Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề 1: Phương trình, Bất phương trình

2t 3 0 2t 3t 1 0
t
+ − = ⇔ − + = 
t 1
1t
2




=
⇔
=
 Bài5: Gpt : 
2
x 35
x 12x 1
+ =
−
 ñ/k x > 1 ñặt 1x
cos t
= 
2t (0. ) x 1 tan t2
pi
∈ ⇒ − = 
1 1/ cos t 35 1 1 35Pt
cos t sin t / cos t 12 cos t sin t 12
12(sin t cos t) 35sin t cos t
⇒ + = ⇔ + =
⇔ + =
 ðặt 2 7u sin t cos t u (1; 2) 35u 24u 35 0 t 5= + → ∈ ⇔ − − = → = 
1 1 35
cos t sin t 12
1 1 25
cos t sin t 12





+ =
⇔
=
1 5 5
x
cos t 3 3
51 5
x 4cos t 4
 
 
⇔  
 
 
= =
⇒
==
Nguyễn Sỹ An – Chuyên ñề PT – HPT – BPT 
 4 
 2. Dạng2: ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình còn chứa ẩn ban ñầu 
**Bài tập áp dụng : 
 Bài1: Gpt : 2 2x 1 2x x 2x− = − (1) 
 ðK : x 2
x 0



≥
≤
 ðặt 2t x 2x 0= − ≥ 
 Khi ñó pt(1)tt x2 -2tx-1 = 0 , '∆ = t2+1 = (x-1)2 →x = t±(x-1) khi và chỉ khi 
2 2
2
2
2 2 2
x 2x 1 x 2x 1 0
x x 2x (x 1) x 1 52x 1 0 x 1/ 2
x 1 5x x 2x (x 1)
x 2x (2x 1) 3x 2x 1 0
 
  
    
        
− = − − =
= − + − = −
⇔ ⇔ ⇔− ≥ ≥
= += − − −
− = − − + =
 Bài2: Gpt : (4x-1) 24x 1+ = 8x2+2x+1 
 ñặt t = 24x 1+ ≥ 1 ,pttt : 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 
1t 2
t 2x 1




=
⇔
= −
 ( 1t 2= loại do t 1≥ ) 
 với t =2x-1 ⇒ 2
2 2
1 1
x x4x 1 2x 1 2 2
4x 1 (2x 1) x 0
 
 
⇔ 
 
≥ ≥
+ = − ⇔
+ = − =
⇒PTvô nghiệm 
 3. Dạng3: ðặt ẩn phụ ñưa về hệ phương trình 
m m n
m n
n
u a f (x) u v a b
a f (x) b f (x) c
u v cv b f (x)
 
 

= − + = +
− + + = → ⇒
+ == +
 Trong ñó m và n nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2 
***Bài tập áp dụng : 
 Bài1: Gpt: 3 31 x 1 x 2− + + = 
 ðặt 
3
3
u 1 x
v 1 x



= −
= +
 PT 3 3
u v 2
u v 2



+ =
⇒
+ =
 Bài2:Gpt: 3 2 x 1 x 1− = − − 
 ðặt 
3u 2 x
v x 1



= −
= −
 Pt 
3 2
u 0 x 2
u v 1
u 1 x 1
u v 1
u 2 x 10
 
 
  
  
 
= =
+ =
⇒ ⇒ = ⇒ =
+ =
= − =
 III) Phương pháp ñánh giá 
Nguyễn Sỹ An – Chuyên ñề PT – HPT – BPT 
 5 
 1) Kiến thức cơ bản: 
1) f2(x) + g2(x) + h2(x) = 0 
f (x) 0
g(x) 0
h(x) 0





=
⇔ =
=
2) 
f (x) g(x) k
f (x) m
f (x) m ;g(x) n
g(x) n
m n k

 
 
 

+ =
=
≤ ≤ ⇔
=
+ =
 ( trong ñó k là hằng số) 
3) f (x) g(x) f (x) k
f (x) k;g(x) k g(x) k
  
 
  
= =
⇔
≤ ≥ =
 (trong ñó k là hằng số) 
 2) Bài tập áp dụng : 
 Bài1:Gpt: 4x2 + 3x +3 = 4x x 3 2 2x 1+ + − 
 ñ/k x ≥ 1/2 . Phương trình tương ñương 
2 2 x 3 2x(2x x 3) (1 2x 1) 0
2x 1 1



+ =
− + + − − = ⇔
− =
x 1⇔ = (t/m). 
 Bài2: Gpt: 2 23x 6x 7 5x 10x 14+ + + + + = 4 – 2x – x2 
 Ta có VT = 2 23(x 1) 4 5(x 1) 9 4 9 5+ + + + + ≥ + = 
 VP = 4 - 2x- x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5 
 Vậy phương trình chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi 
VT 5
VP 5



=
=
 x 1⇔ = − 
 Bài 3:Gpt: 
2
3 2 x 15x 3x 3x 2 3x2 2+ + − = + − . (1) 
 ðK : 5x3 + 3x2 +3x + 2 0≥ ( )( )2 2x x 1 5x 2 0 x 5⇔ + + − ≥ ⇔ ≥ . 
 BðTCôsi 
 Ta có ( )( )3 2 25x 3x 3x 2 x x 1 5x 2+ + − = + + − ≤ 2 2x 6x 1 x 13x2 2 2
+ −
= + − . 
 Do ñó pt (1) ⇒ x2 + x + 1 = 5x – 2 x 1
x 3

⇔ 

=
=
 (thoả mãn). 
 IV) Phương pháp sử dụng tính ñơn ñiệu hàm số 
: 1) Cơ sở lý thuyết 
 Dùng tính ñơn ñiệu của hàm số ñể khẳng ñịnh số nghiệm phương trình 
 2) Bài tập áp dụng 
 Bài1:Gpt : 5 3x x 1 3x 4 0+ − − + = . 
Nguyễn Sỹ An – Chuyên ñề PT – HPT – BPT 
 6 
 ðK : x 13≤ . 
 Xét hàm số f(x) = 5 3x x 1 3x 4+ − − + trên tập 1D ; 3
 
 
 
= −∞ . 
 Ta có ' 4 2 3f (x) 5x 3x 0
2 1 3x
= + + >
−
 với x D∀ ∈ ⇒ h/s f(x) ñồng biến 
 trên tập xác ñịnh D. 
 Mặt khác với x = -1 thì f (-1) = 0. 
 Vậy pt có nghiệm duy nhất là x = - 1. 
 Bài2 : Gpt : 2 23 x x 2 x x 1− + − + − = . 
 Pt ⇔ 2 23 x x 2 x x 1− + = + − + (*) 
 ðặt t = x2- x ñ/k ( -3≤ t ≤2) 
 PT(*) trở thành 3 t 1 2 t+ = + − (**) 
 Xét h/s f(t) = 3 t+ trên tập D = [ ]3;2− . Ta có 1'f (t) 0
2 3 t
= >
+
 với (x 3;2∀ ∈ − 
 ⇒ h/s f(t) ñồng biến trên tập xác ñịnh D. 
 Mặt khác h/s g(t) = 1+ ' 12 t g (t) 0
2 2 t
− ⇒ = − <
−
 với )x 3;2∀ ∈ − ⇒ h/s g(t) 
 nghịch biến trên tập D. 
 ta thấy với t = 1 thì f(1) = g(1) = 2 
 Do vậy Pt (**) có nghiệm duy nhất t =1 . 
 Với t = 1 thì x2- x = 1 2x x 1 0⇔ − − = 1 5x 2
±
⇔ = . 
 Bài 3 :Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình sau luôn có 2 nghiệm thực phân 
 biệt 2x 2x 8 m(x 2)+ − = − (1) ( Khối B – 2007). 
 ðK x 2≥ 
Pt (1) ( )( )3 2 3 2x 2x 2 x 6x 32 m 0 x 6x 32 m 0



=
⇔ − + − − = ⇔
+ − − =
Ta c/m phương trình 3 2x 6x 32 m+ − = (2) có nghiệm ( )0x 2;∈ +∞ với m 0∀ > 
 Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 -32 với x 2∀ > . 
 Ta có ' 2f (x) 3x 12x 0= + > với x 2∀ > h/s f(x) ñồng biến trên ( )2;+∞ . 
Bảng biến thiên 
x 2 +∞ 
'f (x) + 
f(x) 
 +∞ 
Nguyễn Sỹ An – Chuyên ñề PT – HPT – BPT 
 7 
0 
 Dựa vào bảng biến thiên ta có với m 0∀ > Pt(1) luôn có một nghiệm ( )0x 2;∈ +∞ . 
Vậy Pt(1) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt. 
Phần 2 . Bất phương trình có chứa căn thức 
I)Phương pháp biến ñổi tương ñương : 
 1) Kiến thức cơ bản : 
 1) 
2
g(x) 0f (x) g(x)
0 f (x) g (x)



≥
≤ ⇔
≤ ≤
 2) 
2
g(x) 0
f (x) 0
f (x) g(x)
g(x) 0
f (x) g (x)






<
≥
≥ ⇔
≥
≥
 2) Bài tập áp dụng: 
 Bài1: gbpt 02162 2 ≥+−+− xxx tương ñương với 2162 2 −≥+− xxx tương 
ñương với 
 [ )+∞∪






−
∞−⇔





≥
−≤
⇔










−≥+−
≥−



≥+−
<−
,3
2
73
,
3
2
73
)2(162
02
0162
02
22
2
x
x
xxx
x
xx
x
 Bài3: gbpt: 0411
2
<
−−
x
x
 ñiều kiện 






≤<
<≤−
⇔



≥−
≠
2
10
0
2
1
041
0
2
x
x
x
x
1) Với - 0
2
1
<≤ x bpt tương ñương ⇔



−<−
>−
⇔−<− 22
2
)31(41
031
3141
xx
x
xx - 0
2
1
<≤ x 
2) Với 0<x
2
1≤ bpt tương ñương ⇔










≥−
−>−



≥−
<−
⇔−>−
031
)31(41
041
031
3141
22
2
2
x
xx
x
x
xx 0<x
2
1≤ 
 Vậy nghiệm của bpt là 




∪




−
2
1
,00,
2
1
Nguyễn Sỹ An – Chuyên ñề PT – HPT – BPT 
 8 
II)Phương pháp ñặt ẩn phụ 
1) Dạng1: ðặt ẩn phụ hợp lý dẫn tới bất phương trình ñại số quen thuộc 
 Bài1 : Gbpt: 431132 22 +≤+−+ xxxx ñặt t = 01132 ≥+− xx dẫn tới bpt 
 t2+2t-15 ≤ 0 suy ra 0 ≤ t ≤ 3 suy ra 31132 ≤+− xx suy ra 
x
2
 -3x+11 ≤ 9 suy ra nghiệm 
của bpt 1 ≤ x ≤ 2 
 Bài2. Gbpt 
 1
1
3
1
11
1
3
1
1
22
2
22
−
−
>
−
+⇔−
−
>
− x
x
x
x
x
x
x
 ñặt t = 
21 x
x
−
 có bất phương 
 t2-3t+2 > 0 suy ra t > 2 hoặc t < 1. 
1) xét bpt 
21 x
x
−
>2 1
5
2
45
10
01
12
22
2
<<⇔



>
<<
⇔




>−
−>
⇔ x
x
x
x
xx
2) xét bpt 
21 x
x
−
<1
5
11
)1(4
0
01
01
1
22
2
2
<<−⇔








−<
≥
<<−
⇔




>−
−<
⇔ x
xx
x
x
x
xx
 nghiệm của bpt là 





∪





− 1,
5
3
5
1
,1 
 Bài3: Gbpt: 4
2
12
2
55 ++<+
x
x
x
x 
 ñiều kiện x > 0 ñặt t = 
x
x
2
1
+ ≥ 2 
dẫn tới bất phương trình bậc hai: 2t2 – 5t + 2 > 0 có nghiệm t > 2 khi và 
chỉ khi 
x
x
2
1
+ >2 x 4 x 1 0⇔ − + > ⇔ Pt có 
nghiệm 3 3x (0, 2) ( 2, )2 2∈ − ∪ + +∞ 
 Bài4: Gbpt 
x 1x 1
2 3
xx
++
− > 
 ðặt x 1t 0
x
+
= ≥ 
 PT dẫn tới t2 -2t -3 >0 có nghiệm t≥ 3 
Cho ta tập nghiệm của bpt là 




8
1
,0 
 2.Dạng2 : ñặt ẩn phụ t dẫn bpt xem t là ẩn ,x là tham số,hoặc bpt xem x là ẩn, t 
 là tham số. 
Nguyễn Sỹ An – Chuyên ñề PT – HPT – BPT 
 9 
 Bài tập:Gbpt: x2-1 xxx 22 2 +≤ 
 ðặt t = 022 ≥+ xx dẫn tới bpt: x2-2tx-1≤ 0 
 Ta có ' 2 2t 1 (x 1)∆ = + = + . PT dẫn tới ( 0122)(12 22 ≤−−+++ xxxxx 
khi và chỉ khi 
0
2
0
2
1
)12(2
02
012
0122
22
22 ≥⇔










−≤
≥
−≥
⇔





+≤+
≥+
≥+
⇔≤−−+ x
x
x
x
xxx
xx
x
xxx
 3.Dạng3: ðặt 2 ẩn phụ dẫn tới một hệ. 
Bài1: gbpt 2862 2 −≤−+− xxxx ñiều kiện x ≥ 0 biến ñổi 
122)12(2)2(2 2 −++>−++ xxxx ñặt vuvu
xv
xu
+>+⇔



+=
≥−= 22 22
2
012
 vu
vuvu
vu
≠⇔



+>+
≥+
⇔ 222 )(22
0
 Trường hợp u = v 5,1
056
02
212 2 ==⇔



=+−
≥+
⇔+=− xx
xx
x
xx 
 Vậy ñể u 5,1,
2
1
≠≠




+∞∈⇔≠ xxxv 
 Bài2:gbpt 2862 2 −≤−+− xxxx ñặt 



−=
≥=
2
0
xv
xu bất phương trình có 
dạng 
 0
0)(
0
22
0
22 222
22 ≥=⇔



≤+
≥+
⇔



+≤+
≥+
⇔+≤+ vu
vu
vu
vuvu
vu
vuvu 
4
045
2
2
02
2 =⇔



=+−
≥
⇔



−=
≥−
⇔ x
xx
x
xx
x
III)Phương pháp sử dụng tính ñơn ñiệu hàm số 
 Cơ sở lý thuyết: dựa vào bảng biến thiên của hàm số phát hiẹn miền nghiệm cuả 
bất phương trình 
 Bài tập áp dụng 
Bài1: gbpt: 2/5429 −≥>+++ xkdxx xét hàm số f(x) = 429 +++ xx trên tập 
x ≥ -2 
 Có ñạo hàm luôn dương với mọi x thuộc tập xác ñịnh suy ra hàm số luôn ñồng 
biến lại có f(0) = 5 
Nguyễn Sỹ An – Chuyên ñề PT – HPT – BPT 
 10 
 vậy nghiệm của bpt là x > 0 
Bài2: gbpt: 311311632 22 ≤≤−−−>+−−− xdkxxxxxx 
 Tương ñương xxxxxx −++−>−+−− 3116132 22 
 xxxx −++−>−++− 32)3(12)1( 22 
 Xét hàm số f(t) = t 2 t+ + Trên 1,3   có f’(t)hàm số ñồng biến trên tập xác ñịnh 
vậy ta có 
 f(x-1)>f(3-x) khi và chỉ khi x-1>3-x cho ta x>2 vậy nghiệm của bất phương trình là 
2 < x ≤ 3 
 Bài3: gbpt: 2x+ 0/35727 2 ≥<++++ xkdxxxx xét hàm số trên tập xác 
ñịnh x≥ 0 
 F(x) = 0
7
72
7|2
1
2
12)(7272
2
,2 >
+
+
+
+
++=+++++
xx
x
xx
xfcoxxxxx 
 Hàm số ñồng b iến trên tập xác ñịnh vì vậy f(x) < 35 = f














2
12
29
vậy nghiệm bpt 0< x 
<














2
12
29
 IV) Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất nhỏ nhất hàm số 
 Kiến thức cơ bản Lập bảng biến thiên từ ñó có kết quả của bài toán 
 Bài tập áp dụng 
 Bài1 Tìm m ñể bpt sau có nghiệm: mx - 13 +≤− mx ñặt t = 3+x t ≥ 0 ta có 
 m( t2+2) ≤ t+1 tương ñương với m
t
t ≥
+
+
2
1
2 xét hàm số f(t) = 2
1
2 +
+
t
t
 trên tập t≥ 0 có 
 22
2
,
)2(