Ôn thi Đại học môn Toán năm 2015 - Chủ đề: Tích phân - Trương Nhật Lý

25ln2 – 16ln3 13) 
Vấn đề 5: Tích phân hàm vô tỉ
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13)
14) 
15) 
16) 
17) 
B. Bài tập tự luyện: 
Tính các tích phân sau đây:
	Bài 1: 
	 1) 	 2) 	 3) 
	 4) 	 5) 	 6) 
	 7) 	 8) 	 9) 
 	 10) 	 11) 	 12) 
	 13) 	 14)	 15) 
	 16) 	 
	 	 	 21) 
 HD & ĐS:
	 (Cbú ý: Ngoài căn, trong căn cùng bậc 2 thì nên dùng hàm lượng giác)
	4) 2(1 – ln2) 	5) 6) 7)14,2	 8)	 	10)) 	 11) 12) 	 13) 
	14) 	15) 
	Bài 2: 1) 	 2) 3) (p)
	Bài 3: 1) 2) 	
	Bài 4: 1) 	 2) 	 
 HD – ĐS:	 Bài 2: 1) ĐS: Với x = sint
	 2) ĐS: Với u = cost, x + 1 = tgt
	 Bài 3: 1) ĐS: 3 Với t = )
	 2) ĐS:
	 Bài 4: 1) ĐS: -12 Với t = 
	 2) ĐS: 6 Với t = )	
Vấn đề 6: Tích phân các hàm số lượng giác
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
- Đổi biến trong tích phân hàm lượng giác.
- Nắm một số dạng tiêu biểu sau: 
1) 
2) 
3 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
B. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân
	Bài 1: 	()	
	 ()
	Bài 2: 	
	Bài 3: 	 	 
	Bài 4: (®1) 	 (®0)
	 	 (®)
Bài 5: 	
Vấn đề 7: Tích phân các hàm trị tuyệt đối 
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
B. Bài tập tự luyện:
	 I1 = (ĐS: )	 I2 = 	(ĐS: 2)
	 	 I3 = (ĐS: 1)	 I4 = 	(ĐS: 2)
	 I5 = 	(ĐS: )	 I6 = 	(ĐS: 4)
Chủ điểm 2
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Tính diện tích hình phẳng
Phương pháp
 . Diện tích hình thang cong S giới hạn bởi các đường:
 	x = a ; x = b (a < b) ; y = f(x) và y = g(x) = 0 (trục hoành) được cho 	bởi công thức sau: 
	S = 	(1)
 . Tổng quát: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường: x = a ; x = b 
	 (a < b) ; y = f(x) và y = g(x) được cho bởi công thức sau: 
	S = 	(2) 
	Chú ý: · Công thức (2) trở thành công thức (1) nếu g(x) = 0.
	 	 · Tính các tích phân (1), (2): Dùng pp ở vấn đề tính tích phân 	 hàm chứa giá trị tuyệt đối hay dùng đồ thị để phá trị tuyệt đối.
	 · Dùng (1): Nếu (S) giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục Ox thì (C) 	 	phải cắt Ox tại hai điểm có hoành độ là a, b Þ S =.
	 · Dùng (2): Gọi (C): y = f(x), (C’): y = g(x) thì ta phải tìm điểm 	chung của (C) và (C’) trên [a, b]:
	 Nếu tìm được hai điểm chung mà hoành độ là a, b hoặc 	 không có điểm chung Þ S =.
	 Nếu tìm được một điểm chung c [a, b]
	 Þ S = =+ 
	(Dựa vào hình vẽ của (C) và (C’) hoặc xét dấu để phá trị tuyệt đối)
Nói chung:
Nếu miền giới hạn bởi hai đường, không cho a, b: Tìm các nghiệm . Khi đó =
Nếu miền giới hạn bởi ba đường trở lên thì ta phải vẽ đồ thị để xác định cận.
 Bài tập tự luyện
	Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 – 2x + 2, 
	 trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2	(S = đvdt)
	Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x4 – 2x2 + 1, 
	 trục hoành. 	(S = đvdt)
	Bài 3: Tính diện tích giới hạn bởi (H): y = 
	 trục hoành Ox và đường thẳng x = 2.	(S = 4(1-ln2) đvdt)
	Bài 4: Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = - x3 + 3x2 - 2, (0 £ x £ 2)
	 trục hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = 2. (S = đvdt)
	Bài 5: a) Vẽ (C): y = f(x) = 
	 b) Tính diện tích S(a) giới hạn bởi (C), tiệm cận xiên của (C) và hai 	 đường thẳng x = a, x = 2a (a > 1). Tìm a để S(a) = ln3. 
	( S(a) = ln đvdt, a = 2)
	Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = 2 - x2 và đường thẳng 	 (d): y = x	(S = đvdt)
	Bài 7: Cho (C): y = f(x) = (x2 – 1)2 và (P): y = g(x) = - 3x2 + 2x + 1
Tìm điểm chung của (C) và (P)
Vẽ (C) và (P) trong cùng mặt phẳng (Oxy)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P). (S = đvdt)
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
	 y = x2 , 	y = ,	y = 	 (S = 27.ln3 đvdt)
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
	 ax = y2 , 	ay = x2 	(a > 0)	 (S = đvdt)
Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
	 y = - 	và 	 (S = 9 – 8ln2 đvdt)
Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
	y = 	và y = - 	 	(S = đvdt)
Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
	y = (C) và tiếp tuyến của đường cong (C) tại 	điểm có hoành độ bằng 2. 	 	(S = đvdt)
Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
	(P): y2 = 2x , trục Ox và tiếp tuyến của (P) tại A(2; 2)	(S = đvdt)
Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
	(P): y = x2 – 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) kẻ tại hai điểm A(1; 2) 	và B(4; 5)	(S = đvdt)
Bài 15: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong:
 	 (C) và đường thẳng y = - x + 3	(S = 3 – 4ln2 đvdt)
Bài 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau đây:
	y = 2x2 và x = y2	(S = đvdt)
Vấn đề 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay
Phương pháp
	. Thể tích của vật thể tròn xoay Vox sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi 	 các đường: x = a ; x = b (a < b) ; y = 0 và y = f(x) quay xung quanh trục 	 Ox, được cho bởi công thức sau đây: Vox =
	. Thể tích của vật thể tròn xoay Voy sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi 	 các đường: y = a ; y = b (a < b) ; x = 0 và x = g(y) quay xung 	 	 quanh trục Oy, được cho bởi công thức sau đây: Voy = 
	. Nếu hình phẳng giới hạn bởi (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) liên tục trên 	 [a ,b] và f(x) > g(x) "xÎ[a ,b] và hai đường thẳng x = a, x = b. Khi đó 	 thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng này quay quanh trục Ox 	 được tính bởi: Vox = 
	(V = V1 – V2)
	. (Tượng tự khi hai đường quay quanh Oy)
B. Bài tập tự luyện
	Bài 1: Miền D giới hạn bởi các đường y = 0 và y = 2x – x2. Tính thể tích 	 của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay:
	a) Quanh trục Ox	(ĐS: đvtt)	
	b) Quanh trục Oy	(ĐS: đvtt)
	Bài 2: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox 	 hình phẳng S giới hạn bởi (C): y = lnx , trục Ox , đường thẳng x = e.
	(ĐS: đvtt)	
	Bài 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = tgx , x = 0, x = , y = 0
Tính diện tích của D
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh Ox
	( ĐS: S = ln2 đvdt , V = p() đvtt )
	Bài 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo ra bởi hình phẳng giới hạn bởi 	 hai đường cong y = x2 , y = 	quay quanh trục Ox. (ĐS: đvtt)
	Bài 5: Miền D giới hạn bởi các đường y = 4 và y = (x – 2)2. Tính thể tích 	 của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay:
	a) Quanh trục Ox	(ĐS: đvtt)	
	b) Quanh trục Oy	(ĐS: đvtt)
	Bài 6: Miền D giới hạn bởi các đường x2 + y – 5 = 0 và x + y - 3 = 0. 
	 Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox
	(ĐS: đvtt)
	Bài 7: Miền D giới hạn bởi các đường y = 4 - x và y = x2 + 2
	 Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox
	(ĐS: 16p đvtt)
	Bài 8: Miền D giới hạn bởi các đường y = và y = x2 
	 Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox
	(ĐS: đvtt)
TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013
Bài 1 (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 
 . ĐS : 
Bài 2 (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 
 và 	 ĐS : 
Bài 3 (ĐH A2003) : Tính tích phân : 
 ĐS : 
Bài 4 (ĐH B2003) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 5 (ĐH D2003) : Tính tích phân : 
 ĐS : 
Bài 6 (ĐH A2004) : Tính tích phân : 
 ĐS : 
Bài 7 (ĐH B2004) : Tính tích phân : 
 ĐS : 
Bài 8 (ĐH D2004) : Tính tích phân : 
 ĐS : 
Bài 9 (ĐH A2005) : Tính tích phân : 
 ĐS : 
Bài 10 (ĐH B2005) : Tính tích phân : 
 ĐS : 
Bài 11 (ĐH D2005) : Tính tích phân : 
 ĐS : 
Bài 12 (ĐH A2006) : Tính tích phân : 
 ĐS : 
Bài 13 (ĐH B2006) : Tính tích phân : 
 ĐS : 
Bài 14 (ĐH D2006) : Tính tích phân : 
 ĐS : 
Bài 15 (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 , . ĐS : 
Bài 16 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường ., , . Tính thể 
 tích của khối tròn xoay tọa thành khi quay hình H quanh trục Ox. ĐS : 
Bài 17 (ĐH D2007) : Tính tích phân : 
 . ĐS : 
Bài 18 (ĐH A2008) : Tính tích phân : 
 . ĐS : 
Bài 19 (ĐH B2008) : Tính tích phân : 
 . ĐS : 
Bài 20 (ĐH D2008) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 21 (ĐH A2009) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 22 (ĐH B2009) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 23 (ĐH D2009) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 24 (ĐH A2010) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 25 (ĐH B2010) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 26 (ĐH D2010) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 27 (ĐH A2011) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 28 (ĐH B2011) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 29 (ĐH D2011) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 30 (ĐH A2012) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 31 (ĐH B2012) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 32 (ĐH D2012) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 33 (ĐH A2013) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 34 (ĐH B2013) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 35 (ĐH D2013) : Tính tích phân : 
 	 ĐS : 
Bài 36 (ĐH A, A12014) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và đường thẳng . 	ĐS : 
Bài 37 (ĐH B2014) : Tính tích phân 	ĐS: 1 + ln3
Bài 38 (ĐH D2014) : Tính tích phân I = 	ĐS : 
MỘT SỐ ĐỀ CĐ, ĐH KHÁC
Bài 1. Tham khảo 2005
	KQ: 
Bài 2. Tham khảo 2005
	KQ: 
Bài 3. Tham khảo 2005 
	 	KQ: 
Bài 4. Tham khảo 2005 
	KQ: 
Bài 5. CĐ Khối A, B – 2005
	KQ: 
Bài 6. CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005 
	KQ: 
Bài 7. CĐ GTVT – 2005 
	KQ: 
Bài 8. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005 
	KQ: 
Bài 9. CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005
	KQ: 
Bài 10. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005 
	KQ: 
Bài 11. CĐSP Tp.HCM – 2005 
	KQ: 
Bài 12. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005 
	KQ: 
Bài 13. CĐSP Vĩnh Long – 2005 
	KQ: 
Bài 14. CĐ Bến Tre – 2005 
	KQ: 
Bài 15. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 
	KQ: 
Bài 16. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005 
	KQ: 
Bài 17. CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005 
	KQ: 
Bài 18. CĐSP Hà Nội – 2005 
	KQ: 
Bài 19. CĐ Tài Chính – 2005 
	 	KQ: 
Bài 20. CĐSP Vĩnh Phúc – 2005 
	KQ: 
Bài 21. CĐSP Hà Nội – 2005 
	KQ: 
Bài 22. CĐSP KonTum – 2005 
	KQ: 2
Bài 23. Tham khảo 2006 
	KQ: 
Bài 24. Tham khảo 2006 
	KQ: 
Bài 25. Tham khảo 2006
	 	KQ: 
Bài 26. Tham khảo 2006 
	KQ: 
Bài 27. Tham khảo 2006 
	KQ: 
Bài 28. CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006
	KQ: (Đổi biến , từng phần)
Bài 29. CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006 
	KQ: 
Bài