách 1: Sử dụng công thức hạ bậc 
Cách 2: * TH1: Xét cos 0x  
* TH2: Xét cos 0x  . Chia cả 2 vế PT cho 2cos 0x  ta được 
2 2 2tan tan (1 tan ) ( ) tan tan 0a x b x c d x a d x b x c d          
2. Với PT thuần nhất bậc 3 và bậc 4 ta giải tương tự 
B. BÀI TẬP 
1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau:: 
a) 2 26sin sin cos cos 2x x x x   
b) 2 2
1
sin sin 2x cos
2
x x   
c) 2 24sin 3 3sin 2 2 os 4x x c x   
d) 2 2sin sin 2 3cos 3x x x   ĐS: 
;
4
x k x k

    
e) 22 3cos 6sin cos 3 3x x x   
ĐS: ;
4 12
x k x k
 
     
f) 2 2sin 2 sin 4 3cos 2 3 0x x x    
ĐS: ;
2 8 2
k k
x x
  
   
g)  2 23sin 4sin 2 8 3 9 cos 0x x x    
h) 2 2cos 3sin 2 1 sinx x x   
ĐS:
3
x k x k

      
i) 2 2
5
4 3sin cos 4cos 2sin
2
x x x x   
j) (ĐH AN - 98) 
1
3sin cos
cos
x x
x
  
ĐS: ;
3
x k x k

    
k) (ĐH AN - 98)
1
4sin 6cos
cos
x x
x
  
ĐS: ; arctan5
4
x k x k

      
l) sin 2 2tan 3x x  ĐS:
4
x k

  
m) (ĐH QGHN - 96) 1 3sin 2 2 tanx x  
ĐS:
3 17
; arctan( )
4 4
x k x k

 

     
n) 2
7
4 3sin cos 4cos cos2
2
x x x x   
ĐS:
3
; arctan( )
3 9
x k x k

      
o) 2cos2 6sin cos 4sin 1x x x x   
ĐS: ;
4
x k x k

    
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
2. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) (ĐH Đà Nẵng - 99) 3 3cos sin sin cosx x x x   ĐS: 
4
x k

  
b) (ĐH Huế - 98) 3 2cos sin 3sin cos 0x x x x   
c) (ĐH Luật - 96) 3 3 24sin 3cos 3sin sin cos 0x x x x x    
d) 3 2 34sin sin cos 3sin 3cos 0x x x x x    ĐS: ;
4 3
x k x k
 
      
e) (ĐH Ngoại Thương - 96) 3 3 2cos 4sin 3cos sin sin 0x x x x x    
 ĐS: ;
4 6
x k x k
 
       
f) 3cos3 2sin 3cos 3sin 0x x x x    ĐS: 
4
x k

  
g) 2cos3 12sin cos 3cos 4sin 0x x x x x    ĐS: ; arctan(1 2)
4
x k x k

     
h) (ĐH Dược TPHCM - 96) 3sin sin2 sin3 2cos cos3 3cosx x x x x x    
ĐS: ; arctan 2
3
x k x k

      
i) 3sin( ) cos( ) 4sin
2 2
x x x
 
    ĐS: 
4
x k

 
j) 
3 1
2sin 2 3cos
cos sin
x x
x x
   ĐS: ;
4 6
x k x k
 
      
k) (ĐH NN - 99) 2sin (tan 1) 3sin (cos sin ) 3 0x x x x x     ĐS: ;
4 3
k k
 
     
l) (PVBCTT - 98) 32 sin ( ) 2sin
4
x x

  ĐS: 
4
x k

  
m) (ĐH QGHN - 98) 38cos ( ) cos3
3
x x

  ĐS: ; ;
6 3
x k x k x k
 
       
n) 2cos( ) sin3 cos3
6
x x x

   ĐS: ; ;
6 3
x k x k x k
 
       
o) 4 2 2 43cos 4sin cos sin 0x x x x   ĐS: ;
4 3
x k x k
 
      
3. Cho PT: 2 2sin (1 )sin2 ( 2)cos 1x m x m x m      
a) Giải PT với 2m  ; b) Tìm m để PT có nghiệm 
4. Cho PT: 23sin ( 1)sin2 2 0x m x m     
Tìm m để PT có 2 nghiệm 
1 2,x x với 1 2;0 và 0;
2 2
x x
    
     
   
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
Dạng 5: PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SIN VÀ COS 
A. Các PT cơ bản: 
PT cơ bản PT hệ quả 
1) (sin cos ) sin cos 0 (1)
2) (sin cos ) sin cos 0 (2)
3) sin cos sin cos 0 (3)
4) sin cos sin cos 0 (4)
a x x b x x c
a x x b x x c
a x x b x x c
a x x b x x c
   
   
   
   
 1) (sin cos ;sin cos ) 0
2) (sin cos ;sin cos ) 0
3) ( sin cos ;sin cos ) 0
4) ( sin cos ;sin cos ) 0
f x x x x
f x x x x
f x x x x
f x x x x
 
 
 
 
B. Cách giải 
1. Đặt sin cos 2 cos 2 sin ( 2)
4 4
t x x t
 
 
   
         
   
2
2 2 2 1sin cos (sin cos ) 1 2sin cos sin cos
2
t
x x t x x t x x t x x

          
2
21(1) ( ) 0 2 2 0 (1')
2
t
at b c bt at c b

         
Giải PT (1’) theo ẩn t với điều kiện 2 2t   
0 0
0 02 cos( ) cos( ) arccos( ) 2
4 4 42 2
t t
t t x t x x k
  
           
(Hoặc ta có 02 sin
4
x t
 
  
 
 ) 
Nếu PT(1’) không có nghiệm thỏa mãn điều kiện thì PT(1) vô nghiệm 
2. Với các PT (2), (3), (4) ta giải tương tự 
Chú ý: với PT (3) và (4) thì điều kiện là 0 2t  
C. BÀI TẬP 
1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) sin cos 2sin cos 1 0x x x x    
ĐS: 2 ; 2
2
x k x k

       
b)  3 sinx+cosx 2sin2 3 0x   
c) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 
d) (1 2)(sin cos ) sin 2 1 2x x x     
ĐS:
3
2 ; 2 ; 2
2 4
x k k k
 
        
e) 2009sin( )sin(2009 ) 2sin 2sin( ) 2
2 2
x x x x
 
     
ĐS: 2 ; 2
2
x k x k

    
f) 
2
(1 sin cos )(sin cos )
2
x x x x   
ĐS:
3 1
2 ; arccos( ) 2
4 4 2
k k
 
 

   
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
g) 6(sin cos ) sin cos 6 0x x x x    
ĐS:
3
2 ; 2
2
x k x k

    
h) (1 sin 2 )(1 cos2 ) 2x x   
ĐS: ;
4
x k x k

    
i) 1 tan 2 2 sinx x  
ĐS:
5 11
2 ; 2 ; 2
12 12 4
x k k k
  
       
j) 2cos( ) sin cos 1
4
x x x

   
ĐS:
2 2
arccos( ) 2
4 2
x k



   
k) sin 2 2 sin( ) 1
4
x x

   
ĐS: ; 2 ; 2
4 2
x k k k
 
       
l) 
1 1
2 2 sin( )
4 sin cos
x
x x

   
ĐS:
3
;
4 4
x k x k
 
     
m) cot tan sin cosx x x x   
n) 2(sin cos ) tan cotx x x x   
o) 
1 1 10
cos sin
cos sin 3
x x
x x
    
2. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) sin cos sin cos 1x x x x   ĐS:
2
x k

 
b) 3 sin cos 2sin2 0x x x   ĐS:PTVN 
c) sin cos 4sin2 1x x x   ĐS:
2
k
x

 
d) | sin cos | 1 4sin2x x x   
3. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) 3 3sin cos 1 3sin cosx x x x   
ĐS: 2 ; 2
2
x k x k

       
b) 3 32(sin cos ) 2 cos2x x x  
ĐS:
4
x k

   
c) 3 3sin cos sin 2 sin cosx x x x x    
ĐS:
2
x k

 
d) 3 3 2sin cos 1 sin 2x x x   
ĐS: 2 ; 2
2
x k x k

    
e) 3 3 2cos 2 sin 2 1 sin 4x x x   
ĐS: ;
2
x k x k

    
p) 3 3sin cos cos2x x x  
ĐS: ; 2 ; 2
4 2
x k x k x k
 
       
f) 3 3sin sin cos
4
x x x
 
   
 
g) 2 sin3 cos3 sin cosx x x x    
h) 2 3 2 3sin sin sin cos cos cosx x x x x x    
 ĐS:
4
x k

  
5. Cho PT: sin 2 4(cos sin )x x x m   . Tìm m để PT có nghiệm 
6. Cho PT: 3 3sin cosx x m  . Tìm m để PT có 3 nghiệm pb (0; )x 
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
DẠNG 6. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC 
I. Công thức hạ bậc 
 Chú ý: 
4 4 2 2
4 4 2 2 2 2
6 6 2 2
6 6 3
8 8 4 2
1 1 1 3 1
1.sin cos 1 sin 2 cos 2 cos4
2 2 2 4 4
2.sin cos (sin cos )(sin cos ) cos2
3 1 3 5 3
3.sin cos 1 sin 2 cos 2 cos4
4 4 4 8 8
1 3
4.sin cos cos 2 cos2
4 4
1
5.sin cos sin 2 sin 2
8
      
     
      
   
  
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
3 3
1
3
6.sin cos3 cos sin3 sin 4
4

 
x
x x x x x
1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) 2 2 2
3
cos cos 2 cos 3
2
x x x   
b) 2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x   
c) 2 2 2sin 3 sin 2 sin 0x x x   
d) 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x  
ĐS: ; ;
4 2 2 6
k
x k k
   
      
e) 2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x    
f) 2 2 2 2sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x   
ĐS: ; ;
2 4 2 10 5
k k
x k
    
    
g) 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   
h) 2
4
cos cos 0
3
x
x   
ĐS:
3
3 ;
4 2
k
x k x
 
    
i) 2 2
21
sin 4 cos 6 sin 10
2
x x x
 
   
 
ĐS: ;
2 20 10
k
x k x
  
    
j) 2 2
17
sin 2 cos 8 sin 10
2
x x x
 
   
 
k) (Khối B - 2002) 
2 2 2 2sin 3 cos 6 sin 5 cos 4x x x x   
ĐS: ;
18 4
k k
x x
 
  
l) 2 2
2 1
cos cos (sin 1)
3 3 2
x x x
    
       
   
ĐS:
5
2 ; 2 ; 2
2 6 6
x k k k
  
      
m) 3 3
3
sin 2 cos6 sin6 cos 2
8
x x x x  
ĐS:
5
;
48 4 48 4
k k
x x
   
    
n) 3 3
2
cos cos3 sin sin3
4
x x x x  
o) 3 3 3cos cos3 sin sin3 cos 4x x x x x 