Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề: Hình học giải tích trong mặt phẳng

i công thức: 
 0 00 2 2( ; )
Ax By C
d M
A B
+ +Δ =
+
Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
Δ + + =
Δ + + =
 và ( )
 Phương trình phân giác của góc tạo bởi ( )1 2Δ Δ là : 
 1 1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
2A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + += ±
+ +
0M
y
O
x
H
)(Δ
y
O
1Δ
x
2Δ
Định lý 3: Cho đường thẳng 0:)( 1 =++Δ CByAx và hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm 
 trên ( ). Khi đó: Δ M N
M
N
Δ
Δ
• Hai điểm M , N nằm cùng phía đối với (Δ ) khi và chỉ khi 
 0))(( >++++ CByAxCByAx NNMM 
• Hai điểm M , N nằm khác phía đối với (Δ ) khi và chỉ khi 
 0))(( <++++ CByAxCByAx NNMM 
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Cho tam giác ABC biết A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5). Tính chiều cao kẻ từ A 
Bài 2: Cho hai đường thẳng 1 2: 2 2 0 & : 2 4 7 0d x y d x y− − = + − = . Viết phương trình đường phân giác 
 của góc tạo bởi d1 và d2 
Bài 3: Cho tam giác ABC với A(-6;-3); B-4;3), C9;2). Lập phương trình đường phân giác trong của góc 
 A của tam giác ABC. 
Bài 4: Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1) .Lập pt đường thẳng qua P cách Q một đọan có độ dài bằng 3 
Bài 5: Cho ba đường thẵng 02:)(,04:)(,03:)( 321 =−=−−=++ yxdyxdyxd . Tìm tọa độ điểm M 
 nằm trên đường thẳng (d3) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d1) bằng hai lần khoảng 
 cách từ M đến đường thẳng (d2) 
VI. Chùm đường thẳng : 
M
ΔΔ
 1 2Δ
I 
1. Định nghĩa: Tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm I được gọi là một chùm đường thẳng . 
• I gọi là đỉnh của chùm 
• Một chùm đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết : 
 i. Đỉnh của chùm 
 hoặc ii. Hai đường thẳng của chùm 
2. Định lý: Trong Mp(Oxy) cho hai đường thẳng Δ Δ1 2, cắt nhau xác định bởi phương trình : 
Δ + + =
Δ + + =
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0 
( ) : 0 
A x B y C
A x B y C
 Khi đó : Mỗi đường thẳng qua giao điểm của Δ Δ1 2, đều có phương trình dạng: 
 101
 ( λ μ λ μΔ + + + + + = + ≠2 21 1 1 2 2 2) : ( ) ( ) 0 ( 0)A x B y C A x B y C 
Chú ý: 
 102
λ μ
λ μ
= ≠ Δ ≡ Δ
≠ = Δ ≡ Δ
1
2
0 và 0 thì 
0 và 0 thì 
Đặc biệt : 
λ μ≠ ≠ Δ ≠ Δ Δ
Δ
+ + + + + =
+ + + + + =
1 1
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
Nếu 0 và 0 thì và trong trường hợp này 
phương trình có thể viết dưới dạng sau:
 1. m(A ) (A ) 0
hoặc 2. (A ) (A ) 0
x B y C x B y C
x B y C n x B y C
M
2Δ1
Δ Δ
I
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 3 5 2 0 & 5 2 4 0x y x y− + = − + =
và vuông góc với đường thẳng ( ) : 2 4 0d x y− + = . 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Phương trình hai cạnh của tam giác trong mặt phẳng tọa độ là 5x-2y+6=0 và 4x+7y-21=0 
 Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ. 
Bài 2: Cho tam giác ABC , cạnh BC có trung điểm M(0;4) còn hai cạnh kia có phương trình 
 2x+y-11=0 và x+4y-2=0. 
 a) Xác định đỉnh A. 
 b) Gọi C là điểm trên đường thẳng x+4y-2=0, N là trung điểm AC . Tìm điểm N rồi tính 
 tọa độ B, C. 
Bài 3: Cho tam giác ABC có M(-2;2) là trung điểm của BC , cạnh AB có phương trình x-2y-2=0, 
 cạnh AC có phương trình : 2x+5y+3=0.Xác định tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC. 
Bài 4: Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5) đường cao kẻ từ A có phương trình 2x-5y+3=0 và đường 
 trung tuyến kẻ từ C có phương trình x+y-5=0 . 
 a) Tính tọa độ điểm A. 
 b) Viết phương trình của các cạnh của tam giác ABC. 
Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1) và có các cạnh AB:4x+y+15=0 vàAC:2x+5y+3=0 
 a) Tìm tọa độ đỉnh A và tọa độ trung điểm M của BC . 
 b) Tìm tọa độ điểm B và viết phương trình đường thẳng BC. 
Bài 6: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3). 
 a) Biết đường cao BH: 5x+3y-25=0, đường cao CK: 3x+8y-12=0. Tìm tọa độ đỉnh B , C. 
 b) Biết đường trung trực của AB là 3x+2y-4=0 và trọng tâm G(4;-2). Tìm B, C. 
Bài 7: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến 
 ke û từ một đỉnh có phương trình 2x-3y+12=0 và 2x+3y=0. 
Bài 8: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có 
 phương trình là x-2y+1=0 và y-1=0. 
Bài 9: Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE) 
 4x+13y-10=0.Lập phương trình ba cạnh. 
Bài 10: Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C 
 lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 .Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC. 
Bài 11: Cho điểm M(-2;3) . Tìm phương trình đường thẳng qua M và cách đều hai điểm A(-1;0) 
 và B(2;1). 
Bài 12: Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x-y-8=0, diện 
 tích tam giác ABC bằng 3/2 . Tìm C. 
Bài 13: Viết phương trình đường thẳng song song với d: 3x-4y+1=0 và có khỏang cách đến đường 
 thẳng d bằng 1. 
Bài 14: Cho tam giác cân ABC biết phương trình cạnh đáy AB:2x-3y+5=0 cạnh bên AC:x+y+1=0 
 Tìm phương trình cạnh bên BC biết rằng nó đi qua điểm D(1;1). 
Bài 15: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y=x , phân giác 
 trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 . Viết phương trình cạnh BC . 
Bài 16: Cho đường thẳng d: 2x+y-4=0và hai điểm M(3;3) , N(-5;19).Hạ MK ⊥ d và gọi P là điểm 
 đối xứng của M qua d: 
 a) Tìm tọa độ của K và P. 
 b) Tìm điểm A trên d sao cho AM + AN có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. 
Bài 17: Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là 3x y 3 0− − = , các đỉnh A và B 
 thuộc trục hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của 
 tam giác ABC. 
Bài 18: Cho hình chử nhật ABC có tâm I(1/2;0) , phương trình đường thẳng AB là x-2y+2=0 và 
 AB=2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hòanh độ âm. 
Bài 19: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng 1 : 0d x y− = và 2 : 2 1 0d x y+ − = . Tìm toạ độ các đỉnh 
 hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B,D thuộc trục hoành 
---------------------------Hết-------------------------- 
 103
ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Phương trình đường tròn: 
 1. Phương trình chính tắc: 
 Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là : 
 104
 ( ) (1) 2 2 2: ( ) ( )C x a y b R− + − =
 Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn 
 Đặc biệt: Khi I ≡O thì (hay: 2 2( ) :C x y R+ = 2 2 2y R x= ± − ) 
 BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
 Bài 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5) 
 Bài 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1;2) và tiếp xúc đường thẳng ( ) : 3 4 2 0x yΔ − + =
 2. Phương trình tổng quát: 
 Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = với a b2 2 0c+ − > 
 là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính 2 2R a b= + − c 
 BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
 Bài 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ( ) 2 2: 2 4 20 0C x y x y+ + − − = 
 Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1) 
 Bài 3: Cho phương trình : (1) 2 2 4 2 2 3x y mx my m+ + − + + = 0
 Định m để phương trình (1) là phương trình của đường tròn (Cm) 
II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: 
 Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với đường tròn 
 ( ) tại điểm2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = 0 0( ; ) ( )M x y C∈ là : 
 ( ) 0 0 0 0: ( ) ( ) 0x x y y a x x b y y cΔ + − + − + + = 
x
y
O
);( baI
R
b
a
);( yxM
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A 
IV. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn: 
 Nhắc lại : 
 Định nghĩa: Cho đường tròn (O;R) và một điểm M cố định . 
 Phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) được ký hiệu là ℘M/(O) là một số 
(C)
I(a;b))(Δ
);( 000 yxM
 105
2 được xác định như sau: ℘M/(O) = 2d R− ( với d = MO ) 
Chú ý : 
 ℘M/(O) > 0 ⇔ ở ngoài đường tròn (O)M 
 ℘M/(O) < 0 ⇔ ở trong đường tròn (O)M 
 ℘M/(O) = 0 ⇔ ở trên đường tròn (O)M 
 Định lý: 
 Trong mp(Oxy) cho điểm 0 0( ; )M x y và đường tròn 
2 2 2 2x y ax by c 0+ − − + = với 
 a b có tâm I(a;b) và bán kính 2 2 0c+ − > 2 2R a b c= + − . Phương tích của điểm M đối với 
 đường tròn (C) là 
 ℘M/(O) = 2 20 0 0 02 2x y ax by c+ − − + 
(C)
M I
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
Cho đường tròn (C): và điểm A(3;5). Xét vị trí của điểm A đối với đường tròn 
(C) 
2 2 2 4 4 0x y x y+ + − − =
IV. Trục đẳng phương của hai đường tròn: 
 Nhắc lại: 
 Định lý : Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn khác tâm là một 
 đường thẳng vuông góc với đường nối hai tâm. 
 Đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn đó. 
Cách xác định trục đẳng phương 
 )( 1C )( 2C
2I1I
)( 1C
)( 2C
1I 2I M
Δ
Δ Δ)1C
)( 2C
1I 2I
(
M 
 Δ
 )( 2C
)( 1C
)( 3C
 I
1I 2I
3I
 Δ
 2
 Δ
 1
Định lý : 
 Cho hai đường tròn (C1) và (C2) không cùng tâm có phương trình: 
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2
( ) : 2 2 0 
( ) : 2 2 0 
C x y a x b y c
C x y a x b y c
+ − − + =
2+ − − + =
 Phương trình trục đẳng phương của (C1) và (C2) là : 
 ( ) 1 2 1 2 2 1: 2( ) 2( ) 0a a x b b y c cΔ − + − + − =
 106
 Cách nhớ: 2 2 2 21 1 1 2 22 2 2 2 2x y a x b y c x y a x b y c+ − − + = + − − + 
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
Xác định phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn sau: 
2 2
1
2 2
2
( ) : 4 5 0