Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề 2: Lượng giác

1 1 1
t t t
t t t
 7. Công thức biến ñổi tích thành tổng : 
[ ]
[ ]
[ ]
1cos .cos cos( ) cos( )
2
1sin .sin cos( ) cos( )
2
1sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
 Ví dụ: 
 1. Biến ñổi thành tổng biểu thức: xxA 3cos.5cos= 
 2. Tính giá trị của biểu thức: 
12
7
sin
12
5
cos
pipi
=B 
 8. Công thức biến ñổi tổng thành tích : 
4
cos33cos
cos3
αα
α
+
= 
4
3sinsin3
sin 3 ααα −= 
Lê Thị Nhung – Chuyên ñề Lượng Giác 
 19 
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
α β
α β
α β
α β
α β
α β
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
+
+ =
−
− =
cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
sin( )tan tan
cos cos
sin( )tan tan
cos cos
 Ví dụ: Biến ñổi thành tích biểu thức: 3xsin 2x sinsin ++= xA 
 9. Các công thức thường dùng khác: 
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
pi pi
α α α α
pi pi
α α α α
+ = − = +
− = + = − −
8
4cos35
sincos
4
4cos3
sincos
66
44
α
αα
α
αα
+
=+
+
=+
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Các bước giải một phương trình lượng giác 
Bước 1: Tìm ñiều kiện (nếu có) của ẩn số ñể hai vế của pt có nghĩa 
Bước 2: Sử dụng các phép biến ñổi tương ñương ñể biến ñổi pt ñến một pt ñã biết cách giải 
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có) 
Bước 4: Kết luận 
I. ðịnh lý cơ bản: ( Quan trọng ) 
pi
pi pi
pi
pi
pi
pi pi
pi

⇔ 


⇔ 

⇔ ≠ +
⇔
u = v+k2
sinu = sinv 
u = -v+k2
u = v+k2
cosu = cosv 
u = -v+k2
tanu = tanv u = v+k (u;v )
2
cotu = cotv u = v+k (u;v
k
pi≠ k )
 ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ ) 
Ví dụ : Giải phương trình: 
 1. sin3 sin( 2 )
4
x x
pi
= − 2. 
4
3
cos)
4
cos( pipi =−x 
 3. xx 2sin3cos = 4. 4 4 1sin cos (3 cos6 )
4
x x x+ = − 
II. Các phương trình lượng giác cơ bản: 
Lê Thị Nhung – Chuyên ñề Lượng Giác 
 20 
1. Dạng 1: sinx = a ; cosx = a ; tanx = a ; cotx = a ( a R∀ ∈ ) 
 * Gpt : sinx = a (1) 
• Nếu >1a thì pt(1) vô nghiệm. 
• Nếu ≤1a thì ta ñặt a = sinα và ta có : 
x = +k2
(1) sinx=sin 
x = ( - )+k2
α pi
α
pi α pi

⇔ ⇔ 

 ( k Z∈ ) 
 * Gpt : cosx = a (2) 
• Nếu >1a thì pt(2) vô nghiệm 
• Nếu ≤1a thì ta ñặt a = cos β và ta có 
x = +k2
(2) cosx=cos 
x = +k2
β piβ β pi

⇔ ⇔ 
−
 ( k Z∈ ) 
* Gpt: tan x = a (3) ( pt luôn có nghiệm a R∀ ∈ ) 
• ðặt a = tanγ thì 
 γ γ pi⇔ ⇔(3) tan x = tan x = + k ( k Z∈ ) 
* Gpt: cot x = a (4) ( pt luôn có nghiệm a R∀ ∈ ) 
• ðặt a = cotδ thì 
 δ δ pi⇔ ⇔(4) cotx = cot x = +k ( k Z∈ ) 
Các trường hợp ñặc biệt: 
sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x k
x k
x k
x k
pi
pi
pi
pi
pi
pi pi
pi
pi
pi
= − ⇔ − +
⇔
= ⇔ +
= − ⇔ +
⇔
= ⇔
 ( k Z∈ ) 
 Ví dụ: 
 1) Giải các phương trình : 
 a) = 1sin2
2
x b) 2cos( )
4 2
x
pi
− = − 
Lê Thị Nhung – Chuyên ñề Lượng Giác 
 21 
 c) 03)
6
2sin(2 =+− pix d) 03)
3
cos(2 =−+ pix 
 e) 12cos2sin =+ xx f) xxx 2cossincos 44 =+ 
 2) Giải các phương trình: 
 a) 4 41 cos sin 2cos2x x x+ − = c) 024sin)cos(sin4 44 =−++ xxx 
 b) 6 6sin cos cos4x x x+ = d) 3 3 1sin .cos cos .sin
4
x x x x− = 
 e) cot sin (1 tan . tan ) 4
2
x
x x x+ + = 
2. Dạng 2: 
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
tan tan 0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
a x b x c
a x b x c
 ( 0a ≠ ) 
 Cách giải: 
 ðặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) 
 Ta ñược phương trình : 2 0at bt c+ + = (1) 
 Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x 
 Chú ý : Phải ñặt ñiều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) 
 Ví dụ : 
 a) 22cos 5sin 4 0x x+ − = b) 5cos2 4cos 0
2
x x− + = 
 c) 22sin 4 5cosx x= + d) 2cos cos2 1 cos2 cos3x x x x= + + 
 e) 4 4 1sin cos sin2
2
x x x+ = − f) 0)2
2
cos()cos(sin2 44 =−−+ xxx pi 
 g) 4 4sin cos 1 2sin
2 2
x x
x+ = − h) 0cos.sincossin 44 =++ xxxx 
 k) 0
sin22
cos.sin)sin(cos2 66
=
−
−+
x
xxxx
 l) 32cos)
2sin21
3sin3cos(sin5 +=
+
+
+ x
x
xx
x 
3. Dạng 3: 
 cos sin (1) ( a;b 0)a x b x c+ = ≠ 
 Cách giải: 
Lê Thị Nhung – Chuyên ñề Lượng Giác 
 22 
• Chia hai vế của phương trình cho 2 2a b+ thì pt 
2 2 2 2 2 2
(1) cos sina b cx x
a b a b a b
⇔ + =
+ + +
 (2) 
• ðặt 
2 2 2 2
bcos vaø sin
a
a
a b b
α α= =
+ +
 với [ )0;2α pi∈ thì : 
2 2
2 2
c(2) cosx.cos + sinx.sin = 
a
c cos(x- ) = (3)
a
b
b
α α
α
⇔
+
⇔
+
 Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x. 
 Chú y : 
2 2 2Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm a b c⇔ + ≥ 
 Ví dụ : Giải các phương trình : 
 a) + = −cos 3 sin 1x x b) 2sin3cos =+ xx 
 c) 4 44(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + = d) 1tan 3
cos
x
x
− = 
 e) 3
1sincos2
2sincos
2 =
−−
−
xx
xx
d. Dạng 4: 
2 2sin sin .cos cos 0 (a;c 0)a x b x x c x+ + = ≠ (1) 
Cách giải 1: 
 Ap dụng công thức hạ bậc : 2 21 cos2 1 cos2sin vaø cos
2 2
x x
x x
− +
= = 
 và công thức nhân ñôi : 1sin .cos sin2
2
x x x= thay vào (1) ta sẽ biến ñổi pt (1) về dạng 3 
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang ) 
 Chia hai vế của pt (1) cho 2cos x ta ñược pt: 
 + + =2tan tan 0a x b x c 
 ðây là pt dạng 2 ñã biết cách giải 
 Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k
2
pi
= + pi có phải là nghiệm của (1) không? 
Lê Thị Nhung – Chuyên ñề Lượng Giác 
 23 
Ví dụ : Giải phương trình: 
 031coscos.sin)31(sin3 22 =−+−−+ xxxx 
d. Dạng 5: 
 (cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c+ + + = (1) 
Cách giải : 
• ðặt cos sin 2 cos( ) vôùi - 2 2
4
t x x x t
pi
= + = − ≤ ≤ 
 Do 
2
2 t 1(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
x x x x
−
+ = + ⇒ 
• Thay vào (1) ta ñược phương trình : 
2 1 0
2
t
at b c
−
+ + = (2) 
• Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa ñiều kiện rồi giải pt: 2 cos( )
4
x t
pi
− = tìm x. 
 Ví dụ : Giải phương trình : 
 sin2 2 2(sin cos ) 5 0x x x− + − = 
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c− + + = 
 Ví dụ : Giải phương trình : 
 sin2 4(cos sin ) 4x x x+ − = 
4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : 
a. Phương pháp 1: Biến ñổi pt ñã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản ñã biết 
 Ví dụ: Giải phương trình: 
 0
2
32sincossin 44 =−++ xxx 
b. Phương pháp 2: Biến ñổi pt ñã cho về dạng tích số 
 Cơ sở của phương pháp là dựa vào các ñịnh lý sau ñây: 
A=0
. 0 
B=0
A B

= ⇔ 

 hoặc 
A=0
. . 0 B=0
C=0
A BC


= ⇔ 

 Ví du : Giải các phương trình : 
 a. 2 2 2sin sin 2 sin 3 2x x x+ + = b. 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − 
 c. 32sin cos2 cos 0x x x+ − = d. 03)
4
sin(2cos222sin =++++ pixxx 
c. Phương pháp 3: Biến ñổi pt về dạng có thể ñặt ẩn số phụ 
 Một số dấu hiệu nhận biết : 
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) 
Lê Thị Nhung – Chuyên ñề Lượng Giác 
 24 
Ví dụ : Giải các phương trình : 
 a. 01cos2cos3cos =−−+ xxx 
 b. 01cos42coscos4 3 =+−− xxx 
 c. 
12cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + = 
 d. 22cossin 24 =+ xx 
* Phương trình có chứa (cos sin ) vaø sinx.cosxx x± 
Ví dụ : Giải phương trình : a. + + =3 3 31 sin cos sin2x
2
x x 
b. 1)cos(sin2cossin 33 −+=+ xxxx 
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Giải phương trình lượng giác 
Sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau 
• Biến ñổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản 
• Biến ñổi phương trình về dạng phương trình tích số 
• Biến ñổi phương trình về dạng có thể ñặt ẩn số phụ chuyển về phương trình ñại số 
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau 
 1) 03)
4
sin(2cos222sin =++++ pixxx ; 2) 07cos2sin
2
5
cos
2
sin
2
3
cos
2
7
sin =++ xxxxxx ; 
 3) 
6
cos.3)
2
3(cos)
2
2(cos)
2
(cos 222 pipipipi =−++++ xxx ; 
 4) 
)
4
(sin2
2sin1
2sin
2
sin
2
cos
2
44
pi
+
+
=
−
x
x
x
xx
 ; 5) xxxx 2sin3cos8sin7cos −=+ ; 
 6) 12sincossin2 +=+ xxx . 
Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau 
 1. 32sin cos2 cos 0x x x+ + = ; 8. 2 2 2sin ( ). cos 0
2 4 2
x x
tg x
pi
− − = ; 
 2. 2 2 7sin .cos4 sin 2 4sin ( )
4 2 2
x
x x x
pi
− = − − ; 9. 
2cos (cos 1) 2(1 sin )
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
; 
 3. 9sin 6 cos 3sin2 cos2 8x x x x+ − + = ; 10. − = 1tan2 tan cos .sin3
3
x x x x ; 
 4. 
4 4sin cos 1 1cot 2
5sin2 2 8sin2
x x
g x
x x
+
= − ; 11. 12cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + = ; 
 5. −+ =
2
4
4
(2 sin 2 )sin3tan 1
cos
x x
x
x
 ; 12. − = + −
+
2cos2 1cot 1 sin sin2
1 tan 2
x
x x x
x
; 
 6. − + + =3 tan (tan 2sin ) 6cos 0x x x x ; 13. − + = 2cot tan 4sin2
sin2
x x x
x
; 
 7. + − =2cos2 cos .(2 tan 1) 2x x x ; 14. + − = +2tan cos cos sin .(1 tan .tan )
2
x
x x x x x . 
Lê Thị Nhung – Chuyên ñề Lượng Giác 
 25 
Bài 3: Giải các phương trình sau: 
( )
( )
0
0
1 2 31)sin 2 2)sin 2 3)sin 30
2 6 2 2
34)sin 3 5)sin 2 0 6)sin 3 1
4 2 4 6
3 1 27) cos 2 8) cos 2 9)cos 3 1
3 2 3 2 3
3 310) tan 2 3 11) tan 45 12) tan
3 3
x x x
x x x
x x x
x x x
pi
pi pi pi
pi pi pi
pi
 
= + = + = 
 
     
− = − − = − = −     
     
     
− = − = − + =     
     
 
+ = + = − − 
 
1
4
pi 
= − 
 
Bài 4: Giải các phương trình sau: 
( )
( )( ) ( )( )
0
1)2sin 3 1 0 2) 3 2sin 0 3) 2 sin 2 1 0
34)2 os x+30 1 0 5) 2 2cos 0 6) 2 os 2 0
4
7) tan 3 0 8) 3 tan 2 1 0 9)cot 2 1 0
4
10) tan 1 cot 2 3 0 11) 2cos 3 3 cot 3 1 0
x x x
c x c x
x x x
x x x x
pi
pi
− = − = + =
 
− = − − = + = 
 
 
+ = − + = − = 
 
− + = + + =
Bài 5: Giải các phương trình sau: 
( )0 01)sin 2 sin 50 2)sin 2 sin 3)sin 30 sin 36
4)sin 3 sin 0 5)sin 2 sinx=0 6)cos 3 os2x
4 4 6
27) cos 2 cos 8)cos 2 cos3 0 9)cot cot 2
3 6 3 3
10) ta
x x x x x
x x x x c
x x x x x x
pi
pi pi pi
pi pi pi pi
 
= + = + = 
 
     
− − = − + − =     
     
       
− = + − + = − =       
       
( ) ( ) ( )0 0 0n 2 tan 11) tan 45 tan 2 0 12) tan 60 tan 2 20 03x x x x x x
pi 
+ = + − = − + + = 
 
 Bài 6: Giải các phương trình sau: 
( )
( )
0
0 0
1)sin 2 cos 2)si