Ôn thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Ứng dụng của công thức Ơ-le

Ứng dụng của công thức Ơ - LE 
Mục đích yêu cầu 
Biết sử dụng các tính chất của luỹ thừa và công thức Ơ - letrong việc giải các bài toán 
lượng giác , đặc biệt là các bài toán về dãy số với các số hạng lượng giác. 
Ví dụ 
1. Phân tích thành nhân tử : 1 ie α− theo 2
i
e
α
2. Với mọi số thực 2x kpi≠ và n là một số tự nhiên ( )1n ≥ Tính : 
 1 cos cos 2 ......... cosS x x nx= + + + + 
 ' sin sin 2 ........... sinS x x nx= + + + 
Giải : 
1. 2 2 21
i i iie e e e
α α α
α − 
− = − 
 
Từ đó suy ra 21 2 sin
2
iie i e
α
α α
− = − (1) 
2. 2' 1 ......ix i x inxS iS e e e+ = + + + + 
( )11
'
1
i n x
ix
e
S iS
e
+
−
⇔ + =
−
 , điều kiện 1ixe ≠ 
Dựa vào tính chất (1) trên ta có : 
( )
1
1 211 2 sin
2
n
i x
i n x ne i x e
+ 
 +   +  
− = −   
  
 và 21 2 sin
2
nx
i
ix xe i e
 
 
 
− = − 
Vậy : 2
1
sin
2
'
sin
2
nx
i
n
x
S iS e
x
 
 
 
+ 
 
 + = 
Tách phần thực và phần ảo riêng ra ta được : 
1
sin
2
cos
2sin
2
n
x
n
S x
x
+ 
 
  
=  
 
 và 
1
sin
2
' sin
2sin
2
n
x
n
S x
x
+ 
 
  
=  
 
. 
1. Với mọi ( )0 ; 2α pi∈ , hãy xác định mođun và acgumen của các số phức sau : 1 ie α− 
và 1 ie α+ 
Hướng dẫn : phân tích theo nhân tử là 2
i
e
α
2. Từ đó suy ra mođun và acgumen của 
1
1
i
i
e
e
α
α
−
+
 và ( )( )1 1i ie eα α− + 
3. a) Chứng minh rằng : 
2 3 4
5 5 5 5
5
2
1
1
i i i i
i
e e e e
e
pi pi pi pi
pi
+ + + + =
−
b) Từ đó suy ra : 
2 3 4
sin sin sin sin
5 5 5 5 10
pi pi pi pi pi
+ + + = cotg