Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề 3: Mũ – logarit

b ) 
VD4: Giải pt 2323 +=+ xxx . Dễ dàng ta nhẫm đ−ợc 2 nghiệm : 0 và 1. Ta CM không có nghiệm nào khác. 
xét hàm số ( ) ( ) ⇒>+=⇒−−+= 02ln23ln3''2323 22 xxxx xfxxf hs lõm, suy ra pt có không quá 2 
nghiệm 
VD5: CMR hệ 







−
−=
−
−=
1
2007
1
2007
2
2
x
x
e
y
y
e
y
x
 có đúng 2 nghiệm thoz mzn đk x> 0, y > 0. 
HD: s/d tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số ( ) 2007
12
−
−
+=
x
x
exf x . 
Nếu x < -1 thì ( ) 020071 <−< −exf suy ra hpt vô nghiệm. 
Nếu x > 1 s/d đl Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra đpcm 
VD6: Cho 0>≥ ba CM 
a
b
b
b
a
a






+≤





+
2
12
2
12 ( D – 2007) 
HD: BĐT 
ba
ab
b
b
a
a
b
b
a
a






+
≤






+
⇔





+≤





+⇔
2
12ln
2
12ln
2
12ln
2
12ln . Xét hàm số 
ễn thi ủại học: Mũ - logarit 
Nguyễn Duy Tỡnh 34 
( )
x
xf
x
x






+
=
2
12ln
 với x > 0 
Suy ra f’(x) 0, nên hàm số nghịch biến do đó với 0>≥ ba ta có ( )bfaf ≤)( ( đpcm) 
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài về logarit) ta th−ờng phải đặt ẩn phụ đ−a về pt – hệ pt - bpt mũ rồi s/d 
các pp trên. 
1.Dạng 1: khác cơ số: 
VD1: Giải pt )2(loglog 37 += xx . Đặt t = txx 7log7 =⇒ khi đó pt trở thành: 
tt
tttt 





+







=⇔+=⇔+=
3
1
.2
3
71273)27(log3 
2. Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp 
VD1: giải pt ( )32log2)22(log 25264 −−=−− xxxx 
Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có pt ( ) tt 56 log1log =+ 
VD2: giải pt ( ) xx x 6log2 log3log 6 =+ . Đặt xt 6log= , pt t−ơng đ−ơng 12
33236 =





+⇔=+
t
tttt 
3. Dạng 3: 
( )
xa
cxb
=
+log
 ( đk: b = a + c ) 
VD1: giải pt ( ) xx =+3log74 . Đặt ( ) 373log7 +=⇒+= xxt t , pt trở thành 17
1
.3
7
4374 =





+





⇔−=
tt
tt 
VD2: Giải pt ( ) 42 5log3 +=+ xx . Đặt t = x+4 suy ra pt t−ơng đ−ơng ( ) tt =+1log32 
VD3: Giải pt ( ) ( ) ( ) 0214 1log1log 33 =−−− ++ xx xx áp dụng PP II và dạng này. 
4. Dạng 4: ( ) βα +++=+ xedxcs sbax log , với βα +=+= bceacd , 
Pp: đặt )(log edxbay s +=+ rồi chuyển thành hệ 2 pt, lấy pt1 trừ pt2 ta đ−ợc acysacxs baybax +=+ ++ . Xét 
( ) actstf bat += + 
VD: Giải pt 1)56(log67 71 +−=− xx . Đặt ( )56log1 7 −=− xy . Khi đó pt đ−ợc chuyển thành hệ 
( )
( ) yxx
y
xy
y yx
y
xx
6767
567
567
56log1
1167 11
1
1
7
1
+=+⇒




−=
−=
⇔



−=−
+−=
−−
−
−
−
. Xét hàm số ( ) ttf t 67 1 += − suy ra x=y, khi 
đó ta có 0567 1 =+−− xx . Xét hàm số ( ) 567 1 +−= − xxg x áp dụng PP định lí Rôn và nhẩm nghiệm ta 
tìm đ−ợc 2 nghiệm của pt: x = 1, x = 2. 
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển về thành hệ 
VD: Giải PT: 
222
18
22
2
12
8
111 ++
=
+
+
+ −−− xxx
x
x
HD: Viết PT d−ới dạng 
222
18
22
1
12
8
1111 ++
=
+
+
+ −−−− xxxx
, đặt 0,.12,12 11 >+=+= −− vuvu xx . 
 Nhận xét u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: 




+=
+
=+
vuvu
vuvu
.
1818
Bài tập 
Bài 1: Giải ph−ơng trình: e.
22 x 1(x x 1) 1−− + = f. 2 x 2( x x ) 1−− =
 g.
22 4 x(x 2x 2) 1−− + = 
ễn thi ủại học: Mũ - logarit 
Nguyễn Duy Tỡnh 35 
Bài 2:Giải ph−ơng trình: 
a.
4x 8 2x 53 4.3 27 0+ +− + = b. 2x 6 x 72 2 17 0+ ++ − = 
c.
x x(2 3) (2 3) 4 0+ + − − = 
e.
x x x 3(3 5) 16(3 5) 2 ++ + − = f. x x(7 4 3) 3(2 3) 2 0+ − − + = l. 
4)32()32( =++− xx 
g.
x x x3.16 2.8 5.36+ = h.
1 1 1
x x x2.4 6 9+ = i.
2 3x 3
x x8 2 12 0
+
− + = 
Bài 3:Giải ph−ơng trình: 
1. 
x x x3 4 5+ = 
2. 
2 x xx (3 2 )x 2(1 2 ) 0− − + − = 
3. 12.222 56165
22
+=+ −−+− xxxx 
4. 
x3 x 4 0+ − = 
5. 
2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 22 3 5 2 3 5− + + ++ + = + + 
6. 033)103(3 232 =−+−+ −− xx xx 
7. 21 )1(22 2 −=+− −− xxxx 
8. 1444 7325623
222
+=+ +++++− xxxxxx 
9. xxxx 3526 +=+ 
10. 027.21812.48.3 =−−+ xxxx 
11. x
x
381 2 =+ 
12. x
x
4115 2 =+ 
13. xx −= 65 
14. 0122.2 =+−− xx 
15. 0532 =−+ xxx 
16. xxxx 7483 +=+ 
17. xxxx 1410159 +=+ 
18. 022.8 3 =−+− − xx xx 
19. ( ) ( )12232. −+−= xx xxx 
20. 0155 312 =+−−+ xxx 
21. ( )2322 2133 2 −−=− −− xxxx 
22. 2974 +=+ xxx
Bài 4:Giải các hệ ph−ơng trình: 
1. a.
x y
3x 2y 3
4 128
5 1
+
− −
 =

=
2. b.
2
x y
(x y) 1
5 125
4 1
+
− −
 =

=
3. b.
2x y
x y
3 2 77
3 2 7

− =

− =
4. d.
x y2 2 12
x y 5
 + =

+ =
5. e .
x y x y
22 4
x y x y
23 6
m m m m
n n n n
− −
+ +

− = −


− = −
 với m, n > 1. 
Bài 5: Giải và biện luận ph−ơng trình: a . 
x x(m 2).2 m.2 m 0−− + + = . b . x xm.3 m.3 8−+ = 
Bài 6: Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm: 
x x(m 4).9 2(m 2).3 m 1 0− − − + − = 
Bài 7: Giải các bất ph−ơng trình sau: a. 
6
x x 29 3 +< b. 
1 1
2x 1 3x 12 2
− +≥ c.
2x x
1 5 25
−
< <
 d.
2 x(x x 1) 1− + < 
ễn thi ủại học: Mũ - logarit 
Nguyễn Duy Tỡnh 36 
 e.
x 1
2 x 1(x 2x 3) 1
−
++ + < f.
2 32 x 2x 2(x 1) x 1+− > − 
Bài 8: Giải các bất ph−ơng trình sau: 
 a.
x x3 9.3 10 0−+ − < b. x x x5.4 2.25 7.10 0+ − ≤ c.
x 1 x
1 1
3 1 1 3+
≥
− −
 d.
2 x x 1 x5 5 5 5++ f. x x 2 x9 3 3 9+− > − 
Bài 9: Giải bất ph−ơng trình sau: 
1 x x
x
2 1 2
0
2 1
− + − ≤
−
Bài 10: Cho bất ph−ơng trình: 
x 1 x4 m.(2 1) 0− − + > a. Giải bất ph−ơng trình khi m=
16
9
. 
 b. Định m để bất ph−ơng trình thỏa x R∀ ∈ . 
Bài 11: a. Giải bất ph−ơng trình: 
2 1
2
x x1 1
9. 12
3 3
+
   
+ >   
   
 (*) 
 b.Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất ph−ơng trình: ( )22x m 2 x 2 3m 0+ + + − < 
Bài 12: Giải các ph−ơng trình: 
 a. ( ) ( )5 5 5log x log x 6 log x 2= + − + b. 5 25 0,2log x log x log 3+ = 
c. ( )2xlog 2x 5x 4 2− + = d. 2 x 3lg(x 2x 3) lg 0x 1++ − + =−
 e.
1
.lg(5x 4) lg x 1 2 lg0,18
2
− + + = + 
Bài 13: Giải các ph−ơng trình sau: 
 a.
1 2
1
4 lgx 2 lgx
+ =
− +
 b. 2 2log x 10log x 6 0+ + =
 c. 0,04 0,2log x 1 log x 3 1+ + + = 
 d. x 16 23log 16 4log x 2 log x− = e. 2 2xxlog 16 log 64 3+ = f.
3lg(lgx) lg(lgx 2) 0+ − = 
g. 
2ln 4 ln 3 0x x+ + = 
Bài 14: Giải các ph−ơng trình sau: 
a.
x
3 9
1
log log x 9 2x
2
 
+ + = 
 
b. ( ) ( )x x2 2log 4.3 6 log 9 6 1− − − = 
c.
( ) ( )x 1 x2 2 1
2
1
log 4 4 .log 4 1 log
8
+ + + =
d. ( )x xlg 6.5 25.20 x lg25+ = + 
e.
( ) ( ) ( )x 1 x2 lg2 1 lg 5 1 lg 5 5−− + + = +
f. ( )xx lg 4 5 x lg2 lg3+ − = + 
g.
lgx lg55 50 x= − 
h.
2 2lg x lgx 3
x 1 x 1
−
− = − 
i.
2
3 3log x log x3 x 162+ = 
ễn thi ủại học: Mũ - logarit 
Nguyễn Duy Tỡnh 37 
Bài 15: Giải các ph−ơng trình: 
a. ( ) ( )2x lg x x 6 4 lg x 2+ − − = + + b. ( ) ( )3 5log x 1 log 2x 1 2+ + + = 
c. ( ) ( ) ( ) ( )23 3x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0+ + + + + − = d. ( )5log x 32 x+ = 
e. 03log)4( 2
2
2log =+−−+ xxxx f. ( )32log2)22(log 25264 −−=−− xxxx 
g. ( ) 1215log36 6 +++= xxx 
i. ( ) ( )2 2672log 3 log 4x x x x− − = − − 
Bài 15: Giải các hệ ph−ơng trình: 
 a.
2 2
lgx lgy 1
x y 29
+ =

+ =
 b.
3 3 3log x log y 1 log 2
x y 5
+ = +

+ =
 c.
( )
( ) ( )
2 2lg x y 1 3lg2
lg x y lg x y lg3
 + = +

+ − − =
 d.
4 2
2 2
log x log y 0
x 5y 4 0
− =

− + =
 e.
( ) ( )
x y
y x
3 3
4 32
log x y 1 log x y
+

=
 + = − +
 f.
y
2
x y
2log x
log xy log x
y 4y 3
 =

= +
Bài 16: Giải và biện luận các ph−ơng trình: 
 a. ( ) ( )2lg mx 2m 3 x m 3 lg 2 x + − + − = −  b. 3 x x
3
log a log a log a+ = 
 c. 2sin x sin x
log 2.log a 1= − d. 
2
2
ax
a 4
log a.log 1
2a x
−
=
−
Bài 17 : Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm duy nhất: 
 a. ( ) ( )23 1
3
log x 4ax log 2x 2a 1 0+ + − − = b. 
( )
( )
lg ax
2
lg x 1
=
+
Bài 18: Tìm a để ph−ơng trình có 4 nghiệm phân biệt. 
2
3 32log x log x a 0− + = 
Bài 19: Giải bất ph−ơng trình: 
a. ( )28log x 4x 3 1− + ≤ 
b. 3 3log x log x 3 0− − < 
c. ( )21 4
3
log log x 5 0 − >
 
d. ( ) ( )21 5
5
log x 6x 8 2log x 4 0− + + − < 
e. 1 x
3
5
log x log 3
2
+ ≥ 
f. ( )xx 9log log 3 9 1 − <  
g. x 2x 2log 2.log 2.log 4x 1> 
h. 1
3
4x 6
log 0
x
+ ≥ 
i. ( ) ( )2 2log x 3 1 log x 1+ ≥ + − 
j. 8 1
8
2
2log (x 2) log (x 3)
3
− + − > 
k. 3 1
2
log log x 0
 
≥  
 
l. 5 xlog 3x 4.log 5 1+ > 
m. 
2
3 2
x 4x 3
log 0
x x 5
− +
≥
+ −
n. 1 3
2
log x log x 1+ > 
o. ( )22xlog x 5x 6 1− + < 
p. ( )23x xlog 3 x 1− − > 
ễn thi ủại học: Mũ - logarit 
Nguyễn Duy Tỡnh 38 
q. 
2
2
3x
x 1
5
log x x 1 0
2
+
 
− + ≥ 
 
r. x 6 2
3
x 1
log log 0
x 2+
− 
> + 
s. 
2
2 2log x log x 0+ ≤ 
t. x x
216
1
log 2.log 2
log x 6
>
−
u. 
2
3 3 3log x 4log x 9 2log x 3− + ≥ − 
v. ( )2 41 2 16
2
log x 4log x 2 4 log x+ < − 
Bài 20: Giải bất ph−ơng trình:a. 
2
6 6log x log x6 x 12+ ≤ b. 
3
2 22 log 2x log x
1
x
x
− − > 
c. ( ) ( )x x 12 1
2
log 2 1 .log 2 2 2+− − > − d. 
( ) ( )2 32 25 11
2
log x 4x 11 log x 4x 11
0
2 5x 3x
− − − − −
≥
− −
Bài 21: Giải hệ bất ph−ơng trình: 
a. 
2
2
x 4
0
x 16x 64
lg x 7 lg(x 5) 2lg2
 +
>
− +
 + > − −
 b. 
( ) ( ) ( )
( )
x 1 x
x
x 1 lg2 lg 2 1 lg 7.2 12
log x 2 2
+
− + + < +

+ >
c. 
( )
( )
2 x
4 y
log 2 y 0
log 2x 2 0
−
−
 − >

− >
Bài 22: Giải và biện luận các bất ph−ơng trình( 0 a 1< ≠ ): 
a. a
log x 1 2x a x+ > b. 
2
a
a
1 log x
1
1 log x
+
>
+
 c. 
a a
1 2
1
5 log x 1 log x
+ <
− +
 d. 
x a
1
log 100 log 100 0
2
− > 
Bài 23: Cho bất ph−ơng trình: ( ) ( )2 2a alog x x 2 log x 2 x 3− − > − + + thỏa mzn với: 9x 4= . Giải bất 
ph−ơng trình. 
Bài 24: Tìm m để hệ bất ph−ơng trình có nghiệm: 
2lg x mlgx m 3 0
x 1

− + + ≤

>
Bài 25: Cho bất ph−ơng trình: ( ) ( )2 1
2
x m 3 x 3m x m log x− + + < − 
a. Giải bất ph−ơng trình khi m = 2. 
b. Giải và biện luận bất ph−ơng trình. 
Một số ph−ơng pháp hay 
 giải ph−ơng trình – bất ph−ơng trình mũ logarit: 
1. Biến đổi thành tích: 
VD1: giải pt 0422.4